\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{De la suite dans les id\'ees}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
\newcommand{\num}{3}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha






\section{Définir une suite - Algorithme}

\begin{ExoF}Pour les suites suivantes, calculer les termes de $u_1$ à $u_5$ puis conjecturer une formule
explicite du terme général. Retrouver alors $u_0$ à partir de la formule conjecturée.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_n\end{array} \right.$
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=u_n+5 \end{array} \right.$
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=3 \\ u_{n+1}=u_n-6 \end{array} \right.$
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=4 \\ u_{n+1}=1-\dfrac{1}{1+u_n}\end{array} \right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}On donne :
$$ u_0=1\quad \text{;}\quad u_1=3\quad \text{;}\quad u_2=7 \quad \text{;}\quad u_3=15 \quad \text{;}\quad u_4=31 \quad \text{;}\quad u_5=63 \quad \text{;}\quad u_6=127$$
\begin{enumerate}
\item Donner $u_7$.
\item Proposer une formule donnant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Vérifier qu'elle est correcte sur les premiers termes.
\item Proposer une formule donnant $u_n$ en fonction de $n$. Vérifier qu'elle est correcte sur les premiers termes.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère la  suite $(v_n)_{n\geq 0}$ définie par  l'algorithme suivant : \\
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\Algo[Suite $(v_n)$]{8cm}{
\Entree{$n$ un entier naturel
}
\Variable{ 
$v$ est un nombre réel.
}
\Deb{
  $v$ prend la valeur \, $\cos \left(n\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(n\dfrac{\pi}{3}\right)$\\
  Renvoyer $v$.
}
}
\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}
\item Si l'utilisateur rentre l'entier $n=5$, que renvoit l'algorithme ?
\item Que fait cet algorithme ?
\item Compléter :
$$  \left\{ \begin{array}{l} v_{12n}=\dots \dots \\ v_{12n+1}=\dots \dots  
\\ v_{12n+2}=\dots \dots\\ v_{12n+3}=\dots \dots\end{array} \right. $$
%\item Modifier l'algorithme pour qu'il n'affiche que le terme de rang $n$.
\end{enumerate}
\end{minipage} 
 \end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On considère les suites $(w_n)$ et $(s_n)$ définies par les algorithmes suivants :\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\Algo[Suite $(w_n)$]{7cm}{
\Entree{
$n$ est un entier naturel.
}
\Variable{ 
$w$  est un nombre réel.\\
$i$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
  $w$ reçoit la valeur $4\times (-2)^n+1$\\
  Renvoyer $w$.
}
}
\end{center}
\end{minipage} \qquad
\begin{minipage}{11cm}
\partieBac{La suite $w$}
\begin{enumerate}
\item Si l'utilisateur choisit l'entier $n=5$, que renvoit l'algorithme 2 ?
\item Proposer une définition pour la suite $(w_n)$.
\item Modifier l'algorithme pour que, lorsqu'on entre un entier $n$, il renvoit la liste des termes de la suite $(w_n)$ jusqu'à $w_n$.
\end{enumerate}
\end{minipage} 

\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\Algo[Suite $(s_n)$]{7cm}{
\Entree{
$n$ est un entier naturel ($n\geq 3$).
}
\Variable{ 
$s$  est un nombre réel.\\
$i$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$s:=-1$\\
  \For{$i$ allant de $3$ à $n$}
{$s:=\sqrt{\dfrac{1+s}{2}}$  \\
Renvoyer $s$
}
}
}
\end{center}
\end{minipage} \qquad
\begin{minipage}{11cm}
\partieBac{La suite $s$}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item  Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, avec l'entrée $n=5$.
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 $i$ & \cellcolor{gray}& &&&&\\\hline
 $s$ &  &  & &  && \\\hline
 \end{tabular}\\
  \end{center}
  \item Que renvoit dans ce cas l'algorithme 3 ?
       \end{enumerate}
%\item Que fait cet algorithme ?
\item Proposer une définition par récurrence de la suite $(s_n)$.
\item Modifier l'algorithme pour qu'il n'affiche que le terme de rang $n$ de la suite $(s_n)$.
\end{enumerate}
\end{minipage} 
\end{ExoF}


\begin{minipage}{12cm}
\begin{ExoF}\\
On considère l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
 \item Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, avec 
 l'entrée $n=5$.\\
\begin{tabular}{*{9}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 Test & \cellcolor{gray} &&&&& &&\\\hline
 $u$ & $-4$ && && & & &\\\hline
 $i$ & 0 &  & & &&  &  &\\\hline
  \end{tabular}\\
  %\end{center}
  \item Que renvoit l'algorithme si on entre la valeur $0$ pour $n$ ?
  \item Soit $n$ un entier naturel et $u_n$ la valeur renvoyée par l'algorithme avec l'entrée $n$.
  \begin{enumerate}
   \item Quel est le rang initial de la suite $(u_n)$ ?
   \item  Quelle relation existe-t-il entre $u_{n+1}$ et $u_n$ ?
  \end{enumerate}
  \item Modifier cet algorithme pour que, lorsqu'on entre un entier $n$, il renvoit la somme des termes
  de la suite $(u_n)$ jusqu'au terme de rang $n$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}
\end{minipage}\qquad
\begin{minipage}{6cm}
 \begin{center}
\Algo{6cm}{
\Entree{$n$ un entier naturel
}
\Variable{ 
$u$ est un nombre réel.\\
$i$ est un entier naturel.
}
\Deb{
  $u \longleftarrow -4$\\
  $i \longleftarrow 0$\\
  \While{$i<n$}
{$u \longleftarrow \dfrac32u+1$\\
$i \longleftarrow i+1$
}
Renvoyer $u$
}
}
\end{center}
\end{minipage} 



\begin{ExoF}Voici les $4$ premiers nombres triangulaires : \qquad 
\includegraphics[scale=0.8]{tri.eps}
\begin{enumerate}
\item Représenter et donner les valeurs de $T_5$ et $T_6$.
\item Définir la suite $T$ puis proposer un algorithme permettant de calculer un nombre triangulaire quelconque $T_n$. 
\item A l'aide d'un programme donner $T_{12}$ et $T_{60}$.
\item Ecrire et programmer un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $T_n\geq 100$
\item $T_n \geq 1000$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{minipage}{11cm}
\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, avec l'entrée $n=5$.
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 $i$ & \cellcolor{gray} &&& &&\\\hline
 $c$ &  \cellcolor{gray}  &  & &   &  &\\\hline
 $a$ & $1$  && & & &\\\hline
 $b$ & $2$ &  & &   &  &\\\hline
 \end{tabular}\\
  \end{center}
  \item Si l'utilisateur choisit l'entier $n=7$, que renvoit l'algorithme ?
\item On considère la  suite $(u_n)$ définie par  l'algorithme ci-contre.\\ 
Donner une définition par récurrence de la suite $(u_n)$.
\item Proposer une définition explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Modifier alors l'algorithme pour qu'il ne calcule et ne renvoit que le terme de rang $n$ 
de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}\qquad
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\Algo{7cm}{
\Entree{$n$ un entier naturel ($n \geq 2$).
}
\Variable{ 
$a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.\\
$i$ est un nombre entier.
}
\Deb{
$a:=1$\\
$b:=2$\\
  \For{i allant de 2 à $n$\, }
{$c:=5b-6a$ \\
$a:=b$ \\
$b:=c$\\
Renvoyer $c$.
}
}
}
\end{center}
\end{minipage} 



\begin{ExoF}
On définit la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ de la façon suivante :
$$ u_0=2\qquad u_1=1+\dfrac{1}{2}\qquad u_2=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}\qquad u_3=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}}\qquad \text{ et ainsi de suite.}$$

\begin{enumerate}
\item Exprimer sous la forme de fraction irréductible les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Donner une définition par récurrence de la suite $u$.
\item Ecrire un algorithme permettant de calculer $u_n$ en fonction de $n$ puis à l'aide de votre programme donner $u_5$, $u_{10}$, $u_{20}$ et $u_{50}$ à $10^{-4}$ près. 
\item Conjecturer la limite de la suite $u$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}La suite $u$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=u_n -3  \end{array} \right.$$
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=2-3n$
\end{ExoF}

\section{Représentation graphique}

\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par
$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=-1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$
\begin{enumerate}
\item Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item Dans le repère ci-dessous on a tracé la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$ et la droite d'équation $y=x$.
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$.\\
Vérifier votre construction en calculant ces premiers termes.
\item Conjecturer le sens de variation de la fonction $u$.
\item Conjecturer la valeur limite $\ell$ de la suite $u$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(7,6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{7} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](6.5,5){$C_f$}
\uput[0](5,5.7){$y=x$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{ExoF}On considère la suite $u$ définie pour tout entier $n\in\N$ par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=a \\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+1} \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item A la calculatrice, en utilisant la représentation graphique de la fonction $f$, placer sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$ pour $a=0 $. Dans ce cas conjecturer le sens de variation de la suite $u$.
\item A la calculatrice, en utilisant la représentation graphique de la fonction $f$, placer sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$ pour $a= 15$. Dans ce cas conjecturer le sens de variation de la suite $u$.
\item Que constate-t-on ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soit $\left(u_{n}\right)_{n\geq 0}$ la suite définie par $u_{0} = 8$ et pour tout 
entier naturel $n$ , $ u_{n+1} = -\dfrac{1}{2}u_{n} + 5.$
\begin{enumerate}
 		\item Sur la figure ci-dessous, sont tracées, dans un repère orthonormal, les droites 
		d'équation respectives $y = x$  et $y = -\dfrac{1}{2}x + 5$. 
		Construire sur l'axe des abscisses les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
		\item Vérifier votre construction en calculant $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \item Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(11,7)
\psaxes[ticksize=0.2cm,ticks=all,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1.5)(11,7)
\psline(-1.5,-1.5)(7,7)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{11}{0 x 0.5 mul sub 5 add}
\rput{-26.56}(10,1){$y = -\dfrac{1}{2}x + 5$}
\rput{45}(6,7){$y = x$}
%\uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$}
%\multido{\n=-6+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,0.25)}
%\multido{\n=-6+1}{22}{\psline(0,\n)(0.25,\n)}
%\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{ExoF}


\section{Sens de variation}

\begin{ExoF}Etudier le sens de variation de la suite $u$ dans chacun des cas suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=3-2n$ avec $n\in\N$.
\item $u_n=-2+5n$ avec $n\in\N$.
%\item $u_n=\dfrac{n^2}{2^n}$. avec $n\in\N$.
\item $u_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}$\\ avec $n\in\N^*$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item La suite $u$ est définie pour tout $n\geq 1$ par :
$$ u_n=1+\dfrac{10}{n}$$
En étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$, montrer que la suite $u$ est décroissante à partir de $n\geq 1$.
\item Montrer que la suite $u$ définie pour tout $n\in\N$ par $u_n=5n-n^2$ est décroissante à partir d'un certain rang à préciser.
\item Montrer que la suite $v$ définie pour tout $n\in\N$ par $v_n=n^2-10n+16$ est croissante à partir d'un certain rang à préciser.
\item La suite $u$ est définie pour tout entier $n\in\N$ par $u_n=n^2-3n+1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ est croissante à partir d'un certain rang à préciser en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$.
\item Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+1$ et retrouver le résultat précédent.
\end{enumerate}
\item La suite $u$ est définie pour tout entier $n\in\N$ par $u_n=2^n-n$.\\
Montrer que la suite $u$ est croissante.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\section{Limite}


\begin{ExoF}
Conjecturer le sens de variation et la limite éventuelle des suites explicites suivantes
\begin{enumerate}
\item La suite $u$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ u_n=-7+2n$$
\item La suite $v$ est définie pour tout $n\in\N^*$ par :
$$ v_n=3-\dfrac{1}{n}$$
\item La suite $w$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ w_n=(-1)^n+n$$
\item La suite $t$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ t_n=5+\dfrac{2}{n+1}$$
\item La suite $a$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ a_n=n-\dfrac{10}{n+1}$$
\item La suite $b$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ b_n=(-1)^n\times n$$
\item La suite $c$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ c_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$$
 \item La suite $p$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ p_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}Proposer un exemple de suite $u$ telle que :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u$ est décroissante et converge vers $1$.
\item $u$ n'admet pas de limite.
\item $u$ diverge vers $-\infty$.
\item $u$ est croissante et converge vers $\pi$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}Une suite $u$ est décroissante et converge vers $0$.\\
La suite $v$ est telle que pour tout $n\in\N$, $v_n<u_n$.\\
Dans chaque cas, indiquer la (les) bonne(s) réponse(s) :
\begin{enumerate}
\item Si la suite $v$ a tous ces termes positifs alors :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item La suite $v$ est décroissante.
\item La suite $v$ est convergente.
\item La suite $v$ a une limite $\ell<0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Si La suite $v$ est croissante alors : 
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item la suite $v$ a tous ses termes négatifs ou nuls.
\item la suite $v$ est convergente.
\item la suite $v$ converge vers $0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
On considère la suite définie pour $n\in\N^*$ par \quad $ u_n=-1+\dfrac{1}{n}$\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite $\ell$ de la suite $u$.
\item On donne l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
 \item  Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, 
 avec l'entrée $\varepsilon=0.3$.
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 Test & \cellcolor{gray}& &&&&\\\hline
 $u$ & & &&&&\\\hline
 $p$ &  &  & &  && \\\hline
 \end{tabular}\\
  \end{center}
 \item Que renvoit l'algorithme dans ce cas ? Interpréter.
 \end{enumerate}
 \item Que renvoit l'algorithme pour $\varepsilon=0,1$ ? $\varepsilon=10^{-3}$ ?
\item Déterminer un entier $p$ tel que  $\forall n\geq p$, on ait :
$$  -1-\varepsilon\leq u_n \leq -1+\varepsilon$$
\item Que vient-on de démontrer ?
\end{enumerate}
\end{minipage} \qquad 
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{
$\varepsilon$ est un nombre réel strictement positif.
}
\Variable{ 
$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$u:=0$ et $p:=1$ \\
    \While{ $u\notin \left]-1-\varepsilon;-1+\varepsilon\right[$ }
{$u:=-1+\dfrac{1}{p}$ \\
$p:=p+1$}
Renvoyer $p-1$.
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère la suite définie pour $n\in\N$ par \quad $u_n=n^2-3$
\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite $\ell$ de la suite $u$.
\item On donne l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$A$ est un nombre réel strictement positif.
}
\Variable{
$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$u:=-3$ et $p:=0$ \\
    \While{ $u < A$ }
{$u:=p^2-3$ \\ $ p:=p+1$}
Afficher $p-1$.
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre $A=30$ ? $A=1000$ ? $A=10^{6}$ ?
\item Déterminer un entier $p$ tel que  pour tout entier $n\geq p$, on ait :
$$ u_n>A$$
\item Que vient-on de démontrer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}On considère la suite définie pour $n\in\N^*$ par \quad $ u_n=1-3n$.\\
Rédiger un énoncé d'exercice sur le modèle des deux précédents, puis répondre à chacune des 
questions.
\end{ExoF}
\newpage

\section{Un exemple de devoir}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{9cm}
 \item 
On considère la suite $u$ définie par l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
\item 
Qu'affiche l'algorithme  si l'utilisateur entre $n=4$ ?
\item Que fait cet algorithme ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{center}
\Algo{7.5cm}{
\Entree{
$n$ est un nombre entier naturel.
}
\Variable{
 $u$  est un nombre réel.\\
 $i$ est un entier naturel.
}
\Deb{
$u:=5$\\
  \For{$i$ allant de $1$ à $n$}
{$u:=\dfrac{2}{3}u+1$  \\
Afficher $u$
}
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\item On considère la suite $u$ définie par :
 $$\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+1\end{array} \right.$$
 \begin{enumerate}
\item Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item Dans un repère à l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ et la droite $\mathscr D :y=x$ (que l'on tracera),  placer sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$.
\item Conjecturer le sens de variation de la suite $u$ et sa limite $\ell$.
\end{enumerate}
\item \textbf{On admet que} la suite $u$ peut se définir pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=2\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n+3$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier cette formule en calculant $u_0$ ; $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$ u_{n+1}-u_n=-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}$$
\item En déduire le sens de variation de la suite $u$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}Lors d'une soirée de ski nocturne, Augustin apprend à prendre le téléski en snowboard.\\
La première fois, il parcourt $40$ mètres.\\
Puis, à chaque tentative, il réussit à tenir sur la perche $5$ mètres de plus que la fois précédente.\\
Le téléski mesure $300$ mètres de long.
\begin{enumerate}
\item Combien devra-t-il faire de tentatives pour arriver au sommet ?
\item Le téléski avance à la vitesse de $4$ mètres par seconde. \\
Combien de temps Augustin aura-t-il passé sur le téléski ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
 $$\left\{ \begin{array}{l} u_0=3 \\ u_{n+1}=2u_n-2\end{array} \right.$$
 \begin{enumerate}
\item A l'aide des droites $\mathscr D :y=x$ et $\mathscr D' :y=2x-2$ donnée ci-dessous, placer sur l'axe des abscisses les termes de $u_0$ à $u_3$.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(11.1,11.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{11} \def\ymin{-1} \def\ymax{11}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4)(0,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,4)(4,0)
\def\F{2 x mul 2 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1}{11}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{11}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\end{pspicture*}

\end{center}
\noindent \begin{minipage}{9cm}
\item Conjecturer la limite de la suite $u$.
\item Calculer les $4$ premiers termes de la suite $u$.
\item On donne l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
\item Que fait-il ?
\item Pourquoi est-on sûr qu'il s'arrête ?
\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $A=30$ ? 
\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $A=100$ ? s'il entre $A=10000$ ? 
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$A$ est un nombre réel strictement positif.
}
\Variable{$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$u:=3$ et $p:=0$ \\
    \While{ $u<A$ }
{$u:=2u-2$ et $ p:=p+1$}
Afficher $p$.
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{ExoF}





\end{document}

