\documentclass[4apaper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Activites et Exemples}
\newcommand{\Ch}{Variables al\'eatoires}
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Cl}{1G4}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
\newcommand{\num}{1}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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%\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

%\DocCha

\pagestyle{empty}

\setcounter{section}{1}
\setcounter{subsection}{1}
\subsection{Ce que vous savez déjà}



\begin{act}
On dispose de deux urnes. Dans la première notée $U_1$, il y a 5 boules Rouges et 3 boules Noires. 
Dans la seconde notée $U_2$, il y a 4 Rouges et 6 Noires. \\
On choisit au hasard une urne, puis on pioche une boule dedans. On s'intéresse à la couleur obtenue.
\begin{enumerate}
 \item Modéliser l'expérience à l'aide d'un arbre.
 \item On considère les événements suivants : \quad
$U_1$ : \og Choisir l'urne $U_1$ \fg  \qquad\qquad
R : \og Obtenir une boule Rouge \fg\\
Définir en français les événements suivants, puis déterminer leur probabilité :
\begin{multicols}{6}
 \begin{enumerate}
  \item $U_1\cap R$
  \item $R$
  \item $\overline{R}$
 \item $U_1\cup R$
 \item    $U_1\cap \overline{U_1} $
  \item  $U_1\cup \overline{U_1} $
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \end{enumerate}
\end{act}

\vspace{3cm}

\begin{center}
%\rotatebox{90}{
\begin{tabular}{|C{4.5cm}|C{4.5cm}|C{4.5cm}|C{4.5cm}|} \hline 
$A\cap B$ & $A\cup B$  & $\overline{A}$ &  $A\cap B = \emptyset$ \tabularnewline\hline
\vrule width 0in height 90pt
%\textbf{Intersection de $A$ et $B$ :} Eléments communs de $A$ et $B$
 & %\textbf{Réunion de $A$ et $B$ : } Eléments de $A$ ou $B$ (voire les deux)
& %\textbf{Complémentaire de $A$ :} Eléments de $\Omega$ non dans $A$
& %\textbf{ $A$ et $B$ sont disjoints} : Aucun élément commun à $A$ et $B$
\tabularnewline\hline
\vrule width 0in height 107pt
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-1.5,1.5) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture}
 & 
\vrule width 0in height 107pt
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1.5,1.5) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture} 
&
\vrule width 0in height 107pt
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=white] \cercleO; 
\end{scope} 
\node at (-1.5,1.5) {$\Omega$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
%\node at (-0.9,-0.5) {$\overline{A}$};
\end{tikzpicture}
 & 
\vrule width 0in height 107pt
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.6,0.5) circle (0.9cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.7,-0.7) circle (0.7cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
%\draw[color=black] \cercleA; 
%\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1.5,1.5) {$\Omega$};
%\node at (-0.9,-0.5) {$B$};
%\node at (0.7,0.9) {$A$};
\end{tikzpicture}
\tabularnewline\hline
 \end{tabular}
 %}
\end{center}

\newpage

\begin{act}
L'éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le
gouvernement syldave  a décidé de se passer à la fois de
correcteurs et d'élèves. Tout est géré dans les bureaux du
ministère, en si\-mulant sur odinateur le lancé d'un dé pour chaque élève virtuel, 
le but étant d'obtenir une moyenne nationale
satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se
rueront en Syldavie pour profiter d'une main d'\oe uvre aussi
qualifiée.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Préciser l'univers $\Omega$ de cette expérience.
	\item Déterminer la probabilité $p$ de l'événement A : \og  Obtenir un nombre impair \fg
       \end{enumerate}
 \item On convient que lorsque le candidat virtuel jette un dé virtuel~: s'il sort un 6, il a 20, s'il
tombe sur un autre numéro pair il a 14, s'il tombe sur un numéro impair, il a 5.\\
On désigne par $X$ le procédé qui, selon la simulation, associe à chaque face la note d'un élève.
\begin{enumerate}
 \item Compléter $X(6)= \dots$, $X(4)= \dots $, $X(5)= \dots$.\\
  Quel \og objet mathématique \fg \, reconnaissez-vous dans $X$ ?
 \item Quel est l'univers, noté $X(\Omega)$, de cette nouvelle expérience aléatoire ? 
 \item On note $(X=5)$ l'événement \og L'élève obtient la note $5$ \fg\\
Quel lien existe-t-il entre A et $(X=5)$ ? En déduire $P(X=5)$.
\item On note $x_i$ les différentes valeurs prises par $X$.\\
Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $x_i$ & $5$ &  &  & Total  \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(X=x_i)$ &  &  &  & \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
Doit-on s'étonner du résultat de la case Total ?
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
        \item Quelle moyenne nationale peut espérer obtenir le ministre ? 
	\item Cette moyenne nationale est-elle une moyenne ?
	\item Cette moyenne nationale sera-t-elle effectivement atteinte~?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\vspace{3cm}

\Expl{
Les derniers syldaves fonctionnaires touchant un salaire pour leur travail
coûtent encore trop cher à l'état. Un nouveau système de
rémunération en neurones a été mis au point :\\
Le fonctionnaire doit chaque mois verser un impôt de $1\,000$
neurones à l'état puis il lance un dé. S'il sort un $6$, il
touche $3\,000$ neurones. Dans les autres cas, l'état ne lui verse rien.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire sur $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ qui, à chaque issue associe le gain
(positif ou négatif) en neurones d'un fonctionnaire. On a :\\
$$X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=-1000 \qquad \text{ et } \qquad X(6)=2000 $$
Dresser le tableau de la loi de probabilité du gain $X$.
}


\Expl{
A Groland, le système de rémunération des salariés et des actionnaires est le même qu'en Syldavie, 
mais en moustiques. De plus, le premier ne demande pas de mise initial, et le
second donne systématiquement une prime de $500 000$ moustiques.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer les variables aléatoires $Y_S$ et $Y_A$ donnant respectivement le salaire des salariés et des actionnaires
à Groland.  
 \item En déduire $E(Y_S)$, $\sigma(Y_S)$, $E(Y_A)$ et $\sigma(Y_A)$.
 \item Interpréter.
\end{enumerate}
}

\vspace{3cm}


\begin{act}
On reprend le contexte de l'activité précédente et
on donne l'algorithme suivant :
\Algo{12cm}{
\Var{
Dé, i, N sont des nombres entiers\\
Effectif est une liste à deux éléments
}
\Deb{
 Saisir  N\\
 Effectif$[1]$ et Effectif$[2]$ prennent la valeur 0\\
 \For{i allant de 1 à N}
  {Affecter à Dé un entier aléatoire entre 1 et 6\\
   \IfThenElse{$Dé==6$}
    {Affecter à Effectif[1] la valeur Effectif[1]+1}
    {Affecter à Effectif[2] la valeur Effectif[2]+1}\\
}\\\\
Afficher Effectif[1]\\
}
}
\begin{enumerate}
 \item Programmer cet algorithme sur Algobox et le tester.
 \item Que fait-il ? \\
\textit{On précisera ce que représente chacune des variables)}
\item Modifer ce programme pour qu'il simule l'attribution des notes en Syldavie et qu'il renvoit
les effectifs de chaque note. Le tester.
 \item Modifier votre dernier programme pour qu'il renvoit la moyenne nationale obtenue.
\item Effectuer un simulation pour $10$ élèves, puis $100$ puis $1\,000$. \\
Que constatez-vous ?
\end{enumerate}
\end{act}

\vspace{2.5cm}


\Expls{
\begin{enumerate}
  \item Dans l'exemple précédent du salaire des fonctionnaires en Syldavie, calculer $E(X)$.
\item Les entreprises privées décident de payer leurs salariés selon le même modèle, mais elles 
proposent $6\,000$ neuronnes à la place de $3\,000$ (avec la même mise initiale).\\
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_S$ correspondante et calculer $E(X_S)$.
\item Les banques se calquent aussi sur ce modèle mais elles utilisent un dé à $100$ faces, 
une mise initiale de $1$ million de neurones et un gain éventuel de $1$ milliard de neurones.\\
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_A$ correspondante et calculer $E(X_A)$.
\item Interpréter et critiquer l'ensemble de vos résultats. 
\end{enumerate}
}

\begin{act}
On reprend l'activité sur les notes d'élèves de Syldavie. \\
Pour rentrer à l'université de Springfield, ils sont mis en compétition avec les élèves de Groland. \\
Cette université privilégie les élèves du pays au meilleur résultat moyen espéré et à leur régularité.\\
A Groland également, on a décidé de tirer les résultats du baccalauréat aux dés. Voici la règle :
Lorsqu'on obtient 6 au dé, l'élève a 20. Un autre nombre pair fournit un 7 à l'élève. 
Ensuite s'il sort 1, l'élève a 
5, s'il sort 3, l'élève a 10 et enfin, s'il sort 5, l'élève a 14.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la moyenne nationale que peut espérer obtenir Groland.
 \item De quels moyens dispose-t-on pour comparer la régularité de chacun des pays ?
\end{enumerate}
\end{act}
%\newpage
\vspace{2cm}

\begin{act}
A Groland, le système de rémunération des fonctionnaires est le même que celui de Syldavie, mais la
monnaie est le moustique, dont le taux est de $4$ moustiques pour $1$ neurone. De plus, un salarié doit
verser un impôt supplémentaire de $1000$ moustiques au départ.
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $Y$ donnant le gain d'un
fonctionnaire en moustiques.
 \item Exprimer la variable aléatoire $Y$  en fonction de la variable $X$ 
de l'exemple précédent.
 \item Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ?
 \item Sans calculer $E(Y)$, démontrer que $E(Y)=4E(X)-1000$. En déduire $E(Y)$
 \item Sans calculer $E(Y)$, démontrer que $V(Y)=16E(X)$, sans calculer $V(Y)$. En déduire $V(Y)$.
 \end{enumerate}
\end{act}



\vspace{2cm}

\Cadre[Casio 35+, 65 et 85]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item  Par \fbox{Menu}, choisir le menu \textbf{\texttt{STAT}} et 
valider par \fbox{EXE}
 \item Entrer les valeurs prises par la variable
aléatoire dans la liste List 1, et les probabilités dans la liste List 2.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
  \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Sur le même écran, choisir \textbf{\texttt{CALC}} par la touche \fbox{F2} située en dessous.
 \item Choisir \textbf{\texttt{SET}} par \fbox{F6} pour définir les listes concernées.\\
Vérifier que vous avez :
\begin{itemize}
 \item \textbf{\texttt{XList : List1}}
 \item \textbf{\texttt{Freq : List2}}
\end{itemize}
\item Valider par \fbox{EXE}.
 \item Choisir \textbf{\texttt{1 VAR}} par \fbox{F1} pour obtenir les indicateurs.\\
 La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer les listes :}
\begin{itemize}
 \item Dans le menu \textbf{\texttt{STAT}}, sélectionner un élément de la liste à effacer.
 \item Puis choisir \textbf{\texttt{DEL-A}} par les touches \rotatebox{90}{\fbox{$\triangledown$}} \fbox{F4}
 \item Valider par \fbox{EXE}
\end{itemize}
}

\vspace{3cm}

Dans les quatre cas, la calculatrice affiche dans l'ordre :
\begin{itemize}
 \item $\overline{x}$ : la moyenne pondérée 
 \item $\sum x$ : la somme pondérée des valeurs, ie $\sum x_ip_i$ (ici c'est la même chose que $\overline{x}$)
 \item $\sum x^2$ : la somme pondérée des carrés des valeurs, ie $\sum x_i^2p_i$  (utile pour le calcul de la variance)
 \item $Sx$ : sans valeur quand les coefficients sont des probabilités)
 \item $\sigma x$ : l'écart-type 
 \item $n$ : l'effectif, ie $\sum p_i$ (donc ici $n=1$)
 \item minX : la plus petite valeur prise par $X$
 \item $Q_1$ : le premier quartile
 \item Med : la médiane 
 \item $Q_3$ : le troisième quartile 
 \item maxX : la plus grande valeur de $X$\\
\end{itemize}

\newpage

\Expl{Le \og président \fg \, de Syldavie pense que les filles de son pays sont trop intelligentes et 
risquent de renverser son pouvoir, pourtant bien établi depuis $30$ ans.\\
Pour limiter le nombre de filles en Syldavie il décide que chaque famille aura au moins un enfant et
arrêtera de procréer après la naissance d'un garçon, dans un maximum de 4 enfants par famille.\\
On considère que chaque enfant autant de chances d'être un garçon qu'une 
fille, indépendamment du sexe d'éventuel(s) enfant(s) précédent(s).  \\
On se demande si ce choix a la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles 
dans la population.}
\begin{enumerate}
 \item On présente l'algorithme suivant :
\Algo{12cm}{
\Var{
X, NbeEnfants, NbeFilles sont des nombres entiers
}
\Deb{
  $n=0$, $X=0$\\
    \While{$X==0$ et NbeEnfants$<4$}
  {Affecter à X un entier aléatoire entre 0 et 1\\
    $n=n+1$}
    \IfThenElse{$X==1$}
      {NbeFilles$=n-1$\\
Afficher \og La famille a eu \fg , NbeFilles , \og fille(s) et $1$ garçon\fg}
    {La famille a eu $4$ filles et $0$ garçon}\\
\\
}
}
\begin{enumerate}
 \item Que fait-il ?
 \item Modifier cet algorithme pour qu'il simule les naissances dans $N$ familles quelconque en Syldavie et qu'il
renvoit le nombre de garçons et le nombre de filles.
 \item Programmer votre algorithme sur Scilab.
 \item Conjecturer une réponse au problème posé.
\end{enumerate}
\item Le \og président \fg \, de Syldavie appelle $S$ (pour Succès) et $E$ (pour Echec) 
les événements suivants :\\
$S$ : \og La famille a un garçon \fg \qquad \qquad et \qquad \qquad $E$ : \og La famille n'a pas de garçon \fg
\begin{enumerate}
       \item Schématiser la situation par un arbre.
 \item On appelle $X$ la variable aléatoire égale à $k$ si le premier Succès est rencontré au $k^{ième}$ 
enfant, et à $0$ si aucun Succès n'a été obtenu.\\
Déterminer la loi de $X$.
\item Répondre au problème posé.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}


\Expl{
Le jeu du lièvre et de la tortue \\
Le jeu consiste à affronter un lièvre et une tortue pour parcourir
un plateau de 6 cases, selon les règles suivantes :
\begin{itemize}
 \item On lance un dé équilibré à 6 faces,
 \item Si le 6 sort, le lièvre avance directement de 6 cases (et donc gagne) ; 
 \item Sinon, la tortue avance d'une case. 
 \item Le jeu continue jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant.
\end{itemize}
On appelle $p$ la probabilité de gagner du lièvre. 
\begin{enumerate}
 \item Conjectures :
\begin{enumerate}
        \item Conjecturer la situation la plus enviable, celle du lièvre ou de la tortue ?
 \item Conjecturer la valeur de $p$.
       \end{enumerate}
 \item Simulation :
\begin{enumerate}
        \item Simuler ce jeu sur Algobox, avec en affichage la fréquence de gain du lièvre.\\
\textit{On commencera par demander à l'utilisateur le nombre de parties qu'il souhaite faire.
}
 \item Les résultats de la simulation pour $50$ expériences vous semblent-ils en accord 
avec votre conjecture ? Pour $100$ ? $10\,000$ ?
       \end{enumerate}
 \item Modélisation :
\begin{enumerate}
 \item Schématiser la situation à l'aide d'un arbre.
 \item On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers de dés qu'il a fallu au lièvre
pour gagner et égale à $0$ si le lièvre a perdu.\\
Déterminer $P(X=0)$ puis l'expression de $P(X=k)$ en fonction de $k$, pour $1 \leq k \leq 6$.
 \item En déduire $p$.
 \item Calculer $E(X)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Expl[Le paradoxe de Saint Pétersbourg]{
Un joueur joue contre la banque au jeu de \og pile ou face \fg, en misant toujours sur face. Il adopte la
stratégie suivante : il mise un euro au premier coup, et s’il perd, double la mise au coup suivant, tant que
face ne sort pas. S’il gagne, il récupère sa mise augmentée d’une somme équivalente à cette mise. Le
joueur dispose d’une fortune limitée, qui lui permet de perdre au maximum $n$ coups consécutifs et, si 
pile sort $n$ fois de suite, le joueur ne peut plus miser et arrête le jeu. La fortune de la banque, 
elle, n’est pas limitée.
Une partie consiste pour le joueur à jouer, si sa fortune le lui permet, jusqu’à ce que face sorte.
Il s’agit de déterminer la probabilité qu’a le joueur de gagner une partie, son gain algébrique moyen par
partie, et d’analyser l’intérêt pour le joueur de jouer à ce jeu, par rapport à la banque.\\
}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la mise du joueur s'il gagne au $3^{ième}$ coup, puis au $10^{ième}$, 
puis au $k^{ième}$, avec $k\in\N^*$.
 \item On envisage le cas où le joueur dispose d’une fortune de $1\,000\euro$.
  \begin{enumerate}
         \item Sa fortune lui permet de tenir $n$. Déterminer $n$ grâce à un tableau de valeurs.
 \item Simulation
\begin{enumerate}
 \item Sur tableur, reproduire la feuille de calculs ci-après, qui simule $1\,000$ parties en $9$ coups.\\
On a codé la sortie de Face par $1$ et celle de Pile par $0$ et on à utiliser notamment les formules suivantes :
\begin{itemize}
 \item \texttt{=ALEA.ENTRE.BORNES(0,1)}
 \item \texttt{=SI(OU(A2=1;A2="");"";ALEA.ENTRE.BORNES(0,1))}
 \item \texttt{=SI(SOMME(A2:I2)=0;"Tortue";"Lièvre")}
 \item \texttt{=NB.SI(K2:K1001;"Tortue")}
 \item \texttt{=NB.SI(A2:I2;0)+NB.SI(A2:I2;1)}
\end{itemize}
 \item Puis tracer l'histoire correspondant à la plage $L6:M14$. Cela vous parait-il cohérent ?
 \item Discuter l'intérêt de ce jeu.
\end{enumerate}
\item Modélisation : on appelle $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le rang de la première face, et l’on convient que ce 
rang est égal à $0$ si face ne sort pas et on appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le gain 
algébrique du joueur.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $P(X=0)$ puis l'expression de $P(X=k)$ en fonction de $k$, pour $1 \leq k \leq n$.
 \item Déterminer les valeurs possibles de $Y$
 \item Déterminer la loi de $Y$.
 \item Calculer $E(Y)$.
 \item Conclure en terme de gain moyen et de risque.
\end{enumerate}
\item Désormais on considère que la banque joue $n$ et on reprend les notations précédentes.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $P(X=0)$ et en déduire la probabilité de gagner pour la banque.
 \item De quoi se rapproche celle valeur quand $n$ est très grand ?
 \item Conclure.
 \end{enumerate}
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\includegraphics[scale=0.48]{Paradoxe_St_Petersbourg.eps}\\


\textit{La notion de risque, liée à celle de la dispersion de la variable aléatoire \og gain \fg, 
est un élément décisif d’appréciation d’un jeu.
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg est l’un des problèmes ayant donné naissance à la
théorie de la décision en économie. Dans cette théorie, on formalise en particulier la notion de fonction
d’utilité, qui mesure le degré de satisfaction d’un consommateur.
}
 
\end{document}



