\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{D\'erivations}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}


\Exoi{\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ à la parabole $\mathscr P$ d'équation $y=x^2-4x+5$.
\item En quels point de $\mathscr P$ peut-on mener une tangente issue de l'origine ? Vérifier sur un dessin. 
\end{enumerate}}

\Exoi{La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f:x\longmapsto 0,05(x^6-6x^5+3x^4+16x^3)$
\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement le signe de $f'(x)$ sur $[-2;5]$
\item Préciser en quels points $f$ admet un extremum relatif.
\end{enumerate}}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-2.30001,-15.1)(5.3,10.1)
\def\xmin{-2.20001} \def\xmax{5.2} \def\ymin{-15} \def\ymax{10}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.30001,-15.1)(5.3,10.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-2.20001,-15)(5.2,10)
\psset{xunit=1cm , yunit=0.4cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0.05 x 6 exp 6 x 5 exp mul sub 3 x 4 exp mul add 16 x 3 exp mul add mul}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exoi{Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est dérivable, puis étudier les variations de $f$.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^3-3x+2$
\item $f(x)=2x^3+5x^2-1$
\item $f(x)=x^2(x-1)^3$
\item $f(x)=x^4-4x$
\item $f(x)=\dfrac{2x-3}{3x+1}$
\item $f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{x+1}$
\item $f(x)=3-\cos^2 x$ sur $[0;\pi]$
\item $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ sur $]0;\pi[$
\item $f(x)=x-9 \sqrt{x}$
\item $f(x)=\sqrt{x}(x-1)$
%\item $f(x)=-x^3+x^2$
%\item $f(x)=x^2+\dfrac{2}{x}$ sur $]0;+\infty[$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{On pose, pour tout $x\geq 0$ et $n\geq 0$, $ f_n(x)=x^n \sqrt{x} $.\\
Montrer que $f_n$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et exprimer $f'_{n+1}(x)$ en fonction de $f_n(x)$.}

\Exoi{Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et calculer sa dérivée :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\cos x^2$
\item $f(x)=\cos(\cos x)$
\item $f(x)=\sqrt{x^2-3x+5}$
\item $f(x)=\sqrt{x^4+1}$
\item $f(x)=\sqrt{5+\sin x}$
\item $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1} }$
\end{enumerate}
\end{multicols}}



\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=x \sqrt{x}-\dfrac{3}{16}x^2 $$
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point $A$ d'abscisse $4$.
\item Etudier la position de $\mathscr C_f$ par rapport à cette tangente.
\item Dessiner la situation correspondante.
\end{enumerate}}

\Exoi{Etudier le signe de $g(x)=30x^3+19x^2-1$ sur $\R$}

\Exoi{\\
\begin{center}
\begin{large}
\textbf{Plan d'étude d'une fonction}
\end{large} 
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Ensemble de définition
\item Ensemble d'étude, propriétés géométriques de la courbe (certaines propriétés, telle la périodicité, peuvent permettre de réduire l'ensemble sur lequel on étudie la fonction)
\item Limites aux bornes de l'ensemble d'étude.
\item Dérivabilité, variations
\begin{itemize}
\item On calcule la dérivée de la fonction sur les intervalles où elle existe\\
\item Son signe fournit le sens de variation.
\end{itemize}
\item Branches infinies (éventuellement)
\item Représentation graphique avec quelques points et tangentes remarquables
\end{enumerate}
Etudier et représenter graphiquement la fonction $f$ en prenant appui sur le plan d'étude donné précédemment :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^3+5x^2-10$
\item $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$
\item $f(x)=x-3+\dfrac{2}{x+1}$
\item $f(x)=x^4-2x^2+5$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R-\{-2;0\}$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}\qquad \text{et}\qquad g(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}$
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $f$ et de $g$ aux bornes de leur ensemble de définition. En déduire que les courbes représentatives $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ont les mêmes asymptotes.
\item Etudier les variations des fonctions $f$ et $g$.
\item Etudier la position de $\mathscr C_f$ par rapport à sa tangente en $\varOmega(-1;0)$, et les positions respectives des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$.
\item Représenter $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ dans un même repère $(O;\vec i, \vec j)$
\item Montrer que $\varOmega$ est centre de symétrie de $\mathscr C_f$ et $(\varOmega,\vec j)$ axe de symétrie de $\mathscr C_g$
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $$f=x\longmapsto x+\sqrt{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est définie sur $D=]-\infty,-1[\cup [1;+\infty[$ et montrer que pour tout $x\in D$ :
\begin{equation} f(x)f(-x)=-1\end{equation}
\item Etudier la limite de $f$ en $+\infty$, puis déduire de $(1)$ celle de $f$ en $-\infty$.
\item Montrer que la droite $\Delta$, d'équation $y=2x$, est asymptote à $\mathscr C_f$ en $+\infty$. On pourra à nouveau utiliser $(1)$.
\item Etudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et en $-1$.
\item Tracer $\mathscr C_f$ et $\Delta$
\end{enumerate} }



\Exoi{\begin{large}
\textbf{La fonction exponentielle}
\end{large}\footnote{La fonction $f$, appelée exponentielle sera étudiée ultérieurement}\\
De nombreux phénomènes d'évolution sont modélisés par une fonction dérivable $f$ dont \textit{la dérivée $f'$ est proportionnelle à la fonction $f$ elle-même}. Nous allons observer l'une d'entre elles par la méthode d'Euler. \\
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ vérifiant $f(0)=1$ et pour tout $x$ $f'(x)=f(x)$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tous réels $a$ et $h$ ($h$ voisin de zéro), l'approximation affine donnée par le calcul des dérivées s'écrit : 
$$ f(a+h)\simeq f(a)(1+h)$$
\item En déduire que, si l'on part de $f(a)$, la suite des valeurs approchées de $f(x)$ obtenus par la méthode d'Euler \footnote{Il s'agit, grâce à l'approximation $f(a+h)\simeq f(a)+f'(a)h$ \begin{itemize}
\item d'obtenir une valeur approchée de $f(x)$ pour certains $x$.
\item de construire la courbe $\mathscr C_f$ de façon approchée.
\end{itemize}}, avec le pas $h$, est une suite géométrique. Quelle est sa raison ?
\item Déduire de la question $2.$ que $f(1)\simeq \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ pour les grandes valeurs de $n$. Donner la valeur approchée de $f(1)$ correspondant à $n=10 000$.
\item Tracer une approximation de la courbe $\mathscr C_f$
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{large}
\textbf{La fonction logarithme népérien}
\end{large}\\
Soit $f$ une fonction vérifiant $f(1)=0$ et pour tout $x>0$, $ f'(x)=\dfrac{1}{x}$
\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée de $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, $f(5)$ et $f(6)$.
\item Construire une approximation de la courbe $\mathscr C_f$ sur $[1;6]$.
\end{enumerate}
}


\Exoi{Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $I=[0;1]$ telles que $f(0)=g(0)$ et $f'\leq g'$ sur $I$. 
Démontrer que $f\leq g$ sur $I$ (On pourra étudier les variations de $g-f$)}

\Exoi{On se propose d'étudier la limite en $ \dfrac{\pi}{2}$ de la fonction $f$ définie par : 
$$ f(x)=\cfrac{\cos x}{x-\cfrac{\pi}{2} }\qquad \forall x\neq \dfrac{\pi}{2}$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que l'on est en présence d'une forme indéterminée.
\item Rappeler le taux d'accroissement de $f$ en $ \dfrac{\pi}{2}$, puis déterminer la limite ci-dessus.
\end{enumerate} }


\end{document}