\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Révision Bac Blanc 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Int\'egration}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\begin{exoi}\hfill (6 points)

On considère la fonction $f$  définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item Vérifier que $ f(x)=2\left(e^{\frac{1}{2}x}+\dfrac{1}{2}xe^{\frac{1}{2}x}\right)$pour tout réel $x$.
	   \item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Interpréter graphiquement.
		\item Démontrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$. 
		\item Etablir le tableau de variation de $f$ puis le tableau de signe de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item On pose $I =  \displaystyle\int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x$ 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le réel $I$.  

On donne l'algorithme ci-dessous.

\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables: 	&$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ 
			&$s$ est un nombre réel.\\ 
Entrée : 	&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ 
Initialisation :& Affecter à $s$ la valeur $0$.\\ 
Traitement :& 	Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
	& \hspace{0,5cm}| Affecter à $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ 
	&Fin de boucle.\\ 
Sortie :& 	Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$. 
		\item Justifier que $s_{3}$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
		
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\pscurve[linecolor=blue](0,0.5)(0.333,0.65)(0.666,0.9)(1,1.15)
\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,0.5)
\psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,0.65)
\psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,0.9)
\psline[linestyle=dashed](1,0.9)(1,1.15)
\uput[l](0,0.25){1}
\uput[ul](0.333,0.65){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}		 
		\item Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l'algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ? 
	\end{enumerate} 
	\item 
\begin{enumerate}
		\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}$. Vérifier que $f = 2\left(u'v + uv'\right)$. 
		\item En déduire une primitive de $f$ sur $\R$ puis calculer la valeur exacte de $I$, enfin donner $\lim\limits_{n\to +\infty} s_n$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Une justification est demandée. \textit{Une réponse exacte rapport 0.75 point ; une réponse inexacte enlève 0.25 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.}
\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$.
\begin{enumerate}
\item Une solution de l'équation $2z+\overline{z}=9+i$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $3$
\item $i$
\item $3+i$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Soit $z$ un nombre complexe ; $|z+i|$ est égal à :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $|z|+1$
\item $|z-i|$
\item $|i\overline{z}+1|$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Soit $n$ un entier naturel. Le complexe $\left(\sqrt{3}+i\right)^n$ est un imaginaire pur si et seulement si :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $n=3$
\item $n=6k+3$, avec $k\in \Z$
\item $n=6k$ avec $k\in \Z$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $i$ et $-1$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z-i|=|z+i|$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item La droite $(AB)$
\item Le cercle de diamètre $[AB]$
\item la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $O$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $4$ et $3i$. L'affixe du point $C$ tel que le triangle $ABC$ soit isocèle avec $\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $1-4i$
\item $-3i$
\item $7+4i$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item L'ensemble des solutions dans $\C$ de l'équation $\dfrac{z-2}{z-1}=z$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\{1-i\}$
\item L'ensemble vide
\item $\{1-i;1+i\}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
