\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Le Logarithme N\'ep\'erien}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto \ln(1-3x)$
\item $f:x\longmapsto \ln(x+1)+\ln(x-1)$
\item $f:x\longmapsto \ln(x^2+1)$
\item $f:x\longmapsto \ln(1-e^x)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Exprimer, en fonction de $\ln 2$ seulement, les nombres :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\ln 32$
\item $\ln 4096$
\item $\ln \left(\dfrac{1}{8}\right)$
\item $ \ln 0,0625$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Exprimer, en fonction de $a=\ln 2$ et $b=\ln 5$, les nombres :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln \dfrac{8}{25}$
\item $\ln 625$
\item $\ln(10^6)$
\item $\ln 0,08$
\item $\ln \dfrac{1}{2}+\ln \dfrac{2}{3}+\dots +\ln \dfrac{98}{99}+\ln \dfrac{99}{100}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Simplifier les expressions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln e^5$
\item $\ln \sqrt{e}+\ln \dfrac{1}{e}$
\item $e^{\ln(3+\sqrt{2})}$
\item $\ln(e^3 \sqrt{e})$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Démontrer que les fonctions suivantes sont impaires :
\begin{enumerate}
\item $f$ est définie sur $]-3;3[$ par $$ f(x)=\ln \dfrac{3-x}{3+x}$$
\item $ g$ est définie sur $\R$ par $$ g(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Datation au carbone $14$}\\
Les archéologues et les paléontologues datent les objets découverts contenant du carbone (restes d'êtres vivants : os, fossiles, $\dots$) en mesurant la proportion de l'un de ses isotopes, le carbone $14$, encore présent dans l'objet.\\
En effet, à  la mort d'un être vivant, le carbone $14$ présent dans son organisme se désintègre au fil des années, de sorte que, si $p$ est la proportion de $C_{14}$ restante au bout de $N$ années, alors $N=-8310 \ln p$
\begin{enumerate}
\item Le squelette d'un \og Homme de Cro-Magnon \fg contient $5\%$ du carbone $14$ initial. Quel âge-a-t-il ?
\item Lucy est la forme la plus ancienne d'Hominidé connu ; les spécialiste lui donnent $4,4$ millions d'années.\\
A-t-on pu raisonnablement dater les fragments trouvés à  l'aide du carbone $14$ ?
\item Découverte dans un glacier en $1991$, la momie Hibernatus contenait $52,8\%$ (à  $1\%$ près) du carbone $14$ initial. Donner un encadrement de l'âge d'Hibernatus.
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Radioactivité}\\
La loi d'évolution d'un corps radioactif est donnée par la formule $N_1=N_0e^{-at}$, $a$ étant une constante positive et $N_t$ le nombre d'atomes contenus dans un échantillon de ce corps au temps $t$.
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement la fonction $t\longmapsto N_t$
\item On désigne par $T$ le temps au bout duquel $N_T=\dfrac{1}{2}N_0$.\\
Exprimer $a$ en fonction de $T$. Comparer $N_{t+T}$ à  $N_t$. $T$ est appelé \og demi-vie \fg ou \og période \fg du corps radioactif.
\item Au bout de combien de temps $1$ g de radium perdra-t-il une masse de $1$ mg (la période du radium étant de $1622$ ans) ?\\
(La masse est proportionnelle au nombre d'atomes.)
\end{enumerate}}

\Exoi{Résoudre l'équation, l'inéquation ou le système proposé, après avoir déterminé l'ensemble de définition des expressions en présence.
 \begin{multicols}{2}\begin{enumerate}
\item $\ln(x+1)+\ln(x+3)=\ln(x+7)$
\item $\ln(x^2+4x+3)=\ln(x+7)$
\item $\ln x=3$
\item $\ln(3x-1)=5$
\item $\ln x+\ln (x-7)=\ln2$
\item $$\left\{ \begin{array}{l} e^x-2e^y=-5 \\3e^x+e^y=13  \end{array} \right.$$
(Poser $X=e^x$ et $Y=e^y$).
\end{enumerate}\end{multicols}}

\Exoi{Déterminer le plus petit entier $n$ vérifiant :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $1,0001^n>10^{100}$
\item $0,999^n<10^{-100}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Calculer les limites, si elles existent, des fonctions suivantes en $0$ et en $+\infty$.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x\longmapsto \sqrt{1+\ln^2 x}$
\item $x\longmapsto \dfrac{\ln x}{x^2}$
\item $x\longmapsto x-\ln x$ 
\item $x\longmapsto \dfrac{\ln x}{\sqrt{x} }$
\item $x\longmapsto \sqrt{x}\ln x$
\item $x\longmapsto x\ln \sqrt{x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Préciser sur quel intervalle (ou réunion d'intervalles) la fonction est dérivable, et calculer sa dérivée.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\ln(3x+2)$
\item $f(x)=\ln(x^2-1)$
\item $f(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2 x$
\item $f(x)=\ln(\ln x)$
\item $f(x)=x\ln x-x$
\item $f(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{On considère la fonction $f:x\longmapsto \dfrac{1}{2}x+2+\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et étudier les limites aux bornes de cet ensemble (quatre calculs).
\item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que la courbe $\mathscr C_f$ admet en $+\infty$ et $-\infty$ une asymptote oblique $\Delta$ et préciser la position de $\mathscr C_f$ par rapport à  $\Delta$.
\item Construire $\mathscr C_f$ et $\Delta$ (unité : $1$ cm).
\item Montrer que le point $\varOmega(0;2)$ est centre de symétrie de $\mathscr C_f$.
\end{enumerate} }

\Exoi{On pose, pour $x>0$ et $\alpha$ réel, $$f_\alpha(x)=x^\alpha=e^{\alpha\ln x}$$
\begin{enumerate}
\item Que dire de $f_\alpha(x)$ lorsque $\alpha=0$ ? lorsque $\alpha =1$ ?\\
\textit{Dans la suite, on suppose que $\alpha \notin\{0;1\}$}
\item Etudier les limites de $f_\alpha$ en $0$ et en $+\infty$, en distinguant les deux cas :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\alpha>0$
\item $\alpha<0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item On suppose que $\alpha <0$.\\
Dresser le tableau de variations de $f_\alpha$ et tracer sa représentation graphique $\mathscr C_\alpha$ dans les cas :
$$ \alpha=-2\qquad \alpha=-1\qquad \alpha=-0,5\qquad \alpha=-0,1$$
\item On suppose que $\alpha>0$
\begin{enumerate}
\item On prolonge $f_\alpha$ en $0$ en posant $f_\alpha(0)=0$.\\
Montrer qu'ainsi $f_\alpha$ est continue en $0$.
\item Etudier la dérivabilité en $0$ de la fonction ainsi prolongée (distinguer les cas $\alpha >1$ et $0<\alpha<1$).
\item Etudier $$ \Lim{+\infty} \dfrac{f_\alpha(x)}{x}$$
en distinguant deux cas. Interpréter les résultats.
\item Tracer les courbes $\mathscr C_{0,2}$, $\mathscr C_{0,5}$, $\mathscr C_2$ et $\mathscr C_{4,5}$ sur le même graphique.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

%\Exoi{La fonction suivante permet de modéliser des phénomènes aléatoires se produisant en moyenne trois fois par unité de temps.
%$$ \text{(loi \og gamma trois \fg) : }f(x)=\dfrac{1}{2}x^2e^{-x}\qquad x\geq 0$$
%Etudier la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ :
%\begin{enumerate}
%\item Limite en $+\infty$.
%\item Dérivée et sens de variation.
%\item Représentation graphique.
%\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par 
$$ f(x)=\dfrac{\ln x+xe}{x^2}$$
On note $\Gamma$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal $(Oâ€¢\vec u, \vec v)$, unité graphique : $2$ cm.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Etude d'une fonction auxiliaire.}
\\
On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par : 
$$ g(x)=-2\ln x-xe+1$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Etudier le sens de variation de $g$.
\item Montrer que, dans $[0,5;1]$, l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une seule, notée $\alpha$.
\\
Déterminer un encadrement de $\alpha $ à  $0,1$ près.
\item En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Etude de la fonction $f$}\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier que $$ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$$
puis étudier le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
\item Montrer que $$ f(\alpha)=\dfrac{1+\alpha e}{2\alpha^2}$$
\item Donner le tableau de variations de $f$.
\item Construire $\Gamma$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Un truc de banquier}\\
Les banquiers calculent mentalement le temps approximatif de doublement d'un capital, placé à  intérêts composés, de la faà§on suivante ; \og Si $t$ est le taux d'intérêt (en $\%$), le capital double au bout de $ \dfrac{70}{t}$ années. \fg\\
On rappelle qu'au bout de $n$ années de placement au taux $t$, la valeur d'un capital est multipliée par :
$$ \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^n$$
\begin{enumerate}
\item Etablir, pour $x\geq 0$, l'encadrement :
$$ x-\dfrac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x$$
\item En déduire un majorant de l'erreur dans l'approximation $$ \ln(1+x)\simeq x$$
\item Justifier le \og truc \fg du banquier, pour les petites valeurs de $t$ ($t\leq 14$).
\item Enoncer des règles analogues pour déterminer mentalement le temps au bout duquel un capital triple, quintuple, décuple.
\end{enumerate} }

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = x+ \ln x.\]
On nomme $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O\vec i , \vec j)$ du plan.
\begin{enumerate}\item	\begin{enumerate}\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle \\$]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'équation $f(x) = n$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$.\\
On note $\alpha_{n}$ cette solution. On a donc : pour tout entier naturel \\$n,~ \alpha_{n} + \ln \alpha_{n} =  n$.
\item Sur la page annexe, on a tracé $\Gamma$ dans le repère $(O\vec i , \vec j)$.
\\
Placer les nombres $\alpha_{0},~ \alpha_{1},~ \alpha_{2},~ \alpha_{3},~ \alpha_{4}$ et $\alpha_{5}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction. 
\item Préciser la valeur de $\alpha_{1}$. 
\item Démontrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ est strictement croissante. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à   la courbe $\Gamma$ au point A d'abscisse 1. 
\item Etudier les variations de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
\[h(x) = \ln x - x + 1.\]
 En déduire la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à  $\Delta$. 
\item Tracer $\Delta$ sur le graphique de la page annexe. \\
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,~$\dfrac{n + 1}{2}  \leqslant \alpha_{n}$. 
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
\end{enumerate}}


\begin{center}\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(11,14)
\psaxes{->}(0,0)(0,-3)(11,14)
\psplot[plotpoints=500]{0.048}{11}{x ln x add}
\end{pspicture}
\end{center}

%\Exoi{\'Etudiez la fonction $f~:~x\longmapsto 2^x$.}


%
%\Exoi{\\
%\noindent \textbf{I. Première partie}
%\\
% On appelle $f$ et $g$ les deux fonctions d\'efinies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par
%\[f(x) = \ln(1 +x) - x\quad \text{et} \quad  g(x) = \ln (1+x) - x + \dfrac{x^2}{2}.\]
%\begin{enumerate}\item Etudier les variations de $f$et de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.
%\item En déduire que pour tout $x \geqslant 0,~ x - \dfrac{x^2}{2} \leqslant \ln (1 + x) \leqslant x$.
%\end{enumerate}
%\noindent \textbf{II. Deuxième partie}
%\\
% On se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ de nombres réels définie par :
%\[u_{1}  = \dfrac{3}{2}\quad \text{et} \quad 	u_{n+1} = u_{n}\left(1 + \dfrac{1}{2^{n+1}}\right).\]
%\begin{enumerate}\item Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. 
%\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
%\[\ln u_{n} = \ln \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^2}\right) + \cdots +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^n}\right).\]
%\item On pose $S_{n}	 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}$ et $T_{n} =  \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots +\dfrac{1}{4^n}.$\\
%A l'aide  de la premi\`ere partie, montrer que :
%\[S_{n} - \dfrac{1}{2}T_{n} \leqslant \ln u_{n} \leqslant S_{n}.\]
%\item Caiculer $S_{n}$ et $T_{n}$ en fonction de $n$. En déduire  $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  S_{n}$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  T_{n}$.
%\item Etude de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
%\begin{enumerate}\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante.
%\item En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Soit $\ell$ sa limite.
%\item On admet le résultat suivant : si deux suites $\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont convergentes et telles  que $v_{n} \leqslant w_{n}$  pour tout $n$ entier naturel, alors \\$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n} \leqslant \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_{n}$.
%Montrer alors que $\dfrac{5}{6} \leqslant \ln \ell \leqslant 1$ et en déduire, un encadrement de $\ell$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}
%\pagebreak
%\Exoi{ On pose $f(x)=\dfrac{e^x}{x^\alpha}$.
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Montrez que $f(x)=e^{x\left(1-\alpha\frac{\ln x}{x}\right)}$
%\item Déduisez-en $\Lim{+\infty}f(x)$
%\end{enumerate}
%\item On pose $\psi(x)=x^{\alpha}e^{-x}$ \begin{enumerate}
%\item Démontrez que $\psi(x)=e^{-x\left(1-\alpha\frac{\ln x}{x}\right)}$
%\item Qu'en déduisez-vous ~?
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill \textbf{Amérique du nord 2013}\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]
et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous : 
\begin{center}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-1)(4,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{3.5}{x ln 1 add x dup mul div}
\uput[u](1.2,0.85){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$. 
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  
\\
Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
\[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
		\item Résoudre sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$.
	\\	 
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées. 
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
%\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Démontrer que $0 \leqslant  I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.
%		\\ 
%On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
%		\item Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. 
%		\item Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
%	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill \textbf{Métropole 2013}\\
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] 0~;~+ \infty[$. 
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,2)
\psline(-1.5,2)(9,2)
\uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div}
\end{pspicture}
\end{center}
On dispose des informations suivantes :
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1\,, 0), (1\,, 2), (0\,, 2); 
\item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathcal{C}$ en B; 
\item il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}  
\[f(x) = \dfrac{a+ b\ln x}{x}. \]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. 
		\item Vérifier que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$. 
		\item En déduire les réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate} 	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,, +\infty[,\: f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$. 
		\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel  
$x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\;\dfrac{\ln x}{x}$. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0\,, 1]$. 
		\item Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1\,, + \infty]$ tel que $f(\beta) = 1$.
 \\
Déterminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$.
	\end{enumerate}		
\item On donne l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres réels.\\ 
Initialisation :& Affecter à $a$ la valeur $0$. \\
	&Affecter à $b$ la valeur 1.\\ 
Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\ 
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\ 
~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter à $a$ la valeur $m$.\\ 
~~&Sinon Affecter à $b$ la valeur $m$.\\ 
~~&Fin de Si.\\
\end{tabular}\\ 
&Fin de Tant que.\\ 
Sortie :&Afficher $a$.\\
& Afficher $b$.\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&étape 1 &étape 2 &étape 3 &étape 4 &étape 5 \\ \hline
$a$&0&&&&\\ \hline 
$b$&1&&&&\\ \hline 
$b - a$&&&&&\\ \hline 
$m$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ? 
		\item Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate} 	
%\item Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$. 
%		\item En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x}  \times  \ln x$, terminer la démonstration.
%	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}


%\Exoi{\hfill (Antilles-Guyanne Sept.2010)\\
%\textbf{PARTIE A - Restitution organisée des connaissances}\\
%On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de $u \circ v$ ainsi que ses conditions d'utilisation.
% \\
%On suppose savoir que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et que 
%pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ on a : exp$(\ln x) = x$.
% \\
%A partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction $\ln$ est la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ qui \`a $x$ associe $\dfrac{1}{x}$. 
%\\
%\textbf{PARTIE B - Etude de fonction}
%\\
%On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
%\[f(x) =  x +  \dfrac{\ln x}{x}.\]
%Le but du problème est l'étude de cette fonction (et le calcul d'une aire).\\
%On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unit graphique 3~cm.
%\\
%\textbf{I - Etude d'une fonction auxiliaire}
%\\
%On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par  
%\[g(x) = x^2 + 1 - \ln x.\]
%\begin{enumerate}
%\item Etudier les variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
%\item En deduire le signe de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
%\end{enumerate}
%\textbf{II - Etude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de sa courbe représentative} \boldmath $\mathscr{C}$ \unboldmath 
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? 
%\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f$ puis montrer que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = x$ est asymptote  la courbe $\mathscr{C}$. 
%\item Soit $f'$ la fonction dériveé de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$. 
%\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
%\item Déterminer le point A de la courbe $\mathscr{C}$ en lequel la tangente $\mathscr{T}$ est parallèle à  la droite $\mathscr{D}$. 
%\item Dans le repère \Oij{} tracer les droites $\mathscr{D}$  et $\mathscr{T}$ et la courbe $\mathscr{C}$.
%\end{enumerate}
% }
%
%
%\Exoi{\hfill (La réunion Sept.2010)\\
%Pour tout nombre réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$   par
%\[f_{k}(x) = \ln (x) - kx^2 + 1.\]
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer la limite de la fonction $f_{k}$ en $0$. 
%\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$. 
%Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0$. 
%En déduire la limite de la fonction $f_{k}$ en $+\infty$.  
%\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $ f'_{k}(x)  = \dfrac{1- 2kx^2}{x}$. 
%\item Pour un nombre réel $k$ strictement positif : on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f_{k}$. 
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7.5,3)
%\psframe(7.5,3)
%\psline(0,2)(7.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
%\psline(1.6,0)(1.6,2)\psline(1.7,0)(1.7,2)
%\uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.65,2){$0$} \uput[u](4.5,2){$\dfrac{1}{\sqrt{2k}}$} \uput[u](7.1,2){$+ \infty$}
%\rput(0.75,1){$f_{k}(x)$}
%\psline{->}(1.9,0.3)(3.8,1.7) \psline{->}(5.2,1.7)(7.1,0.3)
%\uput[d](4.5,2){$\dfrac{1 - \ln (2k)}{2}$} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%Justifier les renseignements sur les variations de la fonction $f_{k}$ figurant dans ce tableau.
%\item On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_{k}$ reprsentative d'une fonction $f_{k}$ pour une certaine valeur du nombre réel $k$ strictement positif. Le point A$\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à  la courbe $\mathscr{C}_{k}$. \\
%Quelle est la valeur du nombre réel $k$ correspondant ? Justifier la démarche. 
%\begin{center}
%\psset{unit=2cm}
%\begin{pspicture}(-1,-2.5)(4,1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-2.5)(4,1)
%\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5)
%\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,0.5){$\dfrac{1}{2}$}
%\uput[ul](1,0.5){A} \uput[u](1.3,0.4){$\mathscr{C}_{k}$}\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.031}{3}{x ln 1 add x dup mul 2 div sub}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{enumerate}
%}
%
%
%\Exoi{\hfill (Métropole Sept.2010)\\
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
%\[ f(x) = x (1 - \ln x).\]
%La courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ est donneé en annexe 1 (à  rendre avec la copie). 
%\begin{enumerate}
%\item Etudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
%\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
%\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
%\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathscr{C}$ d'abscisse $a$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées. 
%		\item Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 à ( rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A placé sur la figure.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}
%
%\Exoi{\hfill (Polynésie 2009)\\
%Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par : 
%\[f_{n}(x) =  - nx - x \ln x.\]
% On note $\left(\mathscr{C}_{n}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$, dans un repère orthonormal \Oij.\\
%Les courbes $\left(\mathscr{C}_{0}\right),~ \left(\mathscr{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathscr{C}_{2}\right)$ représentatives des fonctions $f_{0},~ f_{1}$ et $f_{2}$ sont données en annexe.\\
%On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. \\
%\textbf{Partie A : Etude de la fonction~ \boldmath $f_{0}$\unboldmath ~définie sur{} \boldmath $]0~;~+ \infty[$\unboldmath{}  par \boldmath $f_{0}(x) = -x\ln x$.}\unboldmath 
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer la limite de $f_{0}$ en $+ \infty$. 
%\item Etudier les variations de la fonction $f_{0}$ sur $]0~;~+\infty[$.
%\end{enumerate}
%\textbf{Partie B : Etude de certaines propriétés de la fonction{} \boldmath $f_{n},~ n$ \unboldmath{} entier naturel.}
%\\
%Soit $n$ un entier naturel.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que pour $x \in  ]0~;~ + \infty[$ ,  $f'_{n}(x) = -n -1 -\ln x$ où $f'_{n}$ désigne la fonction dérivée de $f_{n}$. 
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item  Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ admet en un unique point $A_{n}$ d'abscisse $\text{e}^{-n-1}$ une tangente parallèle à  l'axe des abscisses. 
%		\item Prouver que le point $A_{n}$ appartient  à  la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. 
%		\item Placer sur la figure en annexe les points $A_{0},~ A_{1},~ A_{2}$.
%	\end{enumerate} 
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item  Démontrer que la courbe $\left(\mathscr{C}_{n}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un unique point, noté $B_{n}$, dont l'abscisse est $\text{e}^{-n}$. 
%		\item Démontrer que la tangente  $\left(\mathscr{C}_{n}\right)$ au point $B_{n}$ a un coefficient directeur indépendant de l'entier $n$. 
%		\item Placer sur la figure en annexe les points $B_{0},~ B_{1},~ B_{2}$.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}
%
%\begin{center}
%\psset{unit=6cm}
%\begin{pspicture}[comma=true](-0.25,-0.6)(1.75,1.1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(1.75,1)
%\psframe(-0.25,-0.6)(1.75,1.1)
%\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.001}{1.48}{x ln x mul neg}\uput[r](1.34,-0.4){$\left(\mathscr{C}_{0} \right)$}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{0.001}{0.78}{x ln 1 add x mul neg}\uput[r](0.67,-0.4){$\left(\mathscr{C}_{1} \right)$}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=red]{0.001}{0.47}{x ln 2 add x mul neg}\uput[r](0.39,-0.4){$\left(\mathscr{C}_{2} \right)$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\pagebreak
%
%\Defc{    La fonction $\log\ :\ x\mapsto \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ définie pour $x>0$ est appele \textbf{fonction logarithme décimal}
%}
%
%\Exoi{
%\begin{enumerate}
%\item \'Etudiez brièvement cette fonction et mettre en évidence ses principales propriétés algébriques.
%\item On considère un repère où l'axe des abscisses est gradué comme d'habitude et où l'axe des ordonnées est gradué en échelle logarithmique,
%I.e qu'une unité étant choisie, la $k-ime$ unité correspond à  une ordonne de $10^k$.
%\\
%Représenter dans un tel repère les fonctions suivantes :
%\begin{multicols}{2}
%\begin{enumerate}
%\item $f_1~:~x\mapsto 10^x$
%\item $f_2~:~x\mapsto 32\times 10^x$
%\item $f_3~:~x\mapsto 0,32\times 10^x$
%\item $f_4~:~x\mapsto e^x$
%\item $f_5~:~x\mapsto e^{-32x}$
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
%\end{enumerate}}
%
%\Exoi{\textit{Musique, complexe, logarithme}\\
%On définit le logarithme de base 2 d'un réel strictement positif par $\log_2(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(2)}$. Dans la suite du problème, $E(x)$
%désigne la partie entière de $x$.
%\begin{enumerate}
%\item \textbf{Préliminaires}
%\begin{enumerate}
%\item \'Etudier les variations de la fonction $\log_2$.
%\item Calculer $\log_2(32)$. Que dire de $\log_2(x)$ si  le réel $x$ est compris entre $2^n$ et $2^{n+1}$~?
%\item On suppose que $E(x)=n$. Calculez $E(x+1)$ en fonction de $n$.
%\end{enumerate}
%\item \textbf{La la la la}\\
%La fréquence rapportée de la fréquence $f$ à  l'intervalle $[1,2[$ est le nombre $r(f)$ défini de la faà§on suivante : soit $p$ un entier
%tel que $2^p\leq f$ et $f<2^{p+1}$, le nombre $f$ appartenant  $[1,+\infty[$; alors $r(f)=2^{-p}f$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que $r(f)=2^{-E\left(\log_2(f)\right)} f$
%\item On dit qu'une fonction $f$ est multiplicativement périodique de période $T$ ($T>0$) si, pour tout réel $t$, on a $\phi(Tt)=\phi(t)$.
%\\
%Montrer que la fonction $r$ est multiplicativement périodique de période 2.
%\\
%On suppose que $r(f_1)=r(f_2)$ : peut-on en déduire qu'il existe un entier relatif $p$ tel que $f_1=2^pf_2$~?
%\\
%Quelle est la fréquence rapportée de $f=203$~?
%\item A la fréquence $f$ on associe le point $M$ du plan complexe d'affixe $z(f)=f e^{2i\pi\log_2(f)}$.
%\\
%On dit que deux sons de fréquences $f_1$ et $f_2$ déterminent la même note si et seulement si $z(f_1)$ et $z(f_2)$ ont le même argument.
%\\
%Montrer alors que $r(f_1)=r(f_2)$. la réciproque est-elle vraie~?
%\item On considère un LA  la fréquence $f_0=440$. On note $\zeta=2^{1/12}$. On définit la suite des demi-tons montant du LA 440 de la
%faà§on suivante $$f_0=440\qquad f_{n+1}=\zeta f_n$$
%\\
%Que pouvez-vous dire de cette suite~?
%\\
%\'Etablir que $f_{n+12}=2f_n$ et interpréter physiquement cette relation.
%\\
%La suite des notes, à  partir du LA 440, obtenu par demi-tons montant est LA$\#$, SI, DO, DO$\#$, R\'E, R\'E$\#$, MI, FA, FA$\#$, SOL,
%SOL$\#$, LA, ...
%\\
% quelle note correspond un son de fréquence $f=18\,794$~?
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}}

\end{document}

