\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Feuille d'exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Espaces}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
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\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\section{Exercices du cours}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
 \item $ABCD$ est un tétraèdre. Le point $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ est le point de $[AD]$ tel que $AJ=\dfrac23 AD$.\\
Déterminer l'intersection de la droite $(IJ)$ et du plan $(BCD)$.
 \item $ABCDEFGH$ est un cube. Les points $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des arêtes $[EF]$, $[FB]$ et $[FG]$.\\
Déterminer l'intersection des plans $(IJK)$ et $(ABC)$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
On considère une pyramide $SABCD$ dont la base $ABCD$ est un parallélogramme.\\
Les points $I$ et $J$ sont définis par 
$$ \overrightarrow{SI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{SA}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{SJ}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{SB}$$
Enfin $K$ est le milieu du segment $[DC]$.
\\
\textbf{But} : Construire la section du solide par le plan $(IJK)$.
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation en perspective cavalière.
\item Déterminer la position du point $L$ d'intersection entre la droite $(IJ)$ et le plan $(ABC)$.
\item Représenter en rouge la section du plan $(IJK)$ sur les faces $SAB$ et $ABCD$.
\item On note $H$ le point d'intersection entre le plan $(IJK)$ et la droite $(AD)$. Déterminer la position de $H$. 
\item En déduire la section de la face $SAD$ par le plan $(IJK)$.
\item Terminer la construction de cette section.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\Rq{Pour tracer la section d'un solide par un plan, il faut déterminer et tracer les intersections de ce plan avec toutes les faces du solide.}

\begin{exoi}
On considère un cube $ABCDEFGH$, $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ celui de $[BC]$ et $K$ celui de $[HG]$.
\\
Déterminer la section de ce cube par le plan $(IJK)$.
\end{exoi}

\begin{exoi}Soit $SABCD$ une pyramide régulière de sommet $S$ à base carrée. Soit $I$ le milieu de l'arête $[SA]$. Le plan $(CDI)$ coupe le plan $(SAB)$ selon une droite $d$. \\
Démontrer que $d$ est parallèle à $(AB)$.\end{exoi}

\begin{exoi}Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $I$ un point de $[EF]$. Déterminer et tracer l'intersection des plans $(EFG)$ et $(ACI)$.
\end{exoi}

\Rq{L'intersection se note à l'aide du symbole $\cap$. Si la droite $d$ est l'intersection de $P$ et $Q$, on note $ d=P\cap Q$}

\begin{exoi}Soit $ABCD$ un tétraèdre. Soit $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des arêtes $[AB]$, $[BC]$ et $[BD]$. \\
Démontrer que $(IJK)//(ACD)$.\end{exoi}

\begin{exoi}
$SABCD$ est une pyramide dont la base $ABCD$ est un trapèze.\\
Démontrer que la droite $(CD)$ est parallèle au plan $(SAB)$.
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
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\psline(14,8)(4,8)
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\rput[bl](12,4.9){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(BFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{exoi}

\pagebreak

\begin{exoi}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
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\rput[bl](12,4.9){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{exoi}


\begin{exoi}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
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\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(DCG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{exoi}



\begin{exoi}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
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 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(EFG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{exoi}

\begin{exoi}\textbf{(Pour les experts)}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
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\psline(10,6)(0,6)
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\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
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\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
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\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
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\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
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\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
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\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
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\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
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\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $J\in(ABF)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{exoi}
\pagebreak

\begin{exoi}Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $N$ et $M$ deux points respectivement situés sur les arêtes $[AD]$ et $[AB]$. Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MNG)$.\end{exoi}

Voici les différentes étapes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur la face $ABCD$}\\
$M$ et $N$ sont deux points communs aux plans $(ABC)$ et $(MGN)$.\\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite $(MN)$, et la trace du plan $(MGN)$ sur la face $ABCD$ est donc le segment $[MN]$. (en pointillés rouge sur la figure).
\item 
\textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$.}\\
Le point $G$ est commun aux plans $(MNG)$ et $(BCG)$. Il suffit de trouver un second point commun aux deux plans.\\
$(MN)\subset (MGN)$ et $(BG)\subset (BCG)$ donc le point d'intersection de $(MN)$ et $(BC)$ appartient à la fois aux plans $(MNG)$ et $(BCG$. Appelons $L$ ce point. On en déduit que l'intersection des plans $(MNG)$ et $(BCG)$ est la droite $(GL)$.\\
Soit $I$ le point d'intersection de $(GL)$ et $(BF)$ : les segments $[GI]$ et $[MI]$ sont les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$ respectivement (en traits pleins rouge sur la figure).
\item \textbf{Traces du plan $(MNG)$ sur les faces $CGHD$ et $ADHE$}\\
Les plans $(ADH)$ et $(BCG)$ sont parallèles. Le plan $(MGN)$ coupe le plan $(BCG)$ selon la droite $(GI)$. On en déduit que $(MGN)$ coupe $(ADH)$ selon une droite parallèle à $(GI)$.\\
$N\in[AD]\subset (ADH)$ donc $N\in (ADH)$.\\
De plus, par définition $N\in (MGN)$. $N$ appartient donc à l'intersection des plans $(MGN)$ et $(ADH)$.\\
On en déduit que l'intersection de ces deux plans est la droite parallèle à $(GI)$ passant par $N$.\\
Cette droite coupe l'arête $[DH]$ en un point $J$ : les segments $[NJ]$ et $[JG]$ sont donc les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $ADHE$ et $CGHD$ respectivement (en traits pointillés rouge sur la figure).
\item \textbf{Section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MGN)$.}
\\
La section du pavé par le plan $(MGN)$ est donc le pentagone $MIGJN$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.5,-0.6)
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.7,-2.9)(8.6,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.7}{8.6}{(--11.7-1.6*x)/-1.4}
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(5.1,-2.5)
\psplot[linewidth=1.2pt]{2.5}{8.6}{(--2.8-1.8*x)/2.7}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.5,-0.6)(6.7,1.1)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\rput[bl](5.1,-2.8){$L$}
\rput[bl](6.9,1){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.4,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.4,-0.6)(6.7,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1.2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(1.7,-0.1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.4,-0.6)
\rput[bl](2.5,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1.2)
\rput[bl](6.9,1.1){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2)
\rput[bl](2.4,1.9){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%\begin{center}
%\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
%\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
%\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(1.2,-1.1)(8.6,4.7)
%\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)(6.7,1)(8.1,4.3)(2.7,2.1)
%\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
%\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1)(8.1,4.3)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(8.1,4.3)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
%\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(6.7,1)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(2.7,2.1)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](6.7,1)(8.1,4.3)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](8.1,4.3)(2.7,2.1)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
%\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.6)(6.7,-0.7)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.7,-0.1)(2.7,1)
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
%\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
%\rput[bl](8.2,1){$C$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
%\rput[bl](2.8,1){$D$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
%\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.6,-0.6)
%\rput[bl](2.7,-1.1){$M$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
%\rput[bl](1.5,0){$N$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1)
%\rput[bl](6.9,0.9){$I$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2.1)
%\rput[bl](2.4,2.1){$J$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
\end{multicols}

\begin{exoi}
\begin{minipage}{6cm}
$ABCDIJKL$ est un parallélépipède. $G$ est le centre de gravité du triangle $BIK$. 
Démontrer que $J$, $D$ et $G$ sont alignés. 
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{13cm}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(7,4.5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,5)
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,3)(4,0)(6,4)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(5,1)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](5,1)(1,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0)(1,1)
\psline(0,0)(1,3)
\psline(5,3)(1,3)
\psline(5,3)(4,0)
\psline(5,1)(6,4)
\psline(6,4)(2,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](1,1)(2,4)
\psline(2,4)(1,3)
\psline(5,3)(6,4)
\psline[linecolor=zzttqq](1,3)(4,0)
\psline[linecolor=zzttqq](4,0)(6,4)
\psline[linecolor=zzttqq](6,4)(1,3)
\psline[linestyle=dotted](2.5,1.5)(6,4)
\psline[linestyle=dotted](3.5,3.5)(4,0)
\psline[linestyle=dotted](1,3)(5,2)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.19,-0.28){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](3.93,-0.25){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](5.06,0.85){\blue{$C$}}
\rput[bl](0.85,1.03){\blue{$D$}}
\rput[bl](0.89,3.04){\blue{$I$}}
\rput[bl](5.11,2.84){\blue{$J$}}
\rput[bl](6.06,4.07){\blue{$K$}}
\rput[bl](2.05,4.07){\blue{$L$}}
\rput[bl](2.24,1.39){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](3.36,3.62){\darkgray{$F$}}
\rput[bl](3.43,2.47){\darkgray{$G$}}
\rput[bl](5.1,1.87){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\end{exoi}

\begin{exoi}
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[EB]$ et $J$ le milieu de $[FG]$. \newline
Démontrer que les vecteurs $ \overrightarrow{EF}$, $ \overrightarrow{BG}$ et $ \overrightarrow{IJ}$ sont coplanaires.  
\end{exoi}

\begin{exoi}
 $ABCD$ est un tétraèdre. Le point $I$ est le milieu de $[CD]$ et le point $K$ est défini par 
$\overrightarrow{AK}=\dfrac12 \overrightarrow{AB} + \dfrac14\overrightarrow{AC} + \dfrac14\overrightarrow{AD}$
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure et placer $K$.
 \item Exprimer $\overrightarrow{BI}$ puis $\overrightarrow{BK}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BD}$.
 \item En déduire que les points $B$, $K$ et $I$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
 $ABCDEFGH$ est un cube. $M$ et $L$ sont les points tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac14\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{EL}=\dfrac14\overrightarrow{EF}$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\overrightarrow{ML}=\dfrac14\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DH}$
 \item En déduire la position de la droite $(ML)$ par rapport au plan $(DBH)$
\end{enumerate}

\end{exoi}


\begin{exoi}
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[CD]$ et $[EF]$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(CK)$ est parallèle au plan $(IJH)$
\item Démontrer que les plans $(IJH)$ et $(BCK)$  sont parallèles
\end{enumerate} 
\end{exoi}

\begin{exoi}
 $SABCD$ est une pyramide à  base carré $ABCD$. Le point $O$ est le centre de $ABCD$.\\
$J$ est le milieu de $[SO]$. Le point $K$ est tel que $\overrightarrow{SK}=\dfrac13\overrightarrow{SD}$
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $S$, $B$, $D$, $O$, $J$ et $K$ sont coplanaires.
\item \begin{enumerate}
       \item Démontrer que $\overrightarrow{BK}=-\overrightarrow{SB} + \dfrac13\overrightarrow{SD}$
 \item Justifier que $\overrightarrow{SO}=\dfrac12 \left(\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \right)$ et en déduire que
 $\overrightarrow{BJ}=-\dfrac34 \overrightarrow{SB} + \dfrac14\overrightarrow{SD} $
 \item Montrer que $B$, $J$ et $K$ sont alignés.
      \end{enumerate}
\item Positions relatives de plans
\begin{enumerate}
 \item Etudier la position relative du plan $(BJC)$ avec le plan $(ABC)$ et avec le plan $(SCD)$.
\item Etudier la position relative des plans $(BJC)$ et $(SAD)$.
 \item Construire la section de la pyramide $SABCD$ par le plan $(BJC)$. Ne pas justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
\begin{minipage}{6cm}
$ABCDIJKL$ est un parallélépipède. $G$ est le centre de gravité du triangle $BIK$. \\
Démontrer, analytiquement, en choisissant un repère, que les points $D$, $G$ et $J$ sont alignés.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{13cm}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(7,4.5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,5)
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,3)(4,0)(6,4)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(5,1)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](5,1)(1,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0)(1,1)
\psline(0,0)(1,3)
\psline(5,3)(1,3)
\psline(5,3)(4,0)
\psline(5,1)(6,4)
\psline(6,4)(2,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](1,1)(2,4)
\psline(2,4)(1,3)
\psline(5,3)(6,4)
\psline[linecolor=zzttqq](1,3)(4,0)
\psline[linecolor=zzttqq](4,0)(6,4)
\psline[linecolor=zzttqq](6,4)(1,3)
\psline[linestyle=dotted](2.5,1.5)(6,4)
\psline[linestyle=dotted](3.5,3.5)(4,0)
\psline[linestyle=dotted](1,3)(5,2)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.19,-0.28){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](3.93,-0.25){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](5.06,0.85){\blue{$C$}}
\rput[bl](0.85,1.03){\blue{$D$}}
\rput[bl](0.89,3.04){\blue{$I$}}
\rput[bl](5.11,2.84){\blue{$J$}}
\rput[bl](6.06,4.07){\blue{$K$}}
\rput[bl](2.05,4.07){\blue{$L$}}
\rput[bl](2.24,1.39){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](3.36,3.62){\darkgray{$F$}}
\rput[bl](3.43,2.47){\darkgray{$G$}}
\rput[bl](5.1,1.87){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\begin{exoi}
Déterminer l'équation de la sphère de centre $A(1;2;3)$ et de rayon $4$.
\end{exoi}


\begin{exoi}
Déterminer l'équation de la sphère de diamètre $[AB]$ où $A(-2;3;-4)$ et $B(1;0;-6)$.
\end{exoi}


\begin{exoi}
On considère l'objet géométrique d'équation $2x+y-z=2$ ; démontrer qu'il s'agit d'une sphère et préciser son centre et son rayon.
\end{exoi}

\begin{exoi}
Démontrons par l'absurde le théorème du toit vu en seconde et rappeler cette année.
On rappelle que l'on considère deux plans $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sécants selon une droite $\Delta$. De plus, on sait 
qu'une droite $d$ de $\mathscr P$ est parallèle à  une droite $d'$ de $\mathscr P'$. Pour raisonner par l'absurde, on suppose de plus
que $\Delta$ n'est pas parallèle à  $d$ et $d'$.\\
On désigne par $\vec u$ un vecteur directeur de $\Delta$. 
\begin{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi ce vecteur $\vec u$ est aussi un vecteur directeur de $\mathscr P$ et de $\mathscr P'$. 
\item Expliquer pourquoi il existe un vecteur $\vec v$ non nul directeur de $d$ et $d'$.
 \item Expliquer pourquoi $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires.
 \item Expliquer pourquoi ce vecteur $\vec v$ est aussi un vecteur directeur de $\mathscr P$ et de $\mathscr P'$.
 \item En déduire une contradiction et conclure. 
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
 Dans un repère de l'espace, on considère les points $E(2;-3;5)$, $F(0;-1;1)$, $H(1;-8;8)$ et la droite d'équation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l}
    x=1+t \\ y=4-t \\ z = -2 + 2t
  \end{array}\right., t\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $d$ et $(EF)$ sont strictement parallèles.
 \item Montrer que $d$ et $(EH)$ sont sécantes et préciser leur point d'intersection $K$.
\end{enumerate}
\end{exoi}





\end{exoi}

\begin{exoi}
On considère un tétraèdre $ABCD$. Soit $E$ le milieu du segment $[AC]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $BCD$.
\begin{enumerate}
\item Construire le point $K$ défini par :
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AK}$$
\item Démontrer que les points $E$, $G$ et $K$ sont alignés.
\item La parallèle $\Delta$ à la droite $(EG)$ passant par $A$ passe-t-elle par le symétrique de $C$ par rapport à $G$ ?
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
Dans le repère $(O,\vec i, \vec j, \vec k)$ de l'espace, on donne les points $A(1;2;-1)$ et $B(2;4;-4)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(AB)$ et l'axe $(O,\vec{k})$ sont sécants. Préciser les coordonnées du point commun $K$.
\item Déterminer des représentations paramétriques du segment $[AB]$ et de la demi-droite $[BK)$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
\section{Un exemple de devoir}

\begin{ExoF} \textbf{Sections} \hfill \textbf{(3 points)}\\
$ABCDEFGH$ est un cube, $I$ est le milieu de $[DH]$, $J$ celui de $[HG]$ et $K$ est le point 
tel que $\overrightarrow{EK}=\dfrac13\overrightarrow{EH}$.
\begin{enumerate}
 \item Sur la première figure, tracer la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(DKF)$
 \item Sur la seconde figure, tracer la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(BIJ)$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(4,0)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(0,0)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,4)(4,4)
\psline(4,4)(5,5)
\psline(5,5)(1,5)
\psline(1,5)(0,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(1,5)
\psline(4,4)(4,0)
\psline(5,1)(5,5)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.2,-0.25){{$A$}}
\rput[bl](3.85,-0.25){{$B$}}
\rput[bl](5.1,1.1){{$C$}}
\rput[bl](1.1,1.1){{$D$}}
\rput[bl](-0.2,4.1){{$E$}}
\rput[bl](3.85,4.1){{$F$}}
\rput[bl](5.1,5.1){{$G$}}
\rput[bl](1.1,5.1){{$H$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](1,3)
\rput[bl](0.7,3.){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](3,5)
\rput[bl](3.,5.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](0.33,4.33)
\rput[bl](0.05,4.4){{$K$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}\hspace{3cm}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(4,0)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(0,0)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,4)(4,4)
\psline(4,4)(5,5)
\psline(5,5)(1,5)
\psline(1,5)(0,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(1,5)
\psline(4,4)(4,0)
\psline(5,1)(5,5)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.2,-0.25){{$A$}}
\rput[bl](3.85,-0.25){{$B$}}
\rput[bl](5.1,1.1){{$C$}}
\rput[bl](1.1,1.1){{$D$}}
\rput[bl](-0.2,4.1){{$E$}}
\rput[bl](3.85,4.1){{$F$}}
\rput[bl](5.1,5.1){{$G$}}
\rput[bl](1.1,5.1){{$H$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](1,3)
\rput[bl](0.7,3.){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](3,5)
\rput[bl](3.,5.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](0.33,4.33)
\rput[bl](0.05,4.4){{$K$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\hfill \textbf{(5 points)}\\
\begin{minipage}{7cm}
$ABCDEFGH$ est un pavé droit. Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des segments $[EF]$ et $[FG]$.\\
Les points $O$ et $O'$ sont les centres respectifs des faces $BCGF$ et $ADHE$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.cm,yunit=1.cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(7.5,4.5)
\psline(0,0)(5,0)
\psline(5,0)(7,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,1)(7,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,1)(0,0)
\psline(0,3.02)(0,0)
\psline(0,3.02)(5,3)
\psline(5,3)(7,4)
\psline(7,4)(2,4)
\psline(2,4)(0,3.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,1)(2,4)
\psline(5,3)(5,0)
\psline(7,1)(7,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2,4)(0,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2,1)(0,3.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](7,4)(5,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](7,1)(5,3)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.2,-0.25){{$A$}}
\rput[bl](4.9,-0.25){{$B$}}
\rput[bl](7.1,1.){{$C$}}
\rput[bl](2.1,1.1){{$D$}}
\rput[bl](-0.2,3.1){{$E$}}
\rput[bl](4.9,3.1){{$F$}}
\rput[bl](7.1,4.1){{$G$}}
\rput[bl](2.1,4.1){{$H$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](2.5,3.01)
\rput[bl](2.5,3.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](6,3.5)
\rput[bl](5.9,3.6){{$J$}}
\rput[bl](1.15,2.0){{$O'$}}
\rput[bl](6.2,2.0){{$O$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item Identifier les points $M$, $N$ et $P$ définis par : 
$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{GH}+\dfrac12\overrightarrow{AH} \qquad \qquad 
\overrightarrow{DN}=\dfrac12\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF} \qquad \qquad 
\overrightarrow{GP}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{GC}+\dfrac12\overrightarrow{DA} $$
\item Montrer que $(EC)$ et $(IO)$ sont parallèles. 
\item Déterminer (en justifiant) la position relative des plans $(OIJ)$ et $(ACE)$.  
\item Soit $K$ le point défini par $\overrightarrow{AK}=\dfrac23\overrightarrow{AG}$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DJ}+\dfrac13\overrightarrow{JA}+\dfrac23\overrightarrow{JG}$ 
  \item Montrer que $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JG}=\overrightarrow{GD}$ 
  \item Déduire des deux questions précédentes que les points $D$, $K$ et $J$ sont alignés. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\pagebreak

\begin{ExoF}\textbf{}\hfill (4 points)
On considère un pavé droit $ABCDEFGH$.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $K$ et $L$ définis par :
$$ \overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{AL}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}$$
\item En exprimant les vecteurs $\overrightarrow{HK}$ et $\overrightarrow{HL}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$, démontrer que les points $H$, $K$ et $L$ sont alignés.
\item Soient $I$ et $J$ les symétriques respectifs de $A$ par rapport à $E$ et $C$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites $(EC)$ et $(GI)$ sont parallèles.
\item Justifier que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AJ}$.
\item Le point $K$ appartient-il au plan $(AIJ)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{}\hfill (6 points)
\begin{multicols}{2}
$ABCD$ est un tétraèdre. \\
$E$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$,\\ 
$F$ est le point tel que $BCFE$ est un 
parallélogramme, \\
$G$ est le point tel que $ADFG$ est un parallélogramme. \\
On se place dans le repère $\left(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AD} \right)$.
\begin{enumerate}
  \item Pourquoi $\left(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AD} \right)$ est-il un repère de l'espace ? 
 \item Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
  \item Déterminer les coordonnées des points $E$, $F$ et $G$.\\
\textbf{ \textit{Justifier un minimum}.}
 \item Démontrer que $B$, $G$, $C$ et $D$ sont coplanaires.
 \item En déduire la position relative de $G$ et du plan $(BCD)$.
\end{enumerate}
\begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-5.5)(6.5,4.5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,4)(0,1)(2,0)(6,1)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,1)(2,0)(4,-5)(2,-4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,4)(6,1)(4,-5)(0,-2)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(2,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,0)(6,1)
\psline[linecolor=zzttqq](6,1)(2,4)
\psline(2,4)(2,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,1)(6,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(2,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,0)(4,-5)
\psline[linecolor=zzttqq](4,-5)(2,-4)
\psline[linecolor=zzttqq](2,-4)(0,1)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(6,1)
\psline[linecolor=zzttqq](6,1)(4,-5)
\psline[linecolor=zzttqq](4,-5)(0,-2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,-2)(2,4)
\psline(2,0)(2,-4)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](2.04,4.1){\blue{$A$}}
\rput[bl](-0.25,1.03){\blue{$B$}}
\rput[bl](2.2,-0.35){\blue{$C$}}
\rput[bl](6.05,1.07){\blue{$D$}}
\rput[bl](1.7,-4.25){\blue{$E$}}
\rput[bl](4.15,-5.17){\blue{$F$}}
\rput[bl](-0.3,-2.11){\blue{$G$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \textbf{}\hfill (5 points)\\
Dans un repère de l'espace, on considère les points suivants :
$$A(-2;2;-1) \quad\quad B(2;0;3) \quad\quad C(-2;0;0) \quad\quad D(0;-4;1) \quad\quad E(-2;-1;-2)$$
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
 \item \begin{enumerate}
  \item  Montrer que $\overrightarrow{DE}$ est colinéaire au vecteur $-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$.
  \item Que peut-on en déduire pour les vecteurs $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ?
 \item Que peut-on en déduire sur la droite $(DE)$ et le plan $(ABC)$ ?
 \end{enumerate} 
  \item \begin{enumerate}
         \item Le point $E$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?\\
         \textit{On pourra regarder si les points $A$, $B$, $C$ et $E$ sont coplanaires}
  \item Préciser alors votre réponse de la question \textbf{2.c)}
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF} \textbf{}\hfill (5 points)\\
Dans un repère de l'espace, on donne des représentations paramétriques des droites suivantes :
$$d_1:\left\{\begin{array}{l}
             x=-1+3t \\y=1-3t \\ z=2t 
            \end{array}\right. , t\in\R \qquad \text{ et } \qquad d_2:\left\{\begin{array}{l}
             x=-4-3t \\y=9-2t \\ z=-5+t 
            \end{array}\right. , t\in\R$$
\begin{enumerate}
 %\item \begin{enumerate}
 %       \item Donner deux vecteurs directeurs de $d_1$.
 %       \item  Donner deux points $A$ et $B$ de la droite $d_1$.
 %        \item \textbf{Bonus : }A votre avis, que faut-il changer dans la représentation paramétrique de la droite $(AB)$ (ie $d_1$) pour décrire le 
 %        segment $[AB]$ ?
 %      \end{enumerate}
  \item Le point $A(17;23;-12)$ appartient-il à $d_1$ ? appartient-il à $d_2$ ?
  \item Donner une représentation paramétrique de la droite $d_3$ passant par $B(1;-2;3)$ et parallèle à $d_1$.
  \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.\\
  \textbf{Bonus : }A votre avis, que faut-il changer dans la représentation paramétrique de la droite $(AB)$ pour décrire le 
         segment $[AB]$ ?
       %  \item Donner un troisième point $C$ de la droite $(AB)$.
      \item Déterminer la position relative de $d_1$ et $d_2$.\\
    \textbf{\textit{On précisera les coordonnées de leur point d'intersection 
    s'il existe}.}
            %   \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(MN)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{}\hfill (4 points)\\
On donne les représentations paramétriques de droites suivantes :
$$d_1:\left\{\begin{array}{l}
             x=1+4t \\y=2-2t \\ z=1+t 
            \end{array}\right. , t\in\R  \quad \quad
            d_2:\left\{\begin{array}{l}
             x=3-6t \\y=2t \\ z=2-t 
            \end{array}\right. , t\in\R \quad \quad
            d_3:\left\{\begin{array}{l}
             x=2-t \\y=-3-5t \\ z=10
            \end{array}\right. , t\in\R
             \quad \quad
            d_4:\left\{\begin{array}{l}
             x=-3-2t \\y=4+t \\ z=-\dfrac12t 
            \end{array}\right. , t\in\R
            $$
 Simone a utilisé le logiciel Xcasfr pour faire ses derniers exercices de géométrie dans l'espace.
 \begin{center}
   \includegraphics[scale=0.8]{Xcas.eps}
 \end{center}

 Pour chaque commande entrée sur le logiciel \textbf{(la $5^e$ est en bonus)} :
 \begin{itemize}
  \item Rédiger la question que Simone pouvait vouloir résoudre, \\
 \textbf{ \textit{Il peut y avoir plusieurs questions possibles, en donner une seule suffit.}}
  \item Répondre à cette question grâce aux résultats donnés par le logiciel.
 \end{itemize}
\end{ExoF}




\end{document}