\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Le Calcul Int\'egral}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Exercices}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\section{Intégrations et généralités}

\Exoi{Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une figure :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $I_1=\int_a^b k dx$ si $k>0$.
\item $I_2=\int_0^4 (3-x) dx$.
\item $I_3=\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$.
\item $I_4=\int_0^2 (x+1) dx$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Calculer les intégrales proposées (Vérifier que chacune des fonctions est positive sur l'intervalle considérée) :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $I_5=\int_0^1 (5x^2+3x)dx$
\item $I_6=\int_{-1}^1 x^2 dx$
\item $I_7=\int_{-1}^1 (x^2-3x+8) dx$
\item $I_8=\int_0^1 (x^2-x) dx$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{\begin{enumerate}
 \item Prouvez que, pour tout $t\in[0,1]$,
      $\dfrac{t^2}{2}\leq\dfrac{t^2}{1+t}\leq t^2$.
      \item Déduisez-en un encadrement de
      $I=\ds\int_0^1\dfrac{t^2}{1+t}\,dt$.
\end{enumerate}}


\Exoi{Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0;1]$ telle que, pour tout $x\in [0;1]$, il existe deux réels $m$ et $M$ tels que :
$$ m\leq f(x) \leq M$$
Déterminer la limite de la suite de terme général :
$$ u_n=\int_0^{\frac{1}{n}} f(x) dx$$}

\Exoi{Etudier la limite de la suite de terme général $$ u_n=\int_n^{n+1} e^{-x} dx$$
Vous pourrez commencer par encadrer $e^{-x}$ sur $[n;n+1]$ en fonction de $n$.}

\Exoi{On pose \qquad \qquad \qquad   \qquad \qquad \qquad $ I_n=\dfrac{1}{n !}\int_0^1 (1-x)^ne^{-x} dx\qquad \forall n\in\N$
\\Prouver que $$ 0\leq I_n \leq \dfrac{1}{n!}\int_0^1 e^{-x} dx$$
En déduire $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n$}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} L'intégrale d'une fonction continue et
impaire est nulle.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $\int_{-2}^2f(t) dt=0$, alors $f$ est
impaire.
\item{} Trouvez une fonction paire, non identiquement nulle sur
$[-2,2]$, telle que $\int_{-2}^2f(t)dt=0$.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $\Lim{+\infty}f(x)=0$, alors
$\int_{1}^xf(t)dt$ admet une limite finie quand $x$ tend vers
$+\infty$.
\item{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}$ $\int_1^xf(t) dt=+\infty$
\item{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}$ $\int_1^xf(t)dt=32$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?}Soit $u$ un réel strictement positif, alors
$\int_0^u E(x)\,dx\in\N$, $E(x)$ désignant la \textsl{partie
entière} de $x$.
\item Trouvez une fonction telle que
$\ab{\int_a^bf(t)dt}=\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item{}Trouvez une fonction $f$ telle que
$\ab{\int_a^bf(t)dt}<\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item{} Trouvez une \textsl{condition nécessaire et suffisante} sur
$f$ pour que $\ab{\int_a^bf(t)dt}=\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} $\int_2^3xt^2dt=\int_2^3xt^2\,dx$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} $\int_2^3xt^2dt=\int_2^3x^2t\,dx$
\item{} Trouvez deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[1,2]$,
distinctes, telles que $\int_1^2f(t)dt=\int_1^2g(u) du$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $f$ est bornée sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u) du$ l'est aussi.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $f$ est croissante sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u) du$ l'est aussi.
\item Déterminez   une fonction polynôme de degr\'e sup\'erieur ou \'egal à 2 et dont la valeur
moyenne  sur $[-2~;~2]$ est 0.
\end{enumerate}}


\Exoi{Si vous reconnaissez une forme du style $u'u^n$, alors une primitive sera $$ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$$
En déduire une primitive de $f$ avec $$ f(x)=\dfrac{3}{(x-1)^2}$$}

\Exoi{$f$ est la fonction définie sur $I[-1;8]$ par :
$$f(x)=\dfrac{2x^3+8x^2+8x-3}{x^2+4x+4} $$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x\in I$ on a $$ f(x)=2x-\dfrac{3}{(x+2)^2}$$
\item \begin{enumerate}
\item En déduire une primitive $G$ de $f$ sur $I$.
\item Calculer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=2$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Etudier si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{2x^2+8x-5}{(x^2+x+3)^2}$ et $F(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x+3}$ avec $I=\R$.
\item $f(x)=\dfrac{2x-3}{2x\sqrt{x}}$ et $F(x)=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x}}$ avec $I=]0;+\infty[$.
\item $ f(q)=\dfrac{3q-4}{\sqrt{2q-4}}$ et $F(q)=q\sqrt{2q-4}$ avec $I=]2;+\infty[$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=-\dfrac{2}{(x-2)^2}$.\\
Calculer une primitive $F$ de $f$ sur $]2;+\infty[$.
\item $G$ est la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $G(x)=\dfrac{3x-4}{x-2}$. \\
Calculer la fonction dérivée de $G$.
\item Que peut-on en déduire pour les fonctions $F$ et $G$ ?
\\
Vérifier ce résultat en calculant $F(x)-G(x)$. 
\end{enumerate}}

\Exoi{Déterminer une primitive sur $\R$ de :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $g:x\longmapsto \dfrac{3x}{\sqrt{x^2-1}}$
\item $h:x\longmapsto \dfrac{e^x+3}{(e^x+3x)^3}$
\item $k:x\longmapsto \dfrac{1}{(ax+b)^2}$
\item $f:x\longmapsto \dfrac{e^{\frac{1}{x}} }{x^2}$
\item $ j: x \longmapsto e^{3x+2}$
\item $ l:x\longmapsto (2x+1)e^{x^2+x+7}$
\item $ m : x\longmapsto \sin(3x)+3\cos(2x)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\Exoi{Calculer une primitive de $f_i$ dans les cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f_1(x)=\dfrac{x+1}{(x^2+2x+2)^3}$
\item $f_2(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
\item $ f_3(x)=\tan x$
\item $ f_4(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\pagebreak
\section{Intégration avec primitives}

\Exoi{On rappelle que $$ \cos^2 t= \dfrac{1+\cos 2t}{2}$$
Démontrer que : $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt=\dfrac{\pi}{4}$$}

\Exoi{Démontrer que $$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \ab{\sin t} dt=2$$
\footnote{On utilisera la relation de Chasles afin de supprimer les valeurs absolues.}}


\Exoi{Calculer les intégrales suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \int_0^1 xe^{-x^2} dx$
\item $ \int_{\frac{1}{e}}^e \dfrac{\ln t}{t}dt$
\item $\int_2^4 \dfrac{e^t}{e^t+1}dt$
\item $\int_0^2 \dfrac{x}{ \sqrt{x^2+1}}dx$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[e;e^2]$ par $$ f(x)=\dfrac{\ln^2 x}{x}$$}

\Exoi{La capacité pulmonaire de l'être humain suivant son âge $x$ de $10$ à $90$ ans, s'exprime, en litres, au moyen de la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\dfrac{110(\ln x-2)}{x}$$
Déterminer la valeur moyenne de la capacité pulmonaire entre $20$ et $70$ ans, à $0,1$ litre près par défaut.}
%\section{Intégration par parties}
%\Exoi{}Calculer les intégrales suivantes  \footnote{On calculera $I_7$ et $I_8$  à l'aide de deux intégrations par parties successives}:
%\begin{multicols}{2}
%\begin{enumerate}
%\item $I_1=\ds\int_1^23(x-1)^2\ln (x) dx$
%\item $ I_2=\ds\int_0^{\pi}\sin(x){\rm e}^{-x}dx$ 
%\item $ I_3=\ds\int_0^{\pi/4}\dfrac{x}{\cos^2(x)}dx $
% \item$I_4=\ds\int_1^3\dfrac{x+1}{x}(\ln(x)+x)^3dx$
% \item $ I_5=\ds\int_{-1}^1\dfrac{1}{1+{e}^{-x}} dx$ 
%\item $  I_6=\ds\int_{-1}^1 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
%\item $I_7=\int_0^1 t^2e^{-t} dt$
%\item $I_8=\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x\sin x dx$ 
%\end{enumerate}
%\end{multicols}

%\Exoi{Montrer que :
%$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x \sin x dx = \dfrac{1}{2}\left( e^{\frac{\pi}{2}}-1\right)$$
%\footnote{Intégrer deux fois par parties de façon à retomber sur l'intégrale $I$.}}
\pagebreak
\section{Calculs d'aires et de volumes}
%
\Exoi{Calculer l'aire en unité d'aire de chacun des domaines $\mathscr D$ colorés en jaune.
}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \quad \\
\includegraphics[scale=1]{Metapost/test_courbemulti2.0}
\item \quad \\ \includegraphics[scale=1]{Metapost/test_courbemulti1.0}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\Exoi{Dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$, on considère la courbe $\mathscr C$ d'équation $$ y=\dfrac{-x^3+x}{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\mathscr C$ a une asymptote $\Delta$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathscr D$ compris entre $\mathscr C$, $\Delta$ et les droites d'équations $x=2$ et $x=-2$.
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ffffzz}{1 1 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.94,-1.83)(4.45,2.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.94,-1.83)(4.45,2.2)
\pscustom[linecolor=ffffzz,fillcolor=ffffzz,fillstyle=solid,opacity=0.55]{\psplot{-2}{2}{(-x^3+x)/(x^2+1)}\lineto(2,0)\lineto(-2,0)\closepath}
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-2.937595953331409}{4.452796782713377}{(-x^3+x)/(x^2+1)}
\rput[tl](0.18,-0.37){\begin{scriptsize}
$\qqqqcc{y=\dfrac{-x^3+x}{x^2+1}}$
\end{scriptsize}}
\rput[tl](0.1,1.7){\begin{scriptsize}
But : Déterminer l'aire du domaine $\mathscr D$
\end{scriptsize}}
\rput[tl](-1.93,0.55){$\mathscr D$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%\includegraphics[scale=1]{/Users/Dwicky/Cours/Metapost/fu_carre.1}
%\includegraphics[scale=0.7]{/Users/Dwicky/Cours/Metapost/test_courbefn6.0}

\Exoi{L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$.\\
On considère le cône d'axe $(Oz)$, de sommet $A$, de hauteur $h$ dont la base est le disque de centre $O$ et de rayon $r$. Tout plan d'équation $z=t$, avec $t\in[0;h]$, coupe le cône suivant un disque $\mathscr D$ d'aire $S(t)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le rapport de l'homothétie de centre $A$ transformant la base du cône en $\mathscr D$, et en déduire $S(t)$ en fonction de $r$, $t$ et $h$.
\item Déterminer, à l'aide d'une intégrale, le volume du cône en unités de volume.
\end{enumerate}}


\section{Annales}
%

\begin{exoi}\hfill \textbf{Pondichéry 2013}

\bigskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip


On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
 
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : 

\[h(t) = 	\dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}\]

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
 
On sait qu'initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$~m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de $2$~m.
 
Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~250] par 

\[f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$ ($f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$). 
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~250]. 
\item Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à $1,5$~m. 
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~250] on a $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$. 
 
Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~250] par 

$F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$. 
		\item Déterminer la valeur moyenne\index{valeur moyenne} de $f$ sur l'intervalle [50~;~100]. 

En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près et interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}  
\item On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs  ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$. 

En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-5,-0.2)(230,2.2)
\multido{\n=0+20}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2.2)}
\multido{\n=0.0+0.2}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(230,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.2]{->}(0,0)(-5,-0.18)(230,2.2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{230}{2 19 2.71828 0.04 x mul exp div 1 add div}
\psline(-5,2)(230,2)\uput[d](10,2){$y = 2$}
\uput[u](210,0){temps $t$ (en jours)}
\uput[r](0,2.15){hauteur (en mètres)}
\end{pspicture}
\end{center} 


\begin{exoi}\hfill \textbf{Liban 2013}


Étant donné un nombre réel $k$, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\R$ par 

\[f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- kx}}.\]
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie on choisit $k = 1$. On a donc, pour tout réel $x,f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}$.
 
La représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$ dans le repère \Oij{} est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f_{1}(x)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus. 
\item Démontrer que, pour tout réel $x, f_{1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 +  \text{e}^{x}}$. 
\item On appelle $f'_{1}$ la fonction dérivée de $f_{1}$ sur $\R$. Calculer, pour tout réel $x,\: f'_{1}(x)$. 

En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. 
\item On définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^1  f_{1}(x)\:\text{d}x$. 

Montrer que $I = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$. Donner une interprétation graphique de $I$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on choisit $k = - 1$ et on souhaite tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ représentant la fonction $f_{- 1}$. 

Pour tout réel $x$, on appelle $P$ le point de $\mathcal{C}_{1}$ d'abscisse $x$ et $M $ le point de $\mathcal{C}_{- 1}$ d'abscisse $x$.
 
On note $K$ le milieu du segment $[MP]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1$. 
\item En déduire que le point $K$ appartient à la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$. 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie. 
\item En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{- 1}$ l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre $k$.
 
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle que soit la valeur du nombre réel $k$, la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ est strictement comprise entre les droites d'équations $y = 0$ et $y = 1$. 
\item Quelle que soit la valeur du réel $k$, la fonction $f_{k}$ est strictement croissante. 
\item Pour tout réel $k \geqslant 10,\: f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \geqslant  0,99$. 
\end{enumerate} 


\begin{center}

 
Représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(4,2)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\rput(-1.5,0.35){$\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{exoi}


\begin{exoi} \hfill \textbf{Amérique du nord 2013}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]

et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-1)(4,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{3.5}{x ln 1 add x dup mul div}
\uput[u](1.2,0.85){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$. 
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  

Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 

\[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
 
		\item Résoudre sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$.
		 
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées. 
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $0 \leqslant  I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.
		 
On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi} \hfill (Polynésie 2013)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

 On note $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathscr C$ avec les axes du repère.
		\item Étudier les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\mathscr C$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\item Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe.

On note $\mathscr D$ le domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$. On approche l'aire du domaine $\mathscr D$ en calculant une somme d'aires de rectangles.
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question, on découpe l'intervalle $[0~;~1]$ en quatre intervalles de même longueur :
    \begin{itemize}
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{1}{4} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f(0)$
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left( \dfrac{1}{4} \right)$
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{4} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left(\dfrac{1}{2} \right)$
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[ \dfrac{3}{4}~;~1 \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left( \dfrac{3}{4} \right)$
    \end{itemize}
 Cette construction est illustrée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=6cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.2,2.2)
    
\psframe*[linecolor=yellow](0,0)(0.25,2)
\psframe*[linecolor=yellow](0.25,0)(0.5,1.7523)
\psframe*[linecolor=yellow](0.50,0)(0.75,1.5163)
\psframe*[linecolor=yellow](0.75,0)(1,1.299)
\uput[d](0.125,1.85){$\mathscr{C}$}
\psframe(0,0)(0.25,2)
\psframe(0.25,0)(0.5,1.7523)
\psframe(0.50,0)(0.75,1.5163)
\psframe(0.75,0)(1,1.299)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{1}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.2)(1.2,2.2)
\uput[dl](0,0){O}    
\end{pspicture}    
%\begin{asy}
%import graph;
%usepackage("mathrsfs");
%unitsize(6cm, 3cm);
%
%real f(real x) {return (x+2)*exp(-x);}
%path cf=graph(f, 0,1);
%
%for(int i=0; i<4; ++i) {
%  real x=0.25*i;
%  path p=(x, 0)--(x+.25, 0)--( x+.25, f(x))--(x, f(x))--cycle;
%  filldraw(p, lightyellow, black);
%}
%
%draw(cf, linewidth(1pt));
%xaxis(-.1, 1.1, Ticks(NoZero, Step=1, step=0), Arrow);
%yaxis(-.1, 2.1, Ticks(NoZero, Step=1, step=0), Arrow);
%label("$O$", (0,0), SW);
%label("$\mathscr C$", (.2, f(.2)), SW);
%\end{asy}
      % \includegraphics{BacS-Polynesie-2013-aire}
      
    \end{center}
L'algorithme\index{algorithme} ci-dessous permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine $\mathscr D$ en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|rl|}
        \hline
        Variables : & $k$ est un nombre entier \\
        & $S$ est un nombre réel \\
        Initialisation : & Affecter à $S$ la valeur 0 \\
        Traitement : & Pour $k$ variant de 0 à 3 \\
        & $\phantom{a}\left\vert \text{ Affecter à } S \text{ la valeur } S+\dfrac{1}{4} f\left( \dfrac{k}{4} \right)\right.$ \\
        & Fin Pour \\
        Sortie : & Afficher $S$ \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
    Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du résultat affiché par cet algorithme.
  		\item Dans cette question, $N$ est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l'intervalle $[0~;~1]$ en $N$ intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à la question 2.a.

Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des $N$ rectangles ainsi construits.
	\end{enumerate}
\item Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe.

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
  
\[g(x)=(- x - 3) \text{e}^{-x}.\]
  
On admet que $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire $\mathscr A$ du domaine $\mathscr D$, exprimée en unités d'aire.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de l'erreur commise en remplaçant $\mathscr A$ par la valeur approchée trouvée au moyen de l'algorithme de la question 2. a, c'est-à-dire l'écart entre ces deux valeurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoi}


\begin{exoi}\\ \textbf{Centre étrangers 2013}\\

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ~;~1]$ par : 

\[g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}.\]

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ 1]$, $g(x) >0$.

\medskip

\parbox{8cm}{On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d'autre part entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1 $.\\
La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-contre.}\hfill\parbox{8cm}{

\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.5,2.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\def\f{1+EXP(-x)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
\def\inf{0} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}\\
\uput[u](0.5,1){$\mathscr{D}$}
\uput[d](1.2,0){$x$}
\uput[l](0,2){$y$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}}

\bigskip

Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\parbox{8cm}{Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$.\\
On note $\mathscr{A}_{1}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe $(Ox)$,les droites d'équation $x = 0$ et $x =a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = 1$.\\ 
$\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d'aire. }\hfill
\parbox{8cm}{

\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.4,2.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\def\f{1+EXP(-x)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
\def\inf{0} \def\sup{0.4}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\def\inf{0.4} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange, hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\psline(0.4,0)(0.4,2)
\uput[u](0.2,1){$\mathscr{A}_{1}$}
\uput[u](0.6,1){$\mathscr{A}_{2}$}
\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}
\uput[d](0.4,0){$a$}
\uput[d](1.2,0){$x$}
\uput[l](0,2){$y$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\mathscr{A}_{1}= a - \mathrm{e}^{-a} + 1$.
		\item Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$ par : 

\[f(x) =2x - 2\,\mathrm{e}^{- x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$. 
		\item Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $[0~;~1]$. en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $b$ un réel positif.

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire par la droite d'équation $y=b$. On admet qu'il existe un unique réel $b$ positif solution. 
\begin{enumerate}
\item Justifier l'inégalité $b<1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$. On pourra utiliser un argument graphique. 
\item Déterminer la valeur exacte du réel $b$. 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi} \hfill \textbf{Antilles-Guyanne 2013}

Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

\smallskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que:

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.\\
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

On définie la fonction $g_m$ sur $\R$ par:

\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]
et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère \Oij du plan.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
		\item Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
	\end{enumerate}
\item On a représenté en annexe 2 les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\e}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).

Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.
\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation 

$y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur l'annexe 2.
		\item Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x=a$. On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
		
Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\mathbf{\text{e}}^{1 - a}$.

En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}

\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-3)(5,6)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{-2.0}{5.0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot{-2}{5}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=cyan]{-2.0}{5.0}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.5,4.89){Courbe 1}
\rput[tl](-1.5,0.75){Courbe 2}
\rput[tl](0.2,-1.71){Courbe 3}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{exoi} \hfill \textbf{Métropole 2013}

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] 0~;~+ \infty[$. 


\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,2)
\psline(-1.5,2)(9,2)
\uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div}
\end{pspicture}
\end{center}
 
On dispose des informations suivantes :
 
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1\,, 0), (1\,, 2), (0\,, 2); 
\item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathcal{C}$ en B; 
\item il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
			 
\[f(x) = \dfrac{a+ b\ln x}{x}. \]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. 
 
		\item Vérifier que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$. 
		\item En déduire les réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate} 	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,, +\infty[,\: f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$. 
		\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel  
$x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\;\dfrac{\ln x}{x}$. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0\,, 1]$. 
		\item Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1\,, + \infty]$ tel que $f(\beta) = 1$.
 
Déterminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$.
	\end{enumerate}		
\item On donne l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres réels.\\ 
Initialisation :& Affecter à $a$ la valeur $0$. \\
	&Affecter à $b$ la valeur 1.\\ 
Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\ 
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\ 
~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter à $a$ la valeur $m$.\\ 
~~&Sinon Affecter à $b$ la valeur $m$.\\ 
~~&Fin de Si.\\
\end{tabular}\\ 
&Fin de Tant que.\\ 
Sortie :&Afficher $a$.\\
& Afficher $b$.\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&étape 1 &étape 2 &étape 3 &étape 4 &étape 5 \\ \hline
$a$&0&&&&\\ \hline 
$b$&1&&&&\\ \hline 
$b - a$&&&&&\\ \hline 
$m$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ? 
		\item Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate} 	
\item Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$. 
		\item En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x}  \times  \ln x$, terminer la démonstration.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{exoi}
%\Exoi{
%\textbf{Question de cours}\\
%\textbf{Pr\'erequis}: positivit\'e et lin\'earit\'e de l'int\'egrale.\\
%Soient $a$ et $b$ deux r\'eels d'un intervalle $I$ de $\R$ tels que $a\leqslant b$. D\'emontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $I$ telles que pour tout r\'eel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)\geqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^bf(x) dx\geqslant\int_{a}^bg(x)dx$.\\
%\noindent\textbf{Partie A}
%\begin{enumerate}
%\item Soit $x$ un \'eel sup\'erieur ou \'egal \`a 1.\\
%Calculer en fonction de $x$ l'int\'egrale $\displaystyle\int_{1}^x(2-t)dt$.
%\item D\'emontrer que pour tout r\'eel $t$ appartenant \`a l'intervalle $[1~;~+\infty[$, on a: $2-t\leqslant\dfrac1t$.
%\item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que pour tout r\'eel $x$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1, on a:
%$$-\frac{1}{2}x^2+2x-\frac{3}{2}\leqslant\ln x.$$
%\end{enumerate}
%\noindent\textbf{Partie B}\\
%\smallskip
%Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $h(x)=-\dfrac12x^2+2x-\dfrac32$.\\
%Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d'un rep\`ere orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$ dans lequel on a trac\'e les courbes repr\'esentatives des fonctions $h$ et logarithme n\'ep\'erien sur l'intervalle $[1~;~4]$. On a a trac\'e \'egalement la droite $(d)$ d'\'equation $x=4$.
%\begin{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item D\'emontrer que $\displaystyle\int_{1}^4h(x) dx=0$.
%\item Illustrer sur le graphique le r\'esultat de la question pr\'ec\'edente.
%\end{enumerate}
%\item On note $\mathscr D$ le domaine du plan d\'elimit\'e par la droite $(d)$ et les courbes repr\'esentatives des fonction $h$ et logarithme n\'ep\'erien sur l'intervalle $[1~;~4]$.\\
% En utilisant un int\'egration par parties, calculer l'aire de $\mathscr D$ en unit\'es d'aire.
%\end{enumerate}}
%
%
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{Metapost/test_courbemulti3.0}
%\end{center}
%
%
%\Exoi{On consid\`ere la fonction $f$, d\'efinie sur $[1~;~ + \infty[$ par
%\[f(t) = \dfrac{\text{e}^t}{t}.\]
%\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier la continuit\'e de $f$ sur $[1~;~ + \infty[$. 
%\item Montrer que $f$ est croissante sur $[1~;~ + \infty[$.
%\end{enumerate}
%\item \textbf{Restitution organis\'ee de connaissances}
%On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.
%\\
% Pour tout r\'eel $x_{0}$ de $[1~;~ + \infty[$, on note $\mathscr{A}(x_{0})$ l'aire du domaine d\'elimit\'e par la courbe repr\'esentant $f$ dans un rep\`ere orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'\'equations $x = 1$ et $x = x_{0}$.
% On se propose de d\'emontrer que la fonction ainsi d\'efinie sur $[1~;~ + \infty[$ est une primitive de $f$.
%\begin{enumerate} \item Que vaut $\mathscr{A}(1)$ ?
%\item Soit $x_{0}$ un r\'eel quelconque de $[1~;~ + \infty[$ et $h$ un r\'eel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant :
%\[f(x_{0}) \leqslant \dfrac{ \mathscr{A}(x_{0}+ h) - \mathscr{A}(x_{0})}{h}  \leqslant f(x_{0} + h).\]
%\item Lorsque $x_{0} >1$, quel encadrement peut-on obtenir pour $h < 0$ et tel que $x_{0} + h \geqslant  1$ ?
%\item En d\'eduire la d\'erivabilit\'e en $x_{0}$ de la fonction $\mathscr{A}$ ainsi que le nombre d\'eriv\'e en $x_{0}$ de la fonction $\mathscr{A}$.
%\item Conclure.
%\begin{center}\psset{xunit=2.5cm, yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(2.5,5)
%\psaxes{->}(0,0)(2.5,5.2)
%\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,2.71828)(0,2.71828)
%\psline[linestyle=dotted](1.2,0)(1.2,2.7668)
%\psline[linestyle=dotted](1.35,0)(1.35,2.8574)
%\psplot[plotstyle=curve]{0.5}{2.5}{2.71828 x exp x div}
%\uput[l](0,2.71828){e}
%\uput[d](1.2,0){$x_{0}$} \uput[d](1.45,0.08){$x_{0} + h$} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}
%
%\Exoi{\noindent \textbf{\gray Partie A}
%On consid\`ere la fonction nutn\'erique $f$ de la variable r\'eelle $x$ d\'efinie sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$ par :
%\[f(x) = \sqrt{x} \text{e}^{1 - x}.\]
%\noindent On note $\mathscr{C}$ la  courbe representative de $f$ dans le plan rapport\'e à un rep\`ere orthonormal $(O ; \vec i, \vec j)$.
%\begin{enumerate} \item D\'eterminer la limite de $f$ en $+ \infty$
%(on pourra pour cela justifier et exploiter l'\'ecriture pour tout $x$ r\'eel strictement positif : $\left.~ f(x) =
%\cfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} \times \cfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. Interpr\'eter graphiquement le r\'esultat.
%\item D\'emontrer que $f$ est d\'erivable sur $]0~;~+
%\infty[$ puis calculer $f'(x)$.
%\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variation
%de $f$.
%\item Construire la courbe $\mathscr{C}$ (unit\'e graphique : 2 cm). On admettra que
%$\mathscr{C}$est tangente en O à l'axe des ordonn\'ees.
%\end{enumerate}
%\vspace{0,5cm}
%\noindent \textbf{\gray Partie B}
%On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} =\displaystyle\int_{n}^{n+1}\:
%f(t)\:\text{d}t$.
%\begin{enumerate} \item Interpr\'eter g\'eom\'etriquement $u_{n}$.
%\item D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$ non
%nul : $f(n +1) \leqslant  u_{n} \leqslant f(n)$.
%\item En d\'eduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est d\'ecroissante.
%\item Prouver la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ et d\'eterminer sa limite.
%\end{enumerate}
%\vspace{0,5cm}
%\noindent \textbf{\gray Partie C}
%On consid\`ere la fonction num\'erique $F$ de la variable r\'eelle $x$ d\'efinie sur $[1~;~+ \infty[$ par :
%\[F(x) = \displaystyle\int_{0}^x\:f(t)\:\text{d}t.\]
%\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $F$ est d\'erivable sur $[1~;~+ \infty[$ et
%calculer $F'(x)$.
%\item En d\'eduire le sens de variations de $F$.
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que pour tout r\'eel $t$ positif : $t +
%2 \geqslant  2\sqrt{2}\sqrt{t}$.
%\item En d\'eduire que pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ :
%\[F(x) \leqslant \cfrac{1}{2\sqrt{2}} \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:
%\text{d}t.\]
%\item À l'aide d'une int\'egration par parties, montrer que pour tout
%$x$ appartenant à $[1~;~+ \infty[$ :
%\[ \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:\text{d}t = 4 -
%(x + 3)\text{e}^{1-x}.\]
%\item En d\'eduire que pour tout $x$ appartenant à $[1~;~+
%\infty[~ :~ 0 \leqslant  F(x) \leqslant \sqrt{2}$.
%\end{enumerate}
%\item On note, pour tout entier naturel $n$ non nul,
%$S_{n}$ la somme des $n-1$ premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. Exprimer $S_{n}$ à l'aide d'une int\'egrale. Montrer que la
%suite $\left(S_{n}\right)$ converge et donner un encadrement de sa limite.
%\end{enumerate}}
%
%\Exoi{Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.
%\noindent On note I le point de coordonn\'ees $(1~;~0)$.
%\noindent Soient $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f'x) = \text{e}^{x - 1}$ et  $\mathscr{C}$ sa courbe
%repr\'esentative dans le rep\`ere $(O;\vec i, \vec j)$.
%\noindent On note  $\Delta$ la portion de plan comprise entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites
% d'\'equations $x =  0$ et $x = 1$.
%\noindent  Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique r\'eel
% $\alpha$ appartenant à [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de
% $\mathscr{C}$ d'abscisse $\alpha$,
% le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux r\'egions de même aire.
%\noindent  Pour tout $x$ appartenant à [0 ; 1] on note $M_{x}$ le point de coordonn\'ees $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine
%d\'elimit\'e par la
% droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonn\'ees et la courbe $\mathscr{C}$.
%\noindent  On d\'esigne  par $g(x)$ l'aire de $T_{x}$.
%\begin{center}
%    \psset{unit=5cm}
%\begin{pspicture}(1.25,1.25)
%     \psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
%     \psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
%     \psline(1,0)(0.4,0.548811)
%     \psline(1,0)(1,1)
%     \uput[u](0.5,0.67){$\mathscr{C}$}
%     \uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
%     \pscustom{\psline(0,0)(0,0.307879) \psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}\psline(0.4,0.548811)(1,0)
%     \gsave
%     \psline(0,0)(1,0)
%%\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
%     \fill[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]
%     \grestore
%     \psline(0.4,0)(0,0)}
%\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811) \uput[d](0.75,0.3){$\Delta$} \uput[d](0.4,0){$x$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\begin{enumerate} \item Pour $x$ appartenant à l'intervalle [0, 1],
%calculer $g(x)$ en fonction de $x$.
%\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ : $x
%\mapsto g(x)$ sur [0 ; 1].
%\item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\alpha$ de [0 ; 1] tel que
%$g(\alpha)$ soit \'egal à la moiti\'e  de l'aire de $\Delta$.
%\item Trouver une valeur approch\'ee de $\alpha $ à $10^{-3}$ pr\`es par d\'efaut.
%\end{enumerate}
%}
%
%
%
%\Exoi{
%Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.
%\noindent On note I le point de coordonn\'ees $(1~;~0)$.
%\noindent Soient $f$ une fonction positive, strictement croissante et d\'erivable sur [0 ; 1], $\mathscr{C}$ sa courbe repr\'esentative
%dans le rep\`ere $(O;\vec i, \vec j)$ et $\Delta$ la portion de plan comprise entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites
%d'\'equations $x =  0$ et $x = 1$.
%\noindent  Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique r\'eel
% $\alpha$ appartenant à [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de
% $\mathscr{C}$ d'abscisse $\alpha$,
% le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux r\'egions de même aire.
%\noindent  Pour tout $x$ appartenant à [0 ; 1] on note $M_{x}$ le point de coordonn\'ees $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine
%d\'elimit\'e par la
% droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonn\'ees et la courbe $\mathscr{C}$.
%\noindent On d\'esigne par $F$ la fonction d\'efinie sur [0 ; 1] par $F(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$ et par $g(x)$
%l'aire de $T_{x}$.
%\begin{center}
%    \psset{unit=5cm}
%\begin{pspicture}(1.25,1.25)
%     \psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
%     \psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
%     \psline(1,0)(0.4,0.548811)
%     \psline(1,0)(1,1)
%     \uput[u](0.5,0.67){$\mathscr{C}$}
%     \uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
%     \pscustom{\psline(0,0)(0,0.307879) \psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}\psline(0.4,0.548811)(1,0)
%     \gsave
%     \psline(0,0)(1,0)
%%\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
%     \fill[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]
%     \grestore
%     \psline(0.4,0)(0,0)}
%\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811) \uput[d](0.75,0.3){$\Delta$} \uput[d](0.4,0){$x$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\begin{enumerate} \item Exprimer, pour tout $x$ appartenant à
%l'intervalle [0 ; 1], $g(x)$ en fonction de $x,~f(x)$ et $F(x)$.
%\item \textbf{D\'emonstration de cours} D\'emontrer que $F$ est
%d\'erivable et a pour d\'eriv\'ee $f$.
%\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ : $x
%\mapsto g(x)$ sur [0 ; 1].
%\item \begin{enumerate} \item Par des consid\'erations d'aires, montrer que
%$g(0) \leqslant \cfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t$.
%\item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\alpha$ de [0 ; 1]
%tel que $g(\alpha)$ soit \'egal à la moiti\'e de l'aire de $\Delta$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}}
%
%\Exoi{
%Les questions sont ind\'ependantes. II est demand\'e de justifier toutes les r\'eponses fournies.
%\begin{enumerate} \item Dans chacun des cas suivants, proposer une
%fonction $f$ qui v\'erifie les propri\'et\'es donn\'ees.
%\noindent On donnera l'expression de $f(x)$.
%\begin{enumerate} \item $f$ est d\'efinie sur $\R$ par $f(x) = a\text{e}^{2x} +
%b\text{e}^{x} + c$, la limite de $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$ et l'\'equation $f(x) = 0$ admet deux solutions, $0$ et $\ln 2$.
%\item $f$ est d\'efinie sur $]0~;~ + \infty[,~ f(2) = 4$ et, pour tout $x$ et tout $y$
%r\'eels strictement positifs, $f(xy) = f(x) + f(y)$.
%\item $f$ est une fonction polynôme de degr\'e sup\'erieur ou \'egal à 2 et la valeur
%moyenne de $f$ sur $[-2~;~2]$ est 0.
%\end{enumerate}
%\item Soit $g$ une fonction d\'efinie et d\'erivable, de
%d\'eriv\'ee $g'$ continue sur $[-1~;~ 1]$. La courbe repr\'esentative de $g$ est donn\'ee ci-dessous.
%\begin{center}
%\psset{unit=3cm}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(1,2)
%\psline{->}(-1.1,0)(1.1,0) \psline{->}(0,-1)(0,2) \psplot{-1}{1}{x 1 sub x mul} \uput[d](1,0){1} \uput[d](-1,0){-1} \uput[l](0,1){1}
%\uput[l](0,2){2}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\noindent Les affirmations suivantes sont-elles coh\'erentes avec le sch\'ema:
%\begin{enumerate} \item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x= 0$~ ?
%\item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x \geqslant -
%\cfrac{1}{2}$~ ?
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}}
%
%
%
%\Exoi{
%\noindent \textbf{Partie A}
%On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par :
%\[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1
%(1 - t)^n \text{e}^t\, \text{d}t.\]
%\begin{enumerate}\item Montrer que la fonction $f~:~t \longmapsto (2 - t)\text{e}^t$ est une primitive de $g~:~t \longmapsto (1 - t)\text{e}^t$ sur $[0~;~1]$.
%En d\'eduire la valeur de $u_{1}$.
%\item Montrer \`a l'aide d'une int\'egration par parties que, pour tout $n$ non nul,
%\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\quad \text{(R)}\]
%\end{enumerate}
%\vspace{0,5cm}
%\noindent \textbf{Partie B}
%\\
%On regarde d'abord ce qu'affichent deux calculatrices diff\'erentes pour les valeurs approch\'ees des 25 premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant pour le calcul la relation de r\'ecurrence (R) ci-dessus.
%\noindent Voici les r\'esultats affich\'es par ces deux calculatrices :
%\begin{center}\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
%Valeur & Valeur de $u_{n}$ affich\'ee par &  Valeur de $u_{n}$ affich\'ee par\\ 
%de $n$ & la premi\`ere calculatrice & le deuxi\`eme calculatrice\\ \hline
%1&$7,1828182845$E$-01$&$7,1828182846$E$-01$\\\hline
%2&$4,3656365691$E$-01$&$4,3656365692$E$-01$\\\hline
%3&$3,0969097075$E$-01$&$3,0969097076$E$-01$\\\hline
%4&$2,3876388301$E$-01$&$2,3876388304$E$-01$\\\hline
%5&$1,9381941508$E$-01$&$1,9381941520$E$-01$\\\hline
%6&$1,6291649051$E$-01$&$1,6291649120$E$-01$\\\hline
%7&$1,4041543358$E$-01$&$1,4041543840$E$-01$\\\hline
%8&$1,2332346869$E$-01$&$1,2332350720$E$-01$\\\hline
%9&$1,0991121828$E$-01$&$1,0991156480$E$-01$\\\hline
%10&$9,9112182825$E$-02$&$9,9115648000$E$-01$\\\hline
%11&$9,0234011080$E$-02$&$9,0272128000$E$-02$\\\hline
%12&$8,2808132963$E$-02$&$8,3265536000$E$-02$\\\hline
%13&$7,6505728522$E$-02$&$8,2451968000$E$-02$\\\hline
%14&$7,1080199309$E$-02$&$1,5432755200$E$-01$\\\hline
%15&$6,6202989636$E$-02$&$1,3149132800$E$+00$\\\hline
%16&$5,9247834186$E$-02$&$2,0038612480$E$+01$\\\hline
%17&$7,2131811612$E$-03$&$3,3965641216$E$+02$\\\hline
%18&$-8,7016273909$E$-01$&$6,1128154189$E$+03$\\\hline
%19&$-1,7533092042$E$+01$&$1,1614249296$E$+05$\\\hline
%20&$-3,5166184085$E$+02$&$2,3228488592$E$+06$\\\hline
%21&$-7,3858986580$E$+03$&$4,8779825043$E$+07$\\\hline
%22&$-1,6249077047$E$+05$&$1,0731561499$E$+09$\\\hline
%23&$-3,7372887209$E$+06$&$2,4682591448$E$+10$\\\hline
%24&$-8,9694930302$E$+07$&$5,9238219474$E$+11$\\\hline
%25&$-2,2423732585$E$+09$&$1,4809554869$E$+13$\\\hline
%\end{tabular} \end{center}
%\noindent Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand on examine les r\'esultats obtenus avec la premi\`ere calculatrice ? Et avec les r\'esultats obtenus avec la deuxi\`eme calculatrice ?
%\vspace{0,5cm}
%\noindent \textbf{Partie C}
%\\
%Dans cette partie on se propose d'\'etudier la suite $\left(u_{n}\right)$ \`a partir de la d\'efinition : 
%\[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1
%(1 - t)^n \text{e}^t\, \text{d}t.\]
%\begin{enumerate}\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \geqslant 0$.
%\item \begin{enumerate}\item Montrer que pour tout r\'eel $t$ de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul $n$
%\[ (1 - t) ^n \text{e}^t \leqslant \text{e} \times (1 - t)^n.\]
%\item En d\'eduire que pour tout $n$ non nul, $u_{n} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n + 1}$.
%\end{enumerate}
%\item D\'eterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
%\end{enumerate}
%\vspace{0,5cm}
%\noindent \textbf{Partie D}\\
%Dans cette partie, on se propose d'exploiter la relation de r\'ecurrence (R) v\'erifi\'ee par la suite $\left(u_{n}\right)$.
%\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\]
%\noindent Étant donn\'e un r\'eel $a$, on consid\`ere la suite $\left(v_{n}\right)$ d\'efinie par :
%\[v_{1} = a\quad \text{et pour tout entier naturel non nul}~n,~v_{n+1} = (n + 1)v_{n} - 1.\]
%\begin{enumerate}\item En utilisant le raisonnement par r\'ecurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul $n,~v_{n} = u_{n} + (n!)(a + 2 - \text{e})$ o\`u $n!$ d\'esigne le produit des $n$ premiers entiers naturels non nuls.
%\item Étudier le comportement de la suite $\left(v_{n}\right)$ \`a l'infini suivant les valeurs de $a$.
%\\
%(On rappelle que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n! = + \infty$.)
%\item En d\'eduire une raison susceptible d'expliquer les r\'esultats affich\'es par les deux calculatrices.
%\end{enumerate}
%}
%
%\Exoi{
%On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, sur l'intervalle $[0~ ;~ + \infty[$, par
%\[ f(x) = \ln(x + 1)\quad  \text{et}\quad  g(x) = \text{e}^x - 1.\]
%On désigne par $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal
%$(O;\vec i, \vec j)$. Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera utile ; cette annexe sera \`a joindre \`a la copie, avec les éventuels ajouts effectu\'es par le candidat,
%\begin{enumerate}\item Vérifier que les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ 	ont une tangente commune au point \\O(0 ; 0). Préciser la position de la courbe $\mathscr{C}_{f}$ par rapport à cette tangente.
%\item Démontrer que les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ sont symétriques par rapport \`a la droite d'équation $y =x$.
%\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre $I(a) = \displaystyle\int_{0}^a  \ln (x + 1)\,\text{d}x$.
%\begin{enumerate}\item En utilisant des considérations d'aires, démontrer que
%\[I(a)  = a \ln (a + 1) - \displaystyle\int_{0}^{\ln (a + 1)} \left(\text{e}^x - 1\right)\,\text{d}x.\]
%\item En déduire la valeur de $I(a)$.
%\item Retrouver la valeur de $I(a)$ en effectuant une intégration par parties.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
% \begin{center}
%\noindent \psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(4,4)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10](0,0)(4,4)
%\psaxes[linewidth=1.75pt,labels=none]{->}(0,0)(4,4)
%\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
%\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
%\uput[d](0.5,0){$\vec i$}  \uput[dl](0,0){O}
%\uput[l](0,0.5){$\vec j$}
%\psplot{0}{4}{x 1 add ln} 
%\psplot{0}{1.6095}{2.71828 x exp 1 sub} 
% \end{pspicture} 
%\end{center}}
%
%\newcommand{\pstEllipse}[5][]{% 
%\psset{#1} 
%\parametricplot{#4}{#5}{#2\space t cos mul #3\space t sin mul}} 
%
%\Exoi{
%\begin{center}\psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(4,3) 
%\psaxes{->}(0,0)(4,3) 
%\qdisk(0,2.71828){1.5pt} \qdisk(1,1){1.5pt} 
%\uput[ur](0,2.71828){A} \uput[ur](1,1){B} \uput[dl](0,0){O} 
%\psplot{-0.1}{4.1}{2.71828 1 x sub exp} 
%\end{pspicture}\end{center} 
%\vspace{0,5cm} 
%On a représenté ci-dessus, dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$, la courbe 
%représentative de la fonction $f$ dérivable sur $\R$, solution de l'équation 
%différentielle 
%\[(\text{E})\qquad : \quad y' + y = 0 \quad \text{et telle que} \quad 
%f(0) = \text{e}.\] 
%\begin{enumerate} \item Déterminer $f(x)$ pour tout $x$ réel. 
%\item Soit $t$ un réel donné de l'intervalle [1 ; e]. 
%\\
%Résoudre dans $\R$ l'équation $\text{e}^{1 - x} = t$ d'inconnue $x$. 
%\item Soit A le point d'abscisse 0 et B le point d'abscisse 1 de la courbe. 
%\\
%On considère le solide obtenu par rotation autour de l'axe des ordonnées 
%de l'arc de courbe $\wideparen{\text{AB}}$ comme représenté ci-dessous. On note V son volume. 
%\\
%On admet que V $= \pi \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (1 - \ln t)^2\: 
%\text{d}t$. 
%\\
%Calculer V à l'aide de deux intégrations par parties successives. 
%\end{enumerate} 
%\begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3) 
%\psaxes{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,3) 
%\psplot{0}{1}{2.71828 1 x sub exp} 
%\psplot{-1}{0}{2.71828 1 x add exp} 
%%\psset{origin={0,1}} 
%\rput(0,1){\pstEllipse[linewidth=0.02]{1}{0.2}{-180}{0}} 
%\rput(0,1){\pstEllipse[linestyle=dotted]{1}{0.2}{0}{180}} 
%\end{pspicture}\end{center} }
%
%
%\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $[0~ ;~ + \infty[$ par
%\[ f (x) = x\text{e}^{-x + 2}.\]
%Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.\\
%\noindent \textbf{Partie A}
%\begin{enumerate}\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0~ ;~ + \infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative.
%\item \begin{enumerate}\item Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction $f$ et de la fonction logarithme népérien ; on notera $\mathscr{L}$ cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l'équation
%\[f(x) = \ln (x)\]
%sur $[1~;~ +\infty[$.	
%\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par :
%\[g (x) = \ln (x) - f(x)\]
%est strictement croissante sur $[1~;~ +\infty[$.
%En déduire que l'équation $f(x) = \ln (x)$ admet une unique solution $\alpha$
%sur $[1~;~ +\infty[$.	
%\item Déterminer à $10^{-3}$	près une valeur approchée de $\alpha$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\noindent \textbf{Partie B}
%\begin{enumerate}\item À l'aide d'une double intégration par parties, déterminer :
%\[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^3  x^2\text{e}^{-2x}\,\text{d}x.\]	
%\item On définit le solide $\mathscr{S}$ obtenu par révolution autour l'axe (O$x$) de la courbe d'équation $y = f(x)$ pour $0 \leqslant x \leqslant  3$ dans le plan ($x$O$y$) (repère orthonormal d'unité 4 cm). On rappelle que le volume $\mathscr{V}$ du solide est donné par :
%\[\mathscr{V}	=\displaystyle\int_{0}^3 \pi[f(x)]^2\,\text{d}x.\]
%\begin{enumerate}\item Exprimer $\mathscr{V}$ en fonction de I.
%\item Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm$^3$ près du volume du solide.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}}
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%
%\Exoi{
%La  courbe $\mathscr{C}$ donn\'ee ci-dessous est la repr\'esentation graphique de 
%la fonction $f$ d\'efinie sur $]0~;~+ \infty[$ par :
%\[f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} + 1 - x.\]
%\begin{center}\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(0,-4)(3,1)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white](0,0)(0,-4)(3,1)
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,0)
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-4)(0,1)
%\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](0,1){$\vec j$}
%\uput[dl](1,0){$\vec{i}$}
%\uput[d](2.8,-1.1){$\mathscr{C}$}
%\psplot{0.1515}{3}{x ln x 0.5 exp div 1 add x sub}
%\uput[u](.2,0){$\alpha$}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
%\psplot{0.1515}{1}{x ln x 0.5 exp div 1 add x sub}
%\psline(1,0)(.1515,0)}
%\end{pspicture} \end{center}
%\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est d\'erivable et que,
% pour tout $x$ strictement  positif, $f'(x)$ est du signe de
%\[N(x) = -\left[2\left(x\sqrt{x} -1 \right) + \ln x.\right]\]
%\item Calculer $N(1)$ et d\'eterminer le signe de $N(x)$ en distinguant 
%les cas \\$0 < x < 1$ et $x > 1$.
%\item En d\'eduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ et les 
%coordonn\'ees du point de $\mathscr{C}$ d'ordonn\'ee maximale.
%\end{enumerate}
%\item On note  $\mathscr{A}(\alpha)$ l'aire, exprim\'ee en unit\'es d'aire, de la partie 
%du plan gris\'ee sur la figure, où $\alpha$
%d\'esigne un r\'eel de $]0~;  1[$.
%\begin{enumerate} \item Exprimer $\mathscr{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ 
%(on pourra utiliser une  int\'egration par parties).
%\item Calculer la limite de $\mathscr{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers 0.
% Donner une interpr\'etation graphique de cette limite.
%\end{enumerate}
%\item On d\'efinit une suite $\left(u_n\right)_{n \in \R}$ par son premier terme 
%$u_0$ \'el\'ement de [1 ; 2] et :
%\[ \text{pour tout entier naturel} \quad  n,~ u_{n+1} = \dfrac{\ln 
%u_n}{\sqrt{u_n}} + 1.\]
%\begin{enumerate} \item D\'emontrer, pour tout r\'eel $x$ \'el\'ement de [1 ;  2], la double
% in\'egalit\'e \\$0 \leqslant \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} \leqslant  1$.
%\item D\'emontrer par r\'ecurrence que, pour tout entier naturel $n,~ u_n$ 
%appartient  \`a [1 ; 2].
%\end{enumerate}
%\item En remarquant que, pour tout  entier naturel $n,~u_{n+1} = f(u_n) + 
%u_n$, d\'eterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
%\item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
%\item D\'eterminer la valeur exacte de $\ell$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}

\end{document}