\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 9}
\newcommand{\Ch}{La suite des suites !}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.4cm,bmargin=1.4cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%\setlength{\parindent}{0pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 \pagestyle{empty}
%\setcounter{Acti}{1} 
 
\begin{act}
Dans le pays des merveilles d'Alice, le lapin blanc, depuis le temps, a fait des enfants (enfin des adolescents plutôt...). Du plus vieux au plus jeune : le lapin bleu, le lapin rouge, le lapin vert et le lapin noir. A l'adolescence chacun des 4 lapins a réclamé de l'argent de poche. Noter que les lapins du pays des merveilles sont adolescents de $0$ à $4$ ans, ils deviennent enfants par la suite et n'ont jamais été adultes.\\
Le lapin blanc a décidé de donner au lapin bleu dès sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans des carottes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $3$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine deux carottes de plus que la semaine précédente.
\end{itemize} 
\textit{On admet qu'au pays des merveilles chaque année est constituée d'exactement $52$ semaines et chaque 
mois de $4$ semaines. %Remarquons que les lapins du pays des merveilles ont un treizième mois...
}
\\
On note $u_0=3$ et $u_n$ le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour où il fête ses $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ ; calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$. Combien de carottes le lapin bleu a-t-il reçu le premier mois ?
\item Proposer une formule donnant $u_n$ en fonction de $n$. Vérifier cette formule en recalculant $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\item Pour leur seule consommation personnelle les lapins du pays des merveilles ont besoin de $300$ carottes par semaine. 
\begin{enumerate}
\item A partir de quel âge le lapin bleu peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin bleu au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=u_0+u_1+\dots+u_{207}=\sum_{i=0}^{i=207}u_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin bleu (fort économe) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin bleu.
\item Grand amateur de montre, le lapin bleu décide de troquer ses carottes contre des montres au cours suivant, $1$ montre contre $540$ carottes.
Déterminer le nombre de montres que le lapin bleu a pu acquérir grâce aux carottes économisées.
\end{enumerate}
\end{enumerate}  
\end{act}

\newpage

\begin{act}
Vient le tour du derrnier né du lapin blanc, le lapin noir. Détestant les habitudes le lapin blanc modifie une nouvelle fois le système des \og carottes de poches \fg{} et le lapin noir se voit proposer le système suivant :
\begin{itemize}
\item $3$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine $3,5\%$ de carottes en plus de la semaine précédente (le lapin blanc donnera s'il le faut des morceaux de carottes...)
\end{itemize} 
On note $t$ la suite telle que $t_n$ vaut le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de sa $n-$ième semaine. Notons que $t_1=3$ et que $t_0$ n'existe pas.
\begin{enumerate}
\item Calculer $t_1$ ; $t_2$ et $t_3$ puis exprimer $t_{n+1}$ en fonction de $t_n$. Combien de carottes le lapin noir a-t-il reçu le premier mois ?
\item Proposer une formule donnant $t_n$ en fonction de $n$. Vérifier cette formule en recalculant $t_1$ ; $t_2$ et $t_3$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin noir le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\item Pour leur seule consommation personnelle les lapins du pays des merveilles ont besoin de $300$ carottes par semaine. 
\begin{enumerate}
\item A partir de quel âge le lapin noir peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin noir au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=t_1+t_2+\dots+t_{208}=\sum_{i=1}^{i=208}t_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin noir (comme les autres) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin noir.
\item Par rapport au lapin précédent, le cours de la carotte a encore augmenté de $10\%$.
Déterminer le nombre de montres que le lapin noir a pu acquérir grâce aux carottes économisées.
\end{enumerate}
\end{enumerate}  
\end{act}

\vspace{3cm}

\begin{ExoC}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2}{3^n}$ est géométrique
\item La suite $(v_n)$ est définie par $v_0=6$ et $v_{n+1}=3v_n+4$ pour tout $n\in\N$.\newline
On note $$w_n=v_n+2$$
Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique.
\end{enumerate} 
\end{ExoC}



\begin{ExoC}
Montrer que la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n\in\N$ par $u_n=2\times (-1)^n$ est géométrique. 
On précisera sa raison.
\end{ExoC}



\end{document}

 