\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Etude de fonctions}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}


\begin{exoi}
Un triangle $ABC$ isocèle, de sommet principal $A$, est inscrit
dans un cercle de centre $O$ et de rayon 1. $H$ est le pied de la
hauteur issue de $A$. On note $\alpha$ la mesure en radian de l'angle
$\widehat{HOC}$. On suppose enfin que $0\leq\alpha\leq\pi/2$. 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item Exprimez $BC$ et $AH$ en fonction de $\alpha$.
 \item En déduire, en fonction de $\alpha$,
l'aire du triangle $ABC$. \end{enumerate}
 \item On considère la fonction $f$
définie sur $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ par
$$f(\alpha)=\sin\alpha(1+\cos\alpha)$$
Calculez la dérivée $f'$ de $f$ et prouvez que, pour tout réel
$\alpha$ de $[0,\pi/2]$, on a $f'(\alpha)=2\cos^2\alpha+\cos\alpha-1$
\item\begin{enumerate}
\item Factorisez le polynôme $2X^2+X-1$ et en déduire
une factorisation de $f'(\alpha)$ \item Dressez alors le tableau de
variations de $f$. \end{enumerate}
 \item Démontrez qu'il existe une valeur de
$\alpha$, que vous déterminerez, pour laquelle l'aire du triangle
$ABC$ est maximale. Précisez ce maximum. Quelle est alors la
nature du triangle $ABC$~? 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $[-2\pi;2\pi]$ par :
$$g(x)=f(x)=\sin x(1+\cos x)$$
\begin{enumerate}
\item Etudiez la parité de la fonction $g$. 
\item Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item Montrez que $g$ est périodique de période $2\pi$.
 \item Etudiez les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$.
 \item En déduire le tableau de variation de $g$ sur l'intervalle $[-2\pi;2\pi]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.55,-0.89)(4.3,3.71)
\pspolygon[linecolor=ccqqqq,fillcolor=ccqqqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.58,3.28)(0.08,0.42)(3.67,0.82)
\psline[linecolor=ccqqqq](1.58,3.28)(0.08,0.42)
\psline[linecolor=ccqqqq](0.08,0.42)(3.67,0.82)
\psline[linecolor=ccqqqq](3.67,0.82)(1.58,3.28)
\psline(1.58,3.28)(1.88,0.62)
\pscircle(1.8,1.34){1.95}
\psline(1.8,1.34)(3.67,0.82)
\psline(1.8,1.34)(0.08,0.42)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.4593873249015883}{-0.27049779908568117}{0.39*cos(t)+1.8|0.39*sin(t)+1.34}\lineto(1.8,1.34)\closepath}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.58,3.28)
\rput[bl](1.53,3.36){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.08,0.42)
\rput[bl](-0.09,0.27){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.67,0.82)
\rput[bl](3.73,0.84){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.88,0.62)
\rput[bl](1.88,0.45){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.8,1.34)
\rput[bl](1.84,1.36){$O$}
\rput[bl](1.88,1.13){\qqwuqq{$\alpha$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak
\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie  par 
\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{24x+1}}\]
\begin{enumerate}
\item Déterminez l'ensemble de définition $\mathscr D_f$ de la fonction $f$.
\item Montrez que pour tout $x\in \mathscr D$  (où $\mathscr D$ est le domaine de dérivabilité) on a :
$$ f'(x)=\dfrac{-12}{(24x+1)\sqrt{24x+1}}$$
\item Étudiez le sens de variation de $f$ sur $\mathscr D_f$.
\item  Montrez  que   l'équation  $f(x)=\frac{1}{2}$  admet  une  unique
  solution sur $[0;1]$.
 \item  Résolvez cette équation.
\end{enumerate}
\item
L'état d'équilibre de la réaction  de dissociation de $N_2O_4$ peut être
caractérisé par la valeur du  coefficient de dissociation $\alpha$. À la
température de  27 degré, ce  coefficient est lié à  la pression
totale P par la relation~:
\[\alpha^2=\frac{1}{24P+1}\]
 Dans  cette question, on identifie  $x$ à la pression  totale P. $x\in [0;1]$ dans ce cas  et on identifie $f(x)$ à $\alpha$.
  \begin{enumerate}
  \item On considère que la  dissociation de $N_2O_4$  est pratiquement
    totale  si  $\alpha=0,99$.  Déterminez  la  valeur  de  la  pression
    correspondante.
\item   De  manière  plus   générale,  exprimez   $P$  en   fonction  de
  $\alpha$. Pourquoi définit-on ainsi une fonction~? Pouvait-on le prévoir~? 
\item  Dressez le  tableau  de variation  de  la fonction  définie à  la
  question précédente.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoi}
\begin{exoi}
Albert est un fervent adepte de la plongée sous-marine. Alors qu'il se trouve en $A$ et s'émerveille devant la beauté du paysage
aquatique, il aperçoit au loin un requin d'une taille qui le dissuade de poursuivre plus avant son exploration des fonds marins et décide
de rejoindre son bateau situé en $B$. À quel endroit doit-il rejoindre la surface pour que le temps de parcours soit minimal~?
\end{exoi}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{dent.eps}
\end{center}
\end{document}