\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{ Les nombres complexes.}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Fiche R\'esum\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\begin{theo}[Forme Algébrique]
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme $z=x+iy$ où $i^2=-1$, $x\in \R$ et $y\in \R$. $a$ est appelé partie réelle de $z$ et $b$ est appelé partie imaginaire de $z$. 
\end{theo}
\noindent On considère deux nombres comlexes $z\neq 0$, $z'\neq 0$ de forme algébriques respectives $x+iy$ et $x'+iy'$, et $n\in\Z$.\\
Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points, distincts deux à deux, du plan complexe, muni d'un repère orthonormé.


\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{complexe.5}
\end{center}
\Rq{On note que $z=r\cos\theta+ir\sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ où $r=|z|=OM$}
\end{multicols}



\begin{prop}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $|z|=\sqrt{z \overline{z}}$ ou encore $|z|^2=z\overline{z}$
\item $|z|=|-z|=|\overline{z}|=|-\overline{z}|$
\item $|z\times z'|=|z|\times |z'|$
\item $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\item $|z+z'| < |z|+|z'|$ car $z\neq 0$ et $z'\neq 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}

\begin{prop}
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
 \item $\arg(\overline{z})=-\arg(z) \quad [2\pi]$
\item $\arg(-z)=\arg(z)+\pi  \quad [2\pi]$
\item $\arg(-\overline{z})=\pi-\arg(z)  \quad [2\pi]$
\item $\arg(z\times z')=\arg(z)+\arg(z')  \quad  [2\pi]$
\item $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')  \quad [2\pi]$
\item $\arg(z^n)=n\times \arg(z)  \quad [2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}




\begin{theo}L'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, $b$ et $c$ réels possède (une ou) deux solutions dans $\C$ :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta\geq 0$, ce sont les réels suivants : $$ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}$$
\item Si $\Delta<0$, ce sont les complexes conjugués suivants : $$ z_1=\dfrac{-b-i \sqrt{-\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad z_2=\dfrac{-b+i \sqrt{-\Delta} }{2a}$$
\end{itemize}
\end{theo}

\Cadre[Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle]{
$z=x+iy$ est la forme algébrique de $z$.
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=|z|\cos\theta  \\ y=|z|\sin\theta
 \end{array} 
\right. \qquad 
\textrm{ et }
\qquad \left\{ \begin{array}{l}
|z|=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta \textrm{ tel que } \cos\theta = \dfrac{x}{|z|} \textrm{ et } \sin\theta = \dfrac{y}{|z|}
 \end{array} \right.$$
 $z=r(\cos \theta+i\sin \theta)$ est la forme trigonométrique de $z$ et enfin :
 $$ z=re^{i\theta}\qquad \text{est sa forme exponentielle}$$
}


\Cadre[Calculs avec les affixes]{
Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Alors  :
 $$z_{\overrightarrow{AB}} = z_B-z_A \qquad \qquad\qquad\qquad z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}
  $$
$$AB=|z_B-z_A| \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \vec u ; \overrightarrow{AB} \right) = \arg(z_B-z_A) \quad [2\pi]$$
$$ \left|\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right|=\dfrac{CD}{AB} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
 \arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD} \right) \quad [2\pi]
$$
}\\

\Cadre[Alignement et droites parallèles]{
\begin{tabular}{rclcl}
 Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés & $ \Longleftrightarrow $ & 
$\arg\left(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right) = 0 \, [\pi] $ & $\Longleftrightarrow$ &  $\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C} \in \R$ \\\\
$(AB) // (CD) $ & $\Longleftrightarrow$ &
$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = 0 \, [\pi]$ & $\Longleftrightarrow$ & $\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \in \R$\\\\
$(AB) \perp (CD) $ & $\Longleftrightarrow$ &
$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]$ & $\Longleftrightarrow$ & $\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \in i\R$
 \end{tabular}
}\\


\Cadre[Ensemble des points $M(z)$ tels que :]{
\begin{tabular}{ccccl}
 $|z-z_A|=k$ & $\Longleftrightarrow$ & $AM=k$ (avec $k\in\R$) & : &   
 Si $k>0$ : Cercle $\mathscr C(A,k)$ \\
&&&& Si $k=0$ : Point $A$ \\
&&&& Si $k<0$ : Ensemble vide \\\\\
$|z-z_A|=|z-z_B| $&$ \Longleftrightarrow $&$ MA=MB$ & : & Médiatrice de $[AB]$\\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = 0 \quad [\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ & 
$\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [\pi]$ &:&
Droite $(AB)$ \\
&&&& privée de $A$ et $B$ \\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = 0 \quad [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ &
 $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [2\pi]$ &:&
Droite $(AB)$ \\
&&&& privée du segment $[AB]$\\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = \pi \quad [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ &
 $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \pi \quad [2\pi]$ &:&
Segment $[AB]$\\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ &
 $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]$ &:&
Cercle de diamètre $[AB]$ \\
&&&& privé des points $A$ et $B$\\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ &
$\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ &:&
Demi-cercle de diamètre $[AB]$ \\
&&&& privé des points $A$ et $B$ tel que \\
&&&&  $MAB$ soit rectangle direct.\\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad, [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ &
 $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ &:&
Demi-cercle de diamètre $[AB]$ \\
&&&& privé des points $A$ et $B$ tel que\\
&&&&  $MAB$ soit rectangle indirect. \\\\
 $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$  & $\Longleftrightarrow $ & $x_{\overrightarrow{MA}}x_{\overrightarrow{MB}} + 
y_{\overrightarrow{MA}}y_{\overrightarrow{MB}}=0$  &:&
Cercle de diamètre $[AB]$ 
\end{tabular}
}\\

\Rq{Un angle orienté n'est défini que si les deux vecteurs ne sont pas nuls. C'est pourquoi les points $A$ et $B$ doivent être retirés
 le cas échéant, des ensembles ci-dessus.
}



\end{document}