\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\section{Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes}


\begin{exoi}\begin{enumerate}
\item Soit $x\in \R$, à quelle condition le nombre complexe $z=x+2+i(-ix+x)+2i-5ix$ est-il un réel ?
\item A quelle condition est-il un imaginaire pur ?
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $3z+6i=z-2$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que $z^2-6z+25=(z-3)^2+16$.
\item En déduire les solutions de l'équation $z^2-6z+25=0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}Résoudre dans $\C$ l'équation:  $$ \dfrac{-i}{z+1}=2$$\end{exoi}

\begin{exoi}Résoudre dans $\C$ les équations ci-contre. Les solutions seront données sous forme algébrique.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(-1+2i)z=3+i$
\item $z^2=-9$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}Déterminer les formes algébriques des nombres complexes donnés. Préciser, le cas échéant, s'il est réel ou imaginaire pur :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z_1=i(1-4i)+3(2-i)$
\item $z_2=(3-i)^2+6i$
\item $z_3=\dfrac{3}{1-i}$
\item $z_4=\dfrac{1+2i}{2-i}$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}Résoudre dans $\C$, l'équation :
$$\dfrac{z+3i}{-5iz+2}=-i$$\end{exoi}


\begin{exoi}Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : $ \dfrac{1-i}{1+i}$ et $ \dfrac{1}{2+i}$ \end{exoi}


\begin{exoi}Déterminer le lieu des points $M$ d'affixe $z$ telle que $ \dfrac{iz-1}{z-i}$ soit réel.\end{exoi}

\begin{exoi}
On considère le complexe $z=x^2+y^2-2x-3+i(2x-1+y)$
\begin{enumerate}
\item Déterminer et représenter l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ tel que $z$ soit un réel.
\item Déterminer et représenter l'ensemble $F$ des points $M'$ d'affixe $z$ tel que $z$ soit un imaginaire pur.
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}On considère dans $\C$ le polynôme défini par :
$$ P(z)=z^4+4$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que si le complexe $\alpha$ est solution, il en est de même pour $-\alpha$.
\item Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$ on a $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$
\item Calculer $P(1+i)$ et en déduire les solutions de $P(z)=0$.
\end{enumerate}\end{exoi}

\section{Représenter un nombre complexe  par un point ou un vecteur}

\begin{exoi}On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1+2i$ et $z_B=2-i$. Déterminer l'affixe de $C$ tel que $OABC$ soit un parallélogramme :
\begin{enumerate}
\item en utilisant les affixes de vecteurs ;
\item en utilisant les affixe d'un milieu.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A=\dfrac{3}{2}i$, $z_B=2+\dfrac{1}{2}i$, $z_C=1-\dfrac{3}{2}i$ et $z_D=-1-\dfrac{1}{2}i$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points sur un graphique puis déterminer l'affixe du milieu $I$ du segment $[AC]$.
\item Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$. Que peut-on en déduire ?
\item Déterminer l'affixe du point $E$ symétrique de $A$ par rapport à $B$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}La plan complexe est muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $2-i$ ; $2i$ et $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$
\item Déterminer les affixes des points $A'$ et $B'$ symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$
\item Lire l'affixe du symétrique $C'$ de $C$ par rapport à l'axe réel, puis déterminer l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{CC'}$
\end{enumerate} \end{exoi}

\begin{exoi}Dans le plan complexe, on donne les points avec leurs affixes :
$$ A(1)\qquad B(-2-i)\qquad \text{et}\qquad C(4i)$$
Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.\end{exoi}

\begin{exoi}On considère le parallélogramme $ABCD$ avec $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives : $$z_A=-1-5i\qquad z_B=4-3i\qquad z_C=3+3i\qquad z_D=-2+i $$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer l'affixe du point $C'$, symétrique de $C$ par rapport au point $D$
\item Déterminer l'affixe du point $A'$ vérifiant : $ \overrightarrow{DA'}= \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$
\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $A'BC'D$ ?
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}En utilisant les propriétés du conjugué, écrire le conjugué du nombre complexe donné et le mettre sous forme algébrique :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z_1=(2-3i)(-1+i)$
\item $z_2=\dfrac{i(2-i)}{i-3}$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi} 

\begin{exoi}Soit $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ un repère orthonormal direct du plan et $a$ et $b$ deux réels. \\
Déterminer l'ensemble des points $M(a;b)$ du plan tels que le nombre complexe $z=2a+b+i(b-1)$ soit :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item un réel
\item un imaginaire pur
\item nul
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z=\dfrac{3}{2}-i \dfrac{\sqrt{3} }{2}$
\item Déterminer le module et une valeur approchée à $10^{-2}$ près d'un argument de $z'=-1+2i$. 
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la condition donnée :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $M\in\mathscr C\Longleftrightarrow |z-2-i|=1$
\item $M\in\mathscr F \Longleftrightarrow |z|=|\overline{z}-2+i |$
\item $M\in\mathscr G\Longleftrightarrow arg(z+2i)=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$
\item $ M\in\mathscr H\Longleftrightarrow |z-3|=|z-3i |$
\item $ M\in\mathscr K\Longleftrightarrow | \overline{z} -4+i|=1$
\item  $  M\in\mathscr L\Longleftrightarrow arg( \overline{z}) =arg(-z)[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}


\section{Equation de degré 2 à coefficients réels}

\begin{exoi}Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ -2z^2+6z-5=0$
\item $(z^2+2)(z^2-4z+4)=0$
\item $(t^2-5)(t^2+6t+14)=0$
\item $(t^2+3)(2t^2+2t-4)=0$
\item $(4z^2-4z+101)(z^2+1)=0$
\item $ x^3+6x^2+13x=0$
\item $2z^4-5z^2-18=0$
\item $z^3-12z+48z-128=0$\footnote{Calculer cette expression pour $z=8$}
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}
\section{Forme trigonométrique  et exponentielle d'un nombre complexe}

\begin{exoi}Déterminer une forme trigonométrique de $ \dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$ 
\end{exoi}

\begin{exoi}Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
$$ z_1=-\sqrt{3}+i\qquad \text{et}\qquad z_2=e^{-i\frac{\pi}{6} }\times z_1^2$$\end{exoi}

\begin{exoi}\begin{enumerate}
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :
$$ z^3-1=(z-1)(z^2+az+b)\forall z\in\C$$
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3=1$. On appelle $j$ la solution de partie imaginaire positive. Que vaut $j^3$ ?
\item Etablir que $j^2=\dfrac{1}{j}= \overline{j}$
\item Donner la forme algébrique de $j^n$ suivant les valeurs de l'entier $n$ dans $\N$ 
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}On considère le nombre complexe $$ z=1-\sqrt{3}+i(1+ \sqrt{3})$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $z^2$ sous forme algébrique
\item Déterminer le module et un argument de $z^2$
\item Indiquer le signe de la partie réelle de $z$ et celui de la partie imaginaire, puis, à l'aide des propriétés sur le module et l'argument, déterminer le module et un argument de $z$.
\item Déduire de ce qui précède $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ puis $\cos \dfrac{\pi}{12}$ puis $\sin \dfrac{\pi}{12}$
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}Pour tout nombre complexe $z$, on définit :
$$ P(z)=z^3+2( \sqrt{2}-1)z^2+4(1- \sqrt{2})z-8$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(2)$. \\
Déterminer une factorisation de $P(z)$ par $(z-2)$.
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$
\\
On appelle $z_1$ et $z_2$ les solutions de l'équation autres que $2$, $z_1$ ayant une partie imaginaire positive. Vérifier que $z_1+z_2=-2 \sqrt{2}$.\\
Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$.
\item \begin{enumerate}
\item Placer, dans le plan, muni d'un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : 2 cm), les points : $A$ d'affixe $2$, B et C d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$, et $I$ le milieu de $[AB]$.
\item Démontrer que le triangle $OAB$ est isocèle.
\\ En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OI})$.
\item Calculer l'affixe $z_I$ de $I$, puis le module de $z_I$.
\item Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de $ \cos \dfrac{3\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{3\pi}{8}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=z^2-4z$
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ les points d'affixes :
$$ z_A=1-i\qquad \qquad \text{et}\qquad \qquad z_B=3+i$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les affixes des points $A'$ et $B'$, images des points $A$ et $B$ par $f$.
\item On suppose que deux points ont la même image par $f$.\\Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera.
\end{enumerate}
\item Soit $I$ le point d'affixe $-3$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $OMIM'$ est un parallélogramme si, et seulement si, $z^2-3z+3=0$
\item Résoudre l'équation $z^2-3z+3=0$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer $(z'+4)$ en fonction de $(z-2)$.\\ En déduire une relation entre  $|z'+4|$ et $|z-2|$, puis entre $arg(z'+4)$ et $arg(z-2)$.
\item On considère les points $J$ et $K$ d'affixes respectives $z_J=2$ et $z_K=-4$.\\
Démontrer que tous les points $M$ du cercle $\mathscr C$ de centre $J$ et de rayon $2$ ont leur image $M'$ sur un même cercle que l'on déterminera.
\item Soit $E$ le point d'affixe $z_E=-4-3i$. Donner la forme trigonométrique $z_E+4$ et à l'aide du $3)(a)$ démontrer qu'il existe deux points dont l'image par $f$ est le point $E$. Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points.
\end{enumerate}
\end{enumerate}\end{exoi}
\section{Annales}

\begin{exoi} \hfill \textbf{Pondichery -2013}\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
  
On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.
 
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.
 
À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.
 
On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].
 
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1) et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2). 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend 

$z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$. 
		\item Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
		
Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$. 
		\item Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère \Ouv{ }en prenant 2~cm pour unité graphique.
		 
Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
	\end{enumerate} 
\item On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$. 
		\item Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$. 
		\item Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi} \hfill \textbf{Polynésie 2013}\\
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $z_1 = \sqrt{6} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt{2} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}$. La forme exponentielle de $\text{i} \dfrac{z_1}{z_2}$ est :

  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XXXX}
    (a) $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{19\pi}{12}}$ & 
    (b) $\sqrt{12} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{12}}$ & 
    (c) $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{7\pi}{12}}$ & 
    (d) $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{13\pi}{12}}$
  \end{tabularx}

\item L'équation $- z = \overline z$, d'inconnue complexe $z$, admet :
  \begin{enumerate}
  \item une solution
  \item deux solutions
  \item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
  \item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
  \end{enumerate}

\item Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1~;~2~;~3)$, $B(-1~;~5~;~4)$ et $C(-1~;~0~;~4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :

  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XX}
    (a) $\begin{cases}
      x = -2t-1 \\ y=3t \\ z=t+4
    \end{cases}, t\in \mathbb{R}$ & 
    (b) $\begin{cases}
      x=-1 \\ y=7t \\ z=7t+4
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ \\
    (c) $\begin{cases}
      x=-1-2t \\ y=5+3t \\ z=4+t
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ &
    (d) $\begin{cases}
      x=2t \\ y=-3t \\ z=-t
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
  \end{tabularx}

\item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $D(-1~;~2~;~3)$ et de vecteur normal $\vect{n}(3~;~-5~;~1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases}
    x= t-7 \\ y= t+3 \\ z = 2t+5
  \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
  \begin{enumerate}
  \item La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr P$.
  \item La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathscr P$ et n'a pas de point commun avec le plan $\mathscr P$.
  \item La droite $\Delta$ et le plan $\mathscr P$ sont sécants.
  \item La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr P$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi} \hfill (Antilles-Guyanne 2013)\\
On considère la suite $\left(z_n\right)$ à termes complexes définie par $z_0 = 1 + \text{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, par

\[z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.\]

Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n = a_n + \text{i}b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

\smallskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner $a_0$ et $b_0$.
\item Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac13$.
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant:
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{6cm}
Variables: $A$ et $B$ des nombres réels\\
\phantom{Variables:} $K$ et $N$ des nombres entiers\\
Initialisation: Affecter à $A$ la valeur 1\\
\phantom{Initialisation:} Affecter à $B$ la valeur 1\\
Traitement:\\
Entrer la valeur de N\\
Pour $K$ variant de 1 à $N$\\
\phantom{xxxx} Affecter à $A$ la valeur $\dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3}$\\
\phantom{xxxx} Affecter à $B$ la valeur $\dfrac{B}{3}$\\
FinPour\\
Afficher A
\end{minipage}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{-4}$ près).
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$K$ & $A$ & $B$ \\\hline
1& & \\\hline
2& & \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme  par rapport à la situation étudiée dans cet exercice~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.\\
En déduire l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l'expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$~? En déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n$, et déterminer  la limite de $\left(b_n \right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item
On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
\[
\left|z + z'\right|\leqslant |z| + \left|z'\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}.
\]
Montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[
\left|z_{n+1}\right|\leqslant\dfrac{2\left|z_n\right|}{3}.
\]

		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n= \left|z_n\right|$.\\
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n\leqslant \left(\frac23\right)^n\sqrt{2}.
\]
En déduire que la suite\index{suite} $\left(u_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\left|a_n\right|\leqslant u_n$. En déduire que la suite $\left(a_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Extrait - Métropole 2013}\\
Pour chacune des deux propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. 

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1 :} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est une droite. 
\item \textbf{Proposition 2 :} Le nombre complexe $\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^4$ est un nombre réel. 
\item  Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z + \text{i}| = |z - \text{i}|$.
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{E}$ est l'axe des abscisses. 
		\item $\mathcal{E}$ est l'axe des ordonnées. 
		\item $\mathcal{E}$ est le cercle ayant pour centre O et pour rayon 1.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives $b$ et $c$ vérifient l'égalité $\dfrac{c}{b} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{4}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle OBC est isocèle en O. 
		\item Les points O, B, C sont alignés. 
		\item Le triangle OBC est isocèle et rectangle en B.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Nouvelle Calédonie 2013}\\
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.

\medskip
 
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition} : Pour tout entier naturel $n :\: (1 + \text{i})^{4n} = (- 4)^n$. 
\item Soit (E) l'équation $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
 
\textbf{Proposition} : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\C$, de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire 8. 
\item \textbf{Proposition} : Pour tout nombre réel $\alpha,\: 1 + \text{e}^{2i\alpha} = 2\text{e}^{\text{i}\alpha} \cos(\alpha)$. 
\item Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $\left(z_{\text{A}}\right)^n$ où $n$ désigne un entier  naturel supérieur ou égal à $2$.
 
\textbf{Proposition}: si $n - 1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_{n}$ sont alignés. 
\item Soit j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$. 

\textbf{Proposition} : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Amérique du sud -2013}\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
 
On considère l'équation 

\[(E) :\quad  z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 
\item On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$. 
		\item Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique. 
		\item Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$. 
\item Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$. 
\item On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots 	+ M_{n}M_{n+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \ell_n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$. 
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \geqslant  {1000}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\begin{center}

\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture}(-1,-9)(17,9)
\multido{\n=0+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,-9)(\n,9)}
\multido{\n=-8+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](-0.5,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.9,-9)(17,9)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{exoi}
\end{document}