\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les limites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\begin{exoi}\begin{enumerate}
 \item Calculer la limite en $+\infty$ de la fonction $f:x\mapsto \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)+5$.
 \item Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $\qquad \qquad f(x)=\sqrt{\dfrac{4x+1}{x+1} }$
 et $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=\sqrt{\dfrac{2^{n+2}+1}{2^n+1} }$\\
 Déterminer la limite éventuelle de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente, préciser sa limite. 
\end{enumerate}
\end{exoi}
 
% \Sol{
% \begin{enumerate}
%  \item On a \qquad $ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac1x=0$ \qquad et \qquad $ \lim\limits_{X \to 0}\sin(X)+5=0+5=5$ \qquad donc 
%  $ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=5$
% \item Pour $x>0$, on a  $f(x)=\sqrt{X}$ avec $X=\dfrac{4x+1}{x+1}$.\\
% On a $ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{4x+1}{x+1}=\dfrac{4x}{x}=4$ (\textit{fonction rationnelle en $+\infty$}) \qquad
% et \qquad $ \lim\limits_{X \to 4}\sqrt{X}=2 $ donc :
% $$  \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=2$$ 
% De plus, pour tout $n\in\N$, on a $v_n=f(u_n)$ avec $u_n=2^n$ pour tout $n\in\N$.\\
% Or, \qquad $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$ \qquad et \qquad$ \lim\limits_{X \to +\infty} f(X)=2$, donc  
%\fbox{ $\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=2$}
%\end{enumerate}
%}


\begin{exoi}
On considère une fonction $f$ définie sur $\R^*$ dont on donne le tableau de variations :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{8.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$0$};
\node at (6*\Lrg,0) {$2$};
\node at (8*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$-2$};
\node[left] (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node[right] (f4) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f5) at (6*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$1$};
\node (f6) at (8*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
\draw[fleche] (f5) -- (f6);
% Doubles Barres
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef+0.9*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\bb{4*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Dresser, en justifiant, les tableaux de variations des fonctions $-f$, $|f|$, $f^2$ et $\dfrac{1}{f}$, en précisant les limites aux bornes de $\R^*$.
\end{exoi}

\begin{exoi}
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $\qquad  f(x)=\dfrac{1-3x}{x^2+x}$
\begin{enumerate}
\item A l'aide de votre calculatrice, conjecturer la limite de $f$ en $0$, et en $+\infty$, ainsi que ses variations.
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.\\
En donner une interprétation graphique.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Etudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$.
\item En déduire le tableau complet des variations de $f$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sqrt{x^2+4}-x$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item Démontrer que pour tout réel $x$ on a $\qquad  f(x)=\dfrac{4}{\sqrt{x^2+4}+x}$\\
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
Soit $f$ une fonction décroissante sur $]0;+\infty[$ telle que :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$$
Démontrer que, pour tout $x\in\R^+$ on a $f(x)\geq 0$
\end{exoi}

\begin{exoi}
Soit $f(x)=\dfrac{1+2\sin x}{1+\sqrt{x} }$ sur $]0;+\infty[$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, si $x>0$ alors $-\dfrac{1}{1+\sqrt{x} }\leq f(x)\leq \dfrac{3}{1+\sqrt{x} }$
\item En déduire que $f$ admet une limite en $+\infty$ dont on précisera la valeur.
\end{enumerate} 
\end{exoi}

\end{document}