\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\Ch}{Variables al\'eatoires}
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
\newcommand{\num}{1}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha


 \begin{minipage}{8cm}
\begin{ExoF} \textbf{La loi des Grands Nombres}\\
Norbert, un élève syldave studieux, lance des fléchettes sur une cible carrée de côté 1. Il atteint toujours la cible (ie le carré de côté 1) mais comme il n'est pas très doué, il pense 
que sa probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à
l'aire de cette zone.\\
Il s'intéresse à la probabilité d'atteindre la zone sous la parabole $y=x^2$. Malheureusement, 
il ne sait pas encore calculer cette aire (il l'apprendra l'an prochain en Terminale S).\\
Il cherche donc à l'estimer par l'expérience, et pour cela, il a rédigé l'algorithme ci-dessous.
\end{ExoF}
 \end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
  \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=6cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.1)(1.5,1.2)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray](0,0)(-0.,-0.)(1.,1.)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.1,-0.2)(1.2,1.2)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pscustom[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{0}{1}{x^2}\lineto(1,0)\lineto(0,0)\closepath}
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(1,0)
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](1,1)(0,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(0,0)
\rput{0}(0,0){\psplot{0}{1}{x^2/2/0.5}}
\psline{<-}(0.71,0.5)(1.1,0.45)
\rput[tl](0.2,0.82){$y ~....~x^2$}
\rput[tl](0.72,0.32){$ y ~.... ~x^2 $}
\rput[bl](1.15,0.4){$y ~....~ x^2$}
\rput[bl](-0.2,0.01){{$A (0, 0)$}}
\rput[bl](1.01,0.01){{$B (1, 0)$}}
\rput[bl](1.01,1.01){{$C (1, 1)$}}
\rput[bl](0.01,1.01){{$D (0, 1)$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{enumerate}
  \item Expliquer en quoi cet algorithme simule le lancer de fléchettes en détaillant ce que représentent 
  $X$, $Y$, $N$, $A$ et $K$.
 \item Que représente l'affichage pour le problème de Norbert ?
 \item En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, simuler 500 lancers et noter l'affichage en sortie.
 \item Relancer votre programme plusieurs fois en notant les affichages successifs. \\
 Est-ce toujours les mêmes ? Pourquoi ?
 \item Simuler 1\,000 lancers et en déduire une valeur approchée de l'aire sous la parabole.
\end{enumerate}
\Rq{
Cette méthode s'appelle la méthode de Monte Carlo. On peut aussi l'utiliser pour trouver une valeur approchée de $\pi$. \\
Il suffit de considérer la courbe représentative de la fonction $y=\sqrt{1-x^2}$ sur $[0,1]$ qui dessine un quart de cercle
dans un carré de côté 1. Cependant, il faut beaucoup de lancers pour obtenir une bonne approximation de $\pi$.
}
\end{minipage} \qquad
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{Algo}{8cm}{
  \Variable{N est un entier naturel\\
  X et Y sont des réels compris entre 0 et 1}
\Entree{A prend la valeur 0}
    \Deb{
  Saisir N\\
  \For{~K allant de 1 à N~}{
  X prend une valeur aléatoire entre 0 et 1\\
  Y prend une valeur aléatoire entre 0 et 1\\
  \IfThenElse{~$Y>X^2$~}{A prend la valeur A+1}{K prend la valeur K+1}
  }
  }
  \Sortie{Afficher $\dfrac{A}{N}$}
  }
 \end{Algo}
 \end{minipage}


%\newpage

\begin{ExoF}
Dans le club de Norbert, plusieurs activités sont proposées dont le tir à l'arc et le golf. La cotisation de base 
pour adhérer au club est de $30\euro$ auxquels s'ajoutent éventuellement :
\begin{multicols}{2}\begin{itemize}
 \item $50\euro$ pour pratiquer le tir à l'arc
 \item $80\euro$ pour pratiquer le golf.
\end{itemize}
\end{multicols}
Parmi les $50$ adhérents, $30$ pratiquent le tir à l'arc, $18$ le golf et $6$ les deux sports. On choisit 
un adhérent au hasard et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque adhérent sa cotisation.
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les différentes valeurs prises par $X$ et dans quels cas ?
  \item Donner la loi de probabilité de $X$.
  \item En déduire la probabilité qu'un adhérent pratique au moins l'un des deux sports.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Ce tableau présente la loi de probabilité $P$ associée à une variable aléatoire $X$.
 \begin{center}
  \begin{tabular}{*{6}{|C{2cm}}|}\hline
  $X$ & $-2$ & $0$ & 3 & 5 & 10 \tabularnewline\hline
 \vrule width 0in height 25pt $P(X=x_i)$ &  $\dfrac{5}{14}$ & $a$ & $\dfrac{1}{7}$ & $b$ & $\dfrac{1}{14}$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
 \end{center}
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
 \item Déterminer $a$ et $b$ sachant que les événements $X=a$ et $X=b$ sont équiprobables.
 \item Calculer $P(X\leq 4)$.
 \item Imaginer un jeu dont les probabilités de gain seraient données par le tableau ci-dessus.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Fabrice, le petit frère de Norbert, veut faire une blague à Norbert. Il lui a acheté 4 bonbons sans lui dire les parfums. 
 Il y en a 1 à la menthe (M), 1 à la fraise (P), et 2 au kumiss (K).\\
 \textit{Le Kumiss est une boisson Kirghize, à base de lait de jument fermentée.}\\
 Norbert les a mis dans son sac et compte chaque jour, en mangé un, pioché au hasard, cependant :
 \begin{itemize}
  \item S'il tombe sur un bonbon au kumiss dès le premier jour, il n'en mange pas d'autres, pensant qu'ils sont 
  tous au même parfum
  \item Sinon, il continue d'en manger tant qu'il n'a pas mangé le deuxième bonbon au kumiss.
 \end{itemize}
 Fabrice s'intéresse évidemment à l'ordre dans lequels seront mangés les bonbons.
 \begin{enumerate}
  \item Représenter la situation à l'aide d'un arbre.
  \item Combien y a-t-il d'issues ?
  \item Quelle est la probabilité que Fabrice mange un bonbon au kumiss le premier jour ?
 \item Fabrice se demande si Norbert mangera les deux bonbons au kumiss ou non. Il appelle $X$ la variable aléatoire
  qui donne le nombre de bonbons au kumiss mangés par Norbert. Donner la loi de probabilité de $X$.
  \item Fabrice s'intéresse aussi évidemment au jour où Norbert mangera son premier bonbon au kumiss. 
  On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne ce jour.\\
  Donner la loi de probabilité de $Y$.
  \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On tire avec remise deux cartes d'un jeu de 32 cartes. Soit $X$ la variable aléatoire donnant 
 le nombre d'as obtenus.
 Donner la loi de probabilité de $X$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 La finale d'un master de tennis oppose Roger et Raphaël. Le premier qui gagne deux sets remporte le prix.
 On considère que Roger a deux fois plus de change de gagner un set.
 \begin{enumerate}
  \item Quelle est la probabilité $p$ que Roger gagne un set ?
  \item Donner une représentation de la situation.
  \item On définit par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de sets disputées pour déterminer le vainqueur du master.\\
  Donner la loi de $X$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Pendant ses vacances d'été, Norbert aide sa mère à entraîner $30$ yaks au saut d'obstacles dans la boue. 
 Un yak n'est admis en compétition nationale que s'il est capable d'exécuter le parcours en moins de 5 minutes.\\
 Un tiers des yaks sont entraînés par Norbert, $20\%$ par son frère Fabrice et le reste par leur mère Laurence.\\
  Laurence amène les $5/7^e$ des ses yaks à la compétition, Norbert réussit pour $50\%$ de ses yaks, tandis que Fabrice y parvient 
 pour $40\%$.\\
 On choisit un yak au hasard et on s'intéresse aux événements suivants :
\begin{multicols}{2}
  \begin{itemize}
  \item L : \og Le yak est entraîné par Laurence \fg
  \item F : \og Le yak  est entraîné par Fabrice \fg
  \item N : \og Le yak  est entraîné par Norbert \fg
  \item C : \og Le yak est capable de participer à la compétition nationale \fg
 \end{itemize}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
 \item Donner une représentation de la situation
 \item Calculer $p(L)$
 \item Déterminer $p(\overline{L} \cap C)$ et $p(\overline{L} \cap \overline{C})$
 \item Un yak qui est capable de participer à la compétition est vendu ensuite $5\,000\euro$ sur le marché européen, 
 tandis que les  autres sont cédés à $3\,000\euro$.\\
 On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le prix d'un yak de cette famille sur le marché européen. 
 Donner la loi de probabilité de $X$.
\end{enumerate}

\end{ExoF}



\begin{ExoF}
On lance $n$ dés ($n\geq 1$). 
Le jeu consiste à miser $2\euro$, puis si on obtient au moins un $6$, 
on remporte $3\euro$.
\begin{enumerate}
 \item On note $A$ l'événement \og obtenir au moins un $6$\fg
\begin{enumerate}
\item Décrire $\overline{A}$ en français puis exprimer en fonction de $n$ la probabilité $P(\overline{A})$.
\item En déduire que $P(A)$ en fonction de $n$.
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Nombres de dés $n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$  & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \tabularnewline\hline
 $P(A)$ & \vrule width 0in height 30pt &  &   &   & & & &\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Combien de dés faut-il pour que la probabilité d'obtenir au moins un six soit supérieure à $ \dfrac{2}{3}$ ?
\end{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain du joueur.
\begin{enumerate}
 \item Donner la loi de probabilité de $X$ en fonction de $n$.
 \item Calculer $E(X)$ en fonction de $n$.\\
% \item 
Combien de dés faut-il pour que le jeu soit favorable au joueur ? Est-on surpris ?
 \item Calculer $V(X)$ puis $\sigma(X)$ dans ce cas. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}(Challenge)\\
Combien y a-t-il de \og couples \fg de délégués possibles dans de votre classe ? 
\end{ExoF}

\end{document}
