\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Feuille d'exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\section{Exercices d'applications}
\begin{exoi}

On définit la suite $(u_n)$ sur $\N$ par : 
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=a \\ u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}  \end{array} \right.$$
où $a\in[-1;+\infty[$.\\
A l'aide d'un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ \footnote{On comparera les valeurs $u_0$ et $u_1$ suivant les valeurs de $a$.}
\end{exoi}

\begin{exoi}
Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_n=n^2+4n+3$
\item $u_n=\dfrac{2^n}{n+1}$
\item $u_n=\dfrac{1-n^2}{n+2}$
\item $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n-\dfrac{1}{n+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)$ définie, pour $n\in\N$,  par $$ u_n=\dfrac{-2n^2+1}{n^2+4}$$
Démontrer que cette suite est bornée.
\item Soit $(v_n)$ définie par $$\left\{ \begin{array}{l} v_0=0 \\ v_{n+1}=2 \sqrt{v_n} +1  \end{array} \right.$$
Démontrer que $(v_n)$ est bornée par $0$ et $9$
\end{enumerate}
\end{exoi}



\begin{exoi}

Démontrer que chacune des suites $(u_n)$ est minorée mais non bornée :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{n+1}{\sqrt{n} }$
\item $u_n=\dfrac{n^2+\cos n}{n+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exoi}

\begin{exoi}Dans chacun des cas suivants, on définit la suite $(u_n)$ pour $n\geq 1$ ; préciser si cette suite est bornée :
\begin{enumerate}
\item
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=n^2+n-2$
\item $u_n=\dfrac{2n}{n+1}$
\item $u_n=\dfrac{1}{n}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{3-\sin n}{2} $
\item $u_n=\dfrac{2+\sin^2 n}{4}$
\item $u_n=n+(-1)^n$
\item $u_n=\dfrac{n}{n+1}$
\item $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
\item $u_n=-\dfrac{5}{3^n}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
La suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par  :
 $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=\dfrac{1}{2} \\ u_{n+1}=\dfrac{8u_n+3}{u_n+6} \end{array} \right.$$
 \begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 1$ on a : $1<u_n<3$
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\end{enumerate}
\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $$ v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique, préciser son premier terme et sa raison.
\item Quelle est la limite de $(v_n)$ ?
\end{enumerate}
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $v_n$. En déduire le comportement à l'infini de $u_n$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par :
$$ u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}\qquad \text{et} \qquad v_n=-(n+1)^2$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera.
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.\\
}
{
$n=0$ et $u=\dfrac{1}{3}$.\\
  \While{$|u-2|\geq 0,001$}
{$n:=n+1$ et $u:=\dfrac{2n+1}{n+3}$  
}
\\Afficher $n$
}
}
\end{center}
Quel est l'intérêt de cet algorithme ?
\item A partir de quel rang $N$ la distance entre $u_n$ et $\ell$ est-elle strictement inférieure à $0,001$ ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n<-10^{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
Déterminer la limite des suites $u$, $v$ et $w$ définies pour tout entier naturel $n$ par :$$ u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}\qquad \text{;}\qquad v_n=\dfrac{n+\cos n}{n+3}\qquad \text{et}\qquad w_n=\dfrac{n^2+(-1)^n}{n+5}$$
\end{exoi}

\begin{exoi}
On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par :
$$ u_n=\dfrac{5}{n+1}\qquad \text{et} \qquad v_n=n^2+n$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera.
\item Compléter l'algorithme suivant de manière à ce qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que la distance entre $u_n$ et $\ell$ soit inférieure à $10^{-5}$ :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.\\
}
{
$n=0$ et $u=\dots $.\\
  \While{$\dots\dots \dots $}
{$\dots \dots \dots $ et $\dots \dots\dots \dots$  
}
\\Afficher $\dots $
}
}
\end{center}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n>10^{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\textit{Etude d'une suite arithmético-géométrique}\\
\begin{enumerate}
\item Chaque année, la grand mère de Julien a déposé de l'argent dans une tirelire afin de constituer une cagnotte pour son petit fils. \\
Elle a commencé le $1^{er}$ janvier $1982$ par un dépot de $500$ F. Depuis lors, elle a effectué un dépot chaque $1^{er}$ janvier, en augmentant chaque année le montant de ce dépot de $50$ F.\\
On note :
\begin{itemize}
\item $u_n$, le montant exprimé en francs, de la somme déposé dans la tirelire le $1^{er}$ janvier de l'année $1982+n$\\
(Ainsi : $u_0=500$, $u_1=550$, $\dots$)
\item $s_n$ le montant exprimé en francs, de la somme déposé dans la tirelire après le dépot de l'année $1982+n$\\
(Ainsi : $s_0=500$, $s_1=1050$, $\dots$)
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$
\item Calculer $s_2$, puis exprimer $s_n$ en fonction de $n$
\item Le $1^{er}$ janvier $2002$, la grand-mère de Julien effectué son dépôt habituel (en francs) puis offre la tirelire à Julien. Quel est le montant de la somme reçue par Julien en francs, puis en euros \footnote{Rappel : $1$ euro correspond à $6,55957$ francs}
\end{enumerate}
\item Avec le cadeau de sa grand-mère, Julien décide d'ouvrir un compte bancaire et décide d'y placer la plus grande partie de la somme reçue. \\
Le $1^{er}$ janvier $2002$, il effectue un placement de $3000\euro$ au taux annuel de $4\%$.\\
De plus chaque $1^{er}$ janvier des années suivantes, il décide d'ajouter sur son compte la somme de $200\euro$, on note :
\begin{itemize}
\item $c_n$ le montant exprimé en euros, du capital disponible sur le compte bancaire de Julien après $n$ années de placement. (Ainsi $c_0=3000$)
\item $(u_n)$ la suite définie par $u_n=c_n+5000$. (Ainsi $u_0=8000$).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ on a $ c_{n+1}=1,04c_n+200$.
\item Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis $c_n$ en fonction de $n$.
\item Combien d'années, au minimum, Julien devra-t-il attendre pour disposer d'une somme de $6000\euro$ sur son compte bancaire ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\pagebreak
\section{Un exemple de devoir}
\begin{exoi} \textbf{Opérations sur les limites et FI} \hfill (4 points)\\
Déterminer en rédigeant convenablement les limites suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
 \item $\lim\limits _{n \to + \infty} \sqrt{n}-\dfrac1{\sqrt{n}}$
  \item $\lim\limits _{n \to + \infty} 5n^4-3n^3+0.9^n$
  \item $\lim\limits _{n \to + \infty} \dfrac{4n^3+27n^2+7}{0.1n^5-4}$
  \item $\lim\limits _{n \to + \infty} 6-\dfrac{7}{0.9^n}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi} \textbf{Limites et comparaison} \hfill (5 points)
\begin{enumerate}
 \item On considère la suite $u$ définie sur $\N$ par $u_n= \dfrac{5n^2-3\cos(n)}{2n^2+n+1}$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $u_{100}$ puis $u_{1000}$ à $10^{-4}$ près \textit{(on réglera la calculatrice en radians)}.\\
    Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de $(u_n)$ ?
    \item Montrer que $(u_n)$ converge et donner sa limite.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item On considère la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_n=n^2+\sin(n)$. \\
 Déterminer la limite de la suite $v$.
 \item A partir de quel rang est-on certain que $v_n\geq 10^6$ ?
 \end{enumerate}
 \item On considère la suite $w$ définie sur $\N$ par $w_n=n\left((-1)^n-2\right)$. \\
 Déterminer la limite de la suite $w$.
\end{enumerate} 
\end{exoi}

\begin{exoi}\textbf{Utilisation d'une suite auxiliaire}\hfill (4 points)\\
 On définit la suite $(u_n)$ sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
                                                        u_0=13 \\ u_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45
                                                       \end{array}\right.$\\
Et la suite $(S_n)$ sur $\N$ par : $S_n=\sum_{k=0}^n u_k -n-1 = u_0 + u_1 + \dots + u_n-n-1$
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_n=u_n-1$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison
  et le premier terme.
  \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et son éventuelle limite.
\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 %\item Déterminer le sens de variation de la suite $S$.
 \item Montrer que $S_n=15\left(1-\left(\dfrac15\right)^{n+1}\right)$.
 \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $S$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\newpage
\begin{exoi} \textbf{Suite récurrente}\hfill (5 points)\\
On considère la suite $u$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
                                                        u_0=4 \\ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}}
                                                       \end{array}\right.$\\
Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-1 ; + \infty[$ par $f(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}}$, alors on a,
pour tout entier $n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
On donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction $f$, ainsi 
 que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$.
 \begin{center}
\psset{unit=2.3cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(5,4.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-0.2)(5,4.2)
\psplot[linewidth=1.5pt]{-0.2}{4.2}{x}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-1}{5}{1 x add 2 div 0.5 exp}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](4,4){$\Delta$} \uput[u](5,1.8){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
 \item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ 
 en laissant apparents les traits de construction. 
\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la 
convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}
 \item Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a : $0 \leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 4$
 \item En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
 \item En constatant que $ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}} \iff \left(u_{n+1}\right)^2=\dfrac{1+u_n}{2}$ car $u_{n+1}\geq 0$
 et en utilisant les règles d'opérations sur les limites, déterminer $\ell$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\textbf{Récurrence}\hfill (2 points)\\
 On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n=\dfrac{2n-1}{2^n}$\\
 Et la suite $(S_n)$ définie sur $\N$ par : $S_n=\sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$.\\
 Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a $S_n=\dfrac{2^{n+1}-2n-3}{2^n}$
\end{exoi}


\end{document}