\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie}
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
\newcommand{\num}{3}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

%\noindent \begin{ExoF}
% \begin{enumerate}
%  \item Convertir en radians les mesures d'angles exprimées en degrés : $72^{\circ}$, $105^{\circ}$, $50^{\circ}$ et $44^{\circ}$
% \item Convertir en degrés les mesures d'angles exprimées en radians : $\dfrac{7\pi}{24}$, $-\dfrac{5\pi}{18}$, $\dfrac{\pi}{9}$
%et $-\dfrac{2\pi}{5}$
% \end{enumerate}
%\end{ExoF}

\noindent\begin{ExoF}
$MNP$ est un triangle équilatérale direct, ie tel que $(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP})=+\dfrac{\pi}{3}$ et $I$ est le 
milieu de $[NM]$. 
Faire un schéma de la situation puis lire graphiquement une mesure de chacun des angles ci-dessous :
$$( \overrightarrow{PN}, \overrightarrow{PM}) 
\qquad \qquad ( \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PN}) \qquad \qquad ( \overrightarrow{NM}, \overrightarrow{MP})
 \qquad \qquad ( \overrightarrow{PN}, \overrightarrow{PI})$$
\end{ExoF}

\noindent\begin{minipage}{10cm}
 \begin{ExoF}
Sur le cercle trigonom\'etrique $\mathscr C$ de centre $O$ ci-contre, 
les points $A$ et $B$ sont tels que :
$$ \widehat{IOA}=45\textrm{\degre} \qquad \text{ et } \widehat{IOB}=-120\textrm{\degre}$$
Donner une mesure en radians des angles orient\'es :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA})$
\item $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB})$
\item $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.3)(2.2,1.3)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){2.0000}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){A}
\psline(0.0000,0.0000)(0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){I}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.0000){J}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.5000,-0.8600)
\uput{0.3000}[-120.0000](-0.5000,-0.8600){B}
\psline(0.0000,0.0000)(-0.5000,-0.8600)

\endpsclip
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}



\noindent\begin{minipage}{12cm}
\begin{ExoF}ABCD est un carr\'e tel que 
$( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}$\newline
$AEB$ et $BCF$ sont des triangles \'equilat\'eraux tels que 
$ (\overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EB})=\dfrac{\pi}{3}$ et  
$ (\overrightarrow{FC}, \overrightarrow{FB})=\dfrac{\pi}{3}$
\newline
\textit{Le schéma n'est pas à l'échelle}\\
On se propose de d\'emontrer que les points D, E et F sont align\'es en utilisant les angles orient\'es
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item D\'emontrer que le triangle ADE est isoc\`ele
\item D\'emontrer que $ (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EA})=\dfrac{5\pi}{12}$ 
\end{enumerate}
\item D\'eterminer une mesure de $ (\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{BF})$ et en d\'eduire une mesure de $ (\overrightarrow{EB}, \overrightarrow{EF})$
\item \begin{enumerate}
\item En utilisant ce qui précède, calculer une mesure de $ (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EF})$
\item Conclure
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-2.5)(3.2,5.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(2.0000,-2.0000)(2.0000,2.0000)
\psline(2.0000,2.0000)(-2.0000,2.0000)
\psline(-2.0000,2.0000)(-2.0000,-2.0000)
\psline(-2.0000,-2.0000)(2.0000,-2.0000)
\uput{0.3000}[-45.0000](2.0000,-2.0000){A}
\uput{0.3000}[45.0000](2.0000,2.0000){B}
\uput{0.3000}[135.0000](-2.0000,2.0000){C}
\uput{0.3000}[-135.0000](-2.0000,-2.0000){D}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,4.4600){F}
\psline(-2.0000,2.0000)(0.0000,4.4600)
\psline(0.0000,4.4600)(2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[-180.0000](-0.4600,0.0000){E}
\psline(2.0000,-2.0000)(-0.4600,0.0000)
\psline(-0.4600,0.0000)(2.0000,2.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{ExoF}
Construire les points $A$, $B$, $C$, $E$ et $F$ du cercle trigonométrique de centre $O$ sachant que :
$$ \left(\vec{i}; \overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{\pi}{3}\qquad \text{;}\qquad  \left(\vec{i}; \overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{\pi}{8}\qquad \text{;}\qquad \left(\vec{i}; \overrightarrow{OC}\right)=-\dfrac{5\pi}{6}\qquad \text{;}\qquad  \left(\vec{i}; \overrightarrow{OE}\right)=-\dfrac{\pi}{4}\qquad \text{et}\qquad  \left(\overrightarrow{OF}; \overrightarrow{j}\right)=\dfrac{\pi}{3}$$
On se placera dans un repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$ orthonormal direct ce qui signifie que les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ ont pour longueur $1$ et de plus $(\vec{i};\vec{j})=\dfrac{\pi}{2}$.
\end{ExoF}


\noindent\begin{ExoF}
Sans calculatrice, dire si les r\'eels suivants sont des mesures principales en radians d'angles orientés :
$ \dfrac{7\pi}{5} \qquad \qquad  -\dfrac{13\pi}{5} \qquad \qquad  \dfrac{\pi}{4} \qquad \qquad  -\dfrac{3\pi}{4} 
\qquad \qquad  \dfrac{3\pi}{2} \qquad \qquad  -\dfrac{2\pi}{3} \qquad \qquad  -\dfrac{7\pi}{6} \qquad \qquad  \dfrac{37\pi}{36} $
\end{ExoF}

\begin{ExoF}Les r\'eels $ \dfrac{7\pi}{5}$ et $ -\dfrac{13\pi}{5}$ sont-ils des mesures 
en radians d'un m\^eme angle orient\'e ? \\
Donner la mesure principale d'un angle orient\'e dont une mesure est $ -\dfrac{17\pi}{3}$\end{ExoF}




\begin{ExoF}Dans chaque cas, d\'eterminer la mesure principale de l'angle dont on donne une mesure en radians.
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\dfrac{5\pi}{4}$
\item $- \dfrac{4\pi}{3}$
\item $ - \dfrac{10\pi}{3}$
\item $135\pi$
\item $ \dfrac{17\pi}{13}$
\item $ \dfrac{-185\pi}{6}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{ExoF}



\noindent\begin{ExoF}
 Soit $a=\sin\left(\dfrac{\pi}7\right)$ . Exprimer en fonction de $a$ :
$ \qquad\sin\left(-\dfrac{\pi}7\right) \qquad \qquad \sin\left(\dfrac{8\pi}7\right) \qquad \qquad \sin\left(\dfrac{6\pi}7\right)
%\qquad \qquad \cos\left(\dfrac{5\pi}{14}\right)
$
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
A l'aide des propriétés sur les angles associés, calculer la valeur exacte de :
\begin{multicols}{5}
\begin{itemize}
\item $\cos \left(\dfrac{5\pi}{3}\right)$
\item $\sin \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)$
\item $\cos \left(\dfrac{79\pi}{6}\right)$
\item $\sin \dfrac{7\pi}{6}$
\item $\cos\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right)$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{ExoF}




\begin{ExoF}\begin{enumerate}
\item Placer au mieux sur le cercle trigonométrique les points repérés par les réels :
$$ \dfrac{2\pi}{7}\quad ; \quad \dfrac{4\pi}{7}\quad ; \quad\dfrac{6\pi}{7}\quad ; \quad \dfrac{8\pi}{7}\quad ; \quad \dfrac{10\pi}{7}\quad ; \quad\dfrac{12\pi}{7}$$ 
\item On pose :
$$\mathscr S=\cos \dfrac{2\pi}{7}+\cos \dfrac{4\pi}{7}+\cos \dfrac{6\pi}{7} \qquad \text{et}\qquad  \mathscr S'=\cos \dfrac{8\pi}{7}+\cos \dfrac{10\pi}{7}+\cos \dfrac{12\pi}{7}$$
$$ \Sigma =\sin \dfrac{2\pi}{7}+\sin \dfrac{4\pi}{7}+\sin \dfrac{6\pi}{7}\qquad \text{et}\qquad  \Sigma'=\sin \dfrac{8\pi}{7}+\sin \dfrac{10\pi}{7}+\sin \dfrac{12\pi}{7}$$
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Comparer $\mathscr S$ et $\mathscr S'$, puis $\Sigma$ et $\Sigma'$.
\item Calculer $\Sigma$ et $\Sigma'$.
\end{enumerate}\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Dans un rep\`ere orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$ on donne les points 
$A(-2\sqrt{3};-2)$ et $B(-3;3 \sqrt{3})$. \\
Construire les points $A$ et $B$ 
%\footnote{Calculer un couple de coordonn\'ees polaires de chacun des points et utiliser 
%les deux sortes de coordonn\'ees pour les placer avec pr\'ecisions}
\end{ExoF}

\noindent\begin{minipage}{11cm}
\begin{ExoF}\hfill \textbf{Algorithme}\\
On donne l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Indiquer la sortie de cet algorithme pour les valeurs de $a$ en entrée suivantes : $0$, $\pi$, $3\pi$ et $10$.
\item Que fait l'algorithme ?
\item Indiquer la sortie de l'algorithme pour $a=-3\pi$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Modifier l'algorithme pour qu'il donne la mesure principale d'un angle de mesure $a$.
\item Programmer l'algorithme modifié à la calculatrice ou à l'aide d'un logiciel.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\Algo{7cm}{
\Variable{ 
$a$ et $tour$ sont deux nombres réels
}
\Deb{
Entrer $a$ \\
$tour:=2\pi$\\
  \While{ $a>\pi$ }
{$a:=a-tour$}
\Sortie{Afficher $a$}
}
}
\end{minipage}


%\begin{ExoF}
%\begin{enumerate}
%\item Résoudre dans $\R$ l'équation $$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$
%\item Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}

\newpage
\setcounter{exer}{13}

\begin{ExoF}
  Sachant que $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}4$
déterminer la valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$,  $\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$
et $\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)$
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Sachant que $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{\sqrt{5}-1}4$ :
 \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)$
  \item Calculer la valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$
 \end{enumerate} 
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Sachant que $\cos\left(\dfrac{9\pi}{5}\right)=\dfrac{\sqrt{5}+1}4$ :
 \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
   \item Calculer la valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{9\pi}{5}\right)$
  \item En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{Vrai ou Faux, à justifier}\\
Soit $\theta\in[\pi;2\pi]$ tel que $\cos \theta=-\dfrac{4}{5}$ alors on a :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\sin \theta\leq 0$
\item $\sin^2 \theta=\dfrac{1}{5}$
\item $\sin \theta=0,6$
\item $\sin \theta=-\dfrac{3}{5}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{Vrai ou Faux, à justifier}\\
Soit $\theta\in\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ tel que $\sin \theta =\dfrac{1}{4}$ alors on a :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\cos \theta \leq 0$
\item $\cos \theta=\dfrac{3}{4}$
\item $\cos \theta=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
\item $\cos \theta=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Sylvia, la petite amie de Norbert, propose deux nouvelles formules trigonométriques :
$$ \cos 2a=2\cos a\qquad \text{et}\qquad \sin 2a=2\sin a$$
Ces deux formules sont-elles :
\begin{itemize}
\item vraies pour tout nombre réel $a$ ?
\item vraies pour quelques valeurs de $a$ ? Si oui, lesquelles ?
\item fausses pour toute valeur de $a$ ?
\end{itemize}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
A l'aide d'un cercle trigonométrique, donner toutes les valeurs possibles de $x$ vérifiant :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\cos x=\dfrac{1}{2}$ et $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $x\in[-\pi;\pi]$.
\item $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $x\in \R$.
\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $x\in [-\pi;3\pi]$.
\item $\cos x=0$ et $\sin x=-1$, $x\in \R$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


%\begin{ExoF}
%\begin{enumerate}
%\item $\theta$ est un angle situ\'e dans $]-\pi;\pi]$ dont on sait que $\cos \theta=-\dfrac{ \sqrt{3} }{2}$ et $\sin \theta =\dfrac{1}{2}$. Que vaut $\theta$ (en radians) ?
%\item $\theta$ est un angle de $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin \theta =\dfrac{4}{5}$. Calculer $\cos \theta$ et $\tan \theta$
%\item $\theta$ est un angle de $]-\pi;0]$ tel que $\cos \theta=\dfrac{2}{3}$. Calculer $\sin \theta$ et $\tan \theta$
%\item $\theta$ est un angle de  $]-\pi;0]$ tel que $\tan \theta =2$. Calculer $\cos \theta$ et $\sin \theta$
%\end{enumerate}
%\textbf{On rappelle que pour tout $\theta$ tel que $\cos(\theta)\neq 0$, on a 
%$\tan(\theta)=\dfrac{\sin[\theta)}{\cos(\theta)}$}
%\end{ExoF}



\noindent\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item La proposition P suivante est-elle vraie ?\\
P : \og Si $x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\Z$, alors $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}2$ \fg
\item Enoncer la réciproque R de cette proposition P. Est-elle vraie ?
\item Même question pour la contraposée C de P.
\end{enumerate}
 \end{ExoF}


\noindent\begin{ExoF}
 Compléter par $\og$ il faut $\fg$ ou $\og$ il suffit $\fg$ :
\begin{enumerate}
 \item Pour que $\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ que $x=\dfrac{\pi}{6}$
 \item Pour que $\left(\overrightarrow{AM} ; \overrightarrow{AB} \right) = 0 \quad [2\pi]$ , $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ que les points $A$, $M$ et $B$
soient alignés.
\item Pour que $\sin(x)\geq 0$, $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ que $x\in[0 ; \pi]$
\item  Pour que $\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right) = \pm\dfrac{\pi}2 \quad [2\pi]$ , 
$\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\noindent\begin{ExoF}
Des enseignants cherchent à résoudre  l'équation $\cos x = \dfrac12$ dans $\R$ \hfill \textbf{(4 points)}\\
Loïc propose : $\og \cos\left(\dfrac{\pi}3\right) = \dfrac12 $ 
 donc $x=\dfrac{\pi}3 \fg$.\\
 Fabrice s'étonne : \og Quand je tape sur la calculatrice $\cos^{-1}(0.5)$, la calculatrice me donne $60$, donc $x=60$ \fg.\\
 Myriam affirme : \og J'ai trouvé deux points sur le cercle trigonométrique d'abscisse 
 $\dfrac12$, donc cette équation a deux solutions.\fg\\
 Commentez ces réponses et résoudre le problème.
\end{ExoF}


\noindent\begin{ExoF}
 Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels $t$ de $]-\pi; \pi]$ tels 
 que $\cos(t)=-\dfrac12$ puis résoudre dans $\R$ cette équation.
 \end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Résoudre dans $\R$ les équations suivantes, puis dans chaque cas, 
 donner les solutions dans $[2\pi ; 5\pi[$
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
 \item $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
\item $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\item $\cos(x)=-1$
\item $\sin(x)=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}R\'esoudre les \'equations suivantes dans l'intervalle $I$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
%\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad$ $I=]-\pi;0]$
%\item $\sin x=-\dfrac{ \sqrt{2} }{2} \qquad$ $I=[0;2\pi[$
\item $\sin x= \sin \left( \dfrac{3\pi}{4}\right) \qquad$ avec $I=\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$
\item $\cos x= \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \qquad$ avec  $I=[0;2\pi[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}





\begin{ExoF}Sur l'intervalle $[0;2\pi]$, les solutions de l'inéquation $\cos \theta\geq -\dfrac{1}{2}$ sont :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\left[\dfrac{-2\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3}\right]$
\item $\left[\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{4\pi}{3}\right]$
\item $\left[\dfrac{4\pi}{3};2\pi\right]$
\item $\left]0;\dfrac{2\pi}{3}\right[\cup \left]\dfrac{4\pi}{3};2\pi\right[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}



\noindent\begin{ExoF}
\`A l'aide d'une figure, r\'esoudre les in\'equations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\cos(x)\leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour $x\in[0;2\pi[$
\item $\sin(x)\geq -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ pour $x\in[-\pi;\pi[$
\item $\cos(x)\geq \dfrac{1}{2}$ pour $x\in[-\pi;\pi[$
\item $\sin(x)<\dfrac{1}{2}$ pour $x\in[0;2\pi[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}
\begin{ExoF}
 Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels $t$ de $]-\pi; \pi]$ puis ceux de $[0;2\pi[$ tels que :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $-\dfrac12\leq \sin(t) \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
\item $\cos(t)\leq 0$ 
\item $1-2\sin(t)>0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\newpage


\begin{ExoF}R\'esoudre, sur $\R$, les \'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\sin^2 \theta=\dfrac{3}{4}$
\item $\cos^2 \theta=\dfrac{1}{2}$
\item $\sin(2\theta)=\cos\theta$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$
\item Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Calculer $\sin x$ et $\cos x$ sachant que l'on a :
$$ 2\sin x + 4\cos x=5$$
\textit{Indication : On pourra utiliser la relation $\cos^2 x+ \sin^2 x=1$}
\end{ExoF}






\begin{ExoF} QCM (plusieurs réponses possibles)
\begin{enumerate}
 \item  Soit $x\in\left[\dfrac{\pi}2 ; \dfrac{3\pi}2\right]$ tel que $\sin(x)=\dfrac{21}{29}$. Alors on a :
 $$\cos(x) \leq 0 \qquad \cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)} \qquad \cos(x)=-\dfrac{20}{29} \qquad \cos(x)=\dfrac{20}{29}$$
 \item Sur l'intervalle $[0;2\pi]$, les solutions de l'inéquations $\cos(x) \geq -\dfrac12$ sont :
 $$\left[-\dfrac{2\pi}3 ; \dfrac{2\pi}3\right] \qquad 
 \left[-\dfrac{2\pi}3 ; \dfrac{4\pi}3\right] \qquad 
 \left[\dfrac{4\pi}3 ; \dfrac{2\pi}3\right] \qquad 
 \left[0 ; \dfrac{2\pi}3\right] \cup \left[\dfrac{4\pi}3 ; 2\pi\right] $$
 \item Les solutions réelles de l'équation $\cos(x) = \sin\dfrac{\pi}5 $ sont :
 $$\left\{\dfrac{\pi}5 + 2k\pi, k\in\Z \right\} \cup \left\{-\dfrac{\pi}5 + 2k\pi, k\in\Z \right\} \qquad 
\left\{\dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, k\in\Z \right\} \cup \left\{-\dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, k\in\Z \right\} $$ 
$$\left\{\dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, k\in\Z \right\} \cup \left\{\dfrac{7\pi}{10} + 2k\pi, k\in\Z \right\} \qquad 
\left\{\dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, k\in\Z \right\}   $$
\end{enumerate}
\end{ExoF}





\end{document}
