\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{ Logarithme N\'ep\'erien.}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Fiche R\'esum\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 
\begin{defi}Pour tout nombre réel strictement positif $\lambda$, le logarithme népérien de $\lambda$ est l'unique solution de l'équation $e^x=\lambda$. Ce qui donne :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $e^{\ln \lambda} = \lambda$ avec $\lambda>0$
\item $\ln e^x=x$ avec $x\in \R$.
\item $\ln 1=0$.
\item $\ln e=1$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{defi}

\begin{theo}[Propriété Algébrique]
Pour tout réel strictement positif $x$ et $y$ et pour tout entier relatif $n$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln(xy)=\ln x+\ln y$
%\item $\ln \dfrac{1}{x}=-\ln x$
\item $\ln \dfrac{x}{y}=\ln x-\ln y$
\item $\ln (x^n)=n\ln x$
\item $\ln \sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\ln x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{theo}

\begin{theo}[Signe, variation et dérivée de $\ln$]
La fonction $x\longmapsto \ln x$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$. $\ln x>0\Longleftrightarrow x>1$ et $\ln x<0\Longleftrightarrow 0<x<1$. \\
De plus $$\left(\ln x\right)'=\dfrac{1}{x}\qquad \text{et} \qquad \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$$ 
\end{theo}

\begin{theo}[\textit{ Limites faisant intervenir le logarithme népérien}]
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln x=+\infty$
\item $\lim\limits_{x\to 0} \ln x=-\infty$
\item $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
\item $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0$, avec $n\in\N^*$
\item $ \Lim{0^+} x\ln x=0$
 \item $ \Lim{0^+} x^n\ln x=0$, avec $n\in\N^*$
 \item $ \Lim{1} \dfrac{\ln x}{x-1}=1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{theo}

Les courbes $\mathscr C_{exp}$ et $\mathscr C_{\ln}$ sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y=x$.

 \begin{center}
 \begin{multicols}{2}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1, Signe\\de $ \dfrac{1}{x} $/2, Variation\\ de $\ln x$/2} {$0$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $-\infty$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$1$} {$0$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$e$} {$1$}
\end{tikzpicture}
\newline
\begin{center}
 \psset{xunit=1.2cm , yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.5)(5,3.1)
\def\xmin{-2.10001} \def\xmax{5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{3.1}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.20001,-1.6)(5.1,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.12cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](0,0)(-20,-15)(50,31)
\psset{xunit=1.2cm , yunit=1.2cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x ln}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.01}{5}{\F}
\def\G{x EXP}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\G}
\def\H{x}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\H}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](0.3,1){$M$}
\uput[dl](1.4,0){$M'$}
\psdot(2.718,1)
\uput[dl](3.5,1){$N(e;1)$}
\psdot(1,2.718)
\uput[dl](1.8,2.718){$N'(1;e)$}
\uput[dl](4,1.7){$\mathscr C_{\ln}$}
\uput[dl](-1,0.6){$\mathscr C_{exp}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{center}



\end{document}