\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{R\'evision Bac Blanc 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Arithm\'etique et codage}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\vspace{1cm}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $(E)$ :
$$ 109x - 226 y=1$$
où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le pgcd de $109$ et $226$. Que peut-on en conclure pour l'équation $(E)$ ?
\item Déterminer une solution particulière de l'équation $(E)$.
\item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation $(E)$.
\item En déduire l'unique couple d'entiers relatifs solutions de l'équation $(d;e)$ tel que :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 0<d\leq 226\\ 0<e\leq 226 \\ 109d=1+226e \end{array} \right.$$
\end{enumerate}
\item Démontrer que $227$ est un nombre premier.
\item On note $A$ l'ensemble des $227$ entiers naturels compris entre $0$ et $226$.
\\
On considère deux codages désignés par les lettres $f$ et $g$ définies de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item à tout entier $x$ de $A$, le codage $f$ associe le reste de la division euclidienne de $x^{109}$ par $227$.
\item à tout entier $x$ de $A$ le codage $g$ associe le reste de la division euclidienne de $x^{141}$ par $227$.
\end{itemize}
On applique le codage $f$ suivi du codage $g$ et on note $g[f(x)]$ le résultat ainsi obtenu.\\
Par exemple, si on choisit $x=2$ on applique le codage $f$ :
$$ 2^{109}\equiv 156 [227] \Longrightarrow f(2)=156$$
Si on applique le codage $g$ :
$$ 156^{141}\equiv 2 [227] \Longrightarrow g(156)=2$$
Ainsi $$ g[f(2)]=g(156)=2$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $g[f(0)]=0$.
\item On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :
\\
\textbf{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$ alors $a^{p-1}\equiv 1 [p]$.}
\\
Montrer que, quel que soit l'entier non nul $x$ de $A$, $x^{226}\equiv 1 [227]$.
\item En utilisant $1. (d)$, en déduire que, quel que soit l'entier non nul $x$ de $A$ on a :
$$ g[f(x)]=x$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}