\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{R\'evisions}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les bases}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{2$^\text{nde}$}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Problème de Luc Chatel}\\
$10$ objets identiques coûtent ensemble $22$ $\euro$. Combien coûtent $15$ de ces objets ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Comprendre un énoncé}\\
Un berger a 27 brebis. Toutes meurent sauf 9. Combien en reste-t-il ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{Argumenter}\\
Un magasin propose les deux promotions suivantes :
\quad $-20\%$ \qquad et \qquad $-20\euro$\\ 
Laquelle est la plus avantageuse financièrement ? Pourquoi ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Chronométré, sans calculatrice}
\begin{enumerate}
 \item Effectuer les quatre opérations suivantes en moins de 20 secondes chacune :
 $$3+\dfrac14 \qquad\qquad\qquad 5\times \dfrac23 \qquad \qquad\qquad \dfrac17 + \dfrac15 \qquad\qquad\qquad \dfrac34 \div \dfrac27$$
 \item Compléter les égalités manquantes en moins de 30 secondes chacune.
 $$4+ \hdots = 2 \times 6 \qquad \qquad\qquad 5- \hdots = -2 \times (-3) 
 \qquad\qquad\qquad 2+3\times \hdots = 4  \qquad \qquad \qquad 2x+5=x-2 + \hdots$$
 \item  Répondre à chaque problème posé en moins d'une minute chacun.
 \begin{itemize}
  \item Dans une classe de seconde, il y a 15 garçons et 20 filles. Les deux-tiers des garçons 
  et le quart des filles sont demi-pensionnaires. Combien y-a-t-il d'élèves de cette classe demi-pensionnaires ?
  \item Dans un triangle rectangle en $C$, le côté $[AB]$ mesure 6 cm, le côté $[BC]$ mesure 5 cm. 
  Donner la valeur exacte de la longueur du côté $[AC]$.
 \end{itemize}
\end{enumerate}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
\hfill \textbf{Somme et différence}\\
Trouver deux nombres entiers dont la somme vaut 281 et dont la diff\'erence vaut 111.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\hfill \textbf{Division euclidienne}\\
La somme de deux entiers naturels $x$ et $y$ est 157. Dans la division euclidienne de $x$ par $y$, 
le quotient vaut 6 et le reste 17. D\'eterminer $x$ et $y$.
\end{ExoF} 

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Stats et Effet Placebo}\\
Un hôpital veut tester l'efficacité d'un nouveau médicament sur une maladie. 
Parmi les patients se présentant ce jour-là avec cette maladie, 120 acceptent de participer au test. 
On détermine alors deux groupes par tirage au sort :
\begin{itemize}
 \item Le groupe A est composé de 70 patients, on leur administre le nouveau médicament.
 \item Le groupe B est composé des 50 autres patients, on leur administre un placebo, c'est-à-dire un comprimé de même apparence mais ne contenant pas de médicament.
\end{itemize}
Les patients ne connaissent pas leur groupe et ne savent donc pas s'ils ont reçu le médicament ou le placebo.\\
On a observé l'évolution de la maladie et on a relevé chaque jour le nombre de personnes toujours malades.\\
Pour le groupe A on a obtenu :
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c*{6}{|>{\centering}m{1cm}}|} \hline
  Jour & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \tabularnewline\hline
  Nombre de patients malades & 70 & 42 & 35 & 21 & 7 & 0 \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}
Pour le groupe B on a obtenu :
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c*{6}{|>{\centering}m{1cm}}|} \hline
  Jour & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \tabularnewline\hline
  Nombre de patients malades & 50 & 42 & 35 & 25 & 5 & 1 \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Si l'on regarde les résultats au bout de 5 jours, peut-on dire que le médicament testé est efficace ? Argumenter.
 \item Si l'on regarde les résultats au bout de 3 jours, peut-on dire que le médicament testé est efficace ? Argumenter.
 \item Avec un ancien médicament, les résultats ont été constatés sur plusieurs années. Le tableau suivant 
 donne les pourcentages de personnes encore malades en fonction du nombre de jours écoulés :
 \begin{center}
 \begin{tabular}{|c*{6}{|>{\centering}m{1cm}}|} \hline
  Jour & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \tabularnewline\hline
  Pourcentage de patients malades & 100 & 70 & 50 & 30 & 10 & 0 \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
Peut-on alors dire que le nouveau médicament testé sur les patients du groupe A est plus efficace ?
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\hfill \textbf{Problème ouvert}\\
Le décor d'une pièce de théatre a été réalisé. Il mesure 2,80 m de hauteur et 2 m de large 
et est représenté sur la figure 1.
Pour maintenanir le décor à la verticale, le technicien du théatre propose de construire deux 
soutiens identiques qui seront placés à gauche et à droite à l'arrière du décor.\\
Un soutien est constitué de deux poutres : l'une horizontale située à 1 m du sol, 
l'autre oblique, comme sur la figure 2. 
Au sol, la distance entre le décor et le soutien est de 1,10 m.
\begin{center}
\textit{Sur les figures ci-dessous, les dimmensions ne sont pas respectées.}\\
\includegraphics[scale=0.45]{poutres.eps}
\end{center}
Pour fabriquer chaque soutien, le technicien dispose d'une poutre de 4 m. Est-ce suffisant ? Argumenter.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Programmes de calculs}\\
Voici trois programmes de calculs :\\
\begin{minipage}{7cm}
  \Algo[Norbert]{7cm}{
\begin{enumerate}
 \item Choisir un nombre.
 \item Ajouter 2.
 \item Multiplier par 3.
 \item Enlever 10.
 \item Prendre l'opposé du résultat.
 \item Donner le résultat.
\end{enumerate}
}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{6cm}
 \Algo[Fabrice]{6cm}{
\begin{enumerate}
 \item Choisir un nombre.
 \item Multiplier par 3.
 \item Enlever 4.
 \item Multiplier par 2.
 \item Donner le résultat.
\end{enumerate}
}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{6cm}
\Algo[Myriam]{6cm}{
\begin{enumerate}
 \item Choisir un nombre.
 \item Multiplier par $-3$.
 \item Ajouter 4.
 \item Donner le résultat.
\end{enumerate}
}
\end{minipage}\\
\begin{enumerate}
 \item Quels résultats donnent les programmes de Norbert et de Fabrice si tous les deux choisissent le nombre 2 ?
 \item Myriam effectue son programme, elle obtient 3 comme résultat. Quel nombre avait-elle choisi pour faire
 fonctionner son programme ?
 \item Myriam affirme que son programme donne les mêmes résultats que celui de Norbert. A-t-elle raison ? Pourquoi ?
 \item Norbert et Fabrice choisissent le même nombre et obtiennent, avec leur programme respectif, le même résultat. 
 Quel nombre ont-ils choisi ? Expliquer.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Gérer les fractions}\\
 \begin{enumerate}
\item Écrire chacun des nombres suivants sous la forme d'une fraction irréductible : 
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}$
\item $ \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} }$
\item $ \dfrac{1}{\dfrac{1}{3} }-\dfrac{1}{\dfrac{1}{5} }$
\item $ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+2} } }$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{enumerate}
\item La somme des inverses de deux nombres est-elle égale à l'inverse de la somme de ces deux nombres ? 
\item La différence des inverses de deux nombres est-elle égale à l'inverse de la différence de ces deux nombres ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\hfill \textbf{Mise en équation de problème}\\
Il faut nettoyer les all\'ees d'un espace vert. La remorque tract\'ee du jardinier p\`ese \`a vide 
50kg. Quand elle est remplie de feuilles, elle p\`ese 55kg, mais quand elle est remplie de glands, 
elle p\`ese 80kg.\newline
Le jardinier a rempli et vid\'e 10 remorques, ce qui repr\'esente une masse totale de $112.5$kg de 
d\'echets verts.\newline
Quelles sont les masses respectives, exprim\'ees en kg, de feuilles et de glands qu'il a 
ramass\'es ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Mise en équation de problème}\\
Un rectangle a un p\'erim\`etre de 176 m. En augmentant la longueur de 3 m, l'aire augmente de 
105 m$^2$. Quelles \'etaient les dimensions du rectangle initial ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Mise en équation de problème}\\
Charlie est un enfant tr\`es gourmand. Pour son anniversaire, il a re\c cu une bo\^ite de 28 
caramels. Chaque jour, il en mange le double de la veille. En trois jours, il a tout mang\'e.\\ 
Combien de caramels Charlie a-t-il mang\'e le premier jour ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Observations sur les racines carrés}
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la définition de la racine carré d'un nombre réel $a$ positif.
  \item \begin{enumerate}
         \item Comparer $\sqrt{4^2}$ et $\sqrt{(-4)^2}$, puis $\sqrt{37^2}$ et $\sqrt{(-37)^2}$.
         \item Compléter les égalités suivantes :
         \begin{itemize}
          \item Si $a$ est un nombre réel positif, alors $\sqrt{a^2}= \hdots$
          \item Si $a$ est un nombre réel négatif, alors $\sqrt{a^2}= \hdots$
         \end{itemize}
 On appelle ce nombre la \textbf{valeur absolue} de $a$ et on le note $|a|$. \\
\textit{ Il s'agit en fait de la distance à $0$ d'un nombre, représenté sur un axe gradué.}
 \item Ecrire \textit{si possible} les nombres suivants sans radicaux ni valeur absolue.
 $$\sqrt{\dfrac{7^2}{9}}  \qquad \qquad \sqrt{-16^2} \qquad  \qquad \sqrt{\left(-\dfrac{2}{9}\right)^2} \qquad  \qquad \sqrt{4(2-\Pi)^2}
 \qquad  \qquad |-5| \qquad  \qquad |5| \qquad  \qquad |3.14-\pi| \qquad  \qquad |0| $$
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Comparer $\sqrt{9+16}$ et $\sqrt{9}+\sqrt{16}$
         \item Trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
         \item Quelle remarque pouvez-vous faire ?
        \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{ExoF}

%\newpage
\begin{ExoF}  On donne $\sqrt{2}\simeq 1.41$ et $\sqrt{3}\simeq 1.73$. \hfill \textbf{Ordre de grandeur, sans calculatrice}
 \begin{enumerate}
  \item Pouvez-vous donner facilement (et sans calculatrice) un ordre de grandeur des valeurs suivantes ?
  $$A=\sqrt{72}+\sqrt{32}-6\sqrt{8} \qquad \qquad B=\sqrt{\dfrac32} \qquad \qquad C=\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}$$
  \item \begin{enumerate}
         \item Ecrire $A$ en fonction de $\sqrt{2}$. En déduire un ordre de grandeur de $A$.
         \item Ecrire $B$ sous la forme d'une fraction de dénominateur $2$. 
         En déduire un ordre de grandeur de $B$.
         \item Montrer que $C=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$. En déduire un ordre de grandeur de $C$.
        \end{enumerate}
% \item Donner alors un ordre de grandeur de $A$, $B$ et $C$.
 \item Déterminer un ordre de grandeur des valeurs suivantes, après avoir changer leur écriture : 
 $$D=\sqrt{2}\times \sqrt{54} \qquad\qquad E=\sqrt{\dfrac43} \qquad\qquad
F=\dfrac{2}{1-\sqrt{3}} \qquad\qquad G=1+ \dfrac{1 }{ 1+ \dfrac{1}{1+\sqrt{3} }  } $$
 \item \textbf{Application} : Un triangle rectangle isocèle a son hypoténuse qui mesure 10 cm.\\
 Déterminer un ordre de grandeur de la longueur des deux autres côtés
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Calculer $(3 \sqrt{5}-4)^2$ et $(2 \sqrt{6}-5)^2$
\item En déduire une autre écriture de $ \sqrt{61-24 \sqrt{5} } $ et $ \sqrt{49-20 \sqrt{6} }$ 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{Un peu d'exposants}
 \begin{enumerate}
  \item Quelle est la somme des chiffres du nombre $N = 10^{2013} – 2013$ ?
  \item Ecrire les nombres suivants sans exposants :
$$(-2)^4 \qquad\qquad -2^4 \qquad\qquad -2^{-4} \qquad\qquad (-2)^{-4} \qquad\qquad 
\dfrac{2^{n+1}}{2^n} \text{ où } n \text{ désigne un entier naturel}$$ 
\item Simplifier au maximum : \qquad 
$A=\left(3^7 \times 2^{-6}\right)^5\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{33} \qquad\qquad\qquad B=\dfrac{4^{-2}}{4\times 49^{-3}}\times\left(-\dfrac{4}{7}\right)^5  $ 
 \end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
Résoudre les équations suivantes. \hfill \textbf{Equations triviales}
\begin{multicols}{5}
\begin{enumerate}
\item $2x=0$
\item $x+2=1$
\item $4x+3=3$
\item $3x-1=4$
\item $5x+\dfrac{8}{2}=-3$
\item $-7x+1=3$
\item $\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$
\item $- \dfrac{5}{6}x-\dfrac{1}{2}=-1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Equations \og produit \fg}
 \begin{enumerate}
  \item Résoudre les équations \og produit nulle \fg suivantes : 
  \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $(5x+1)(-3x+4)=0$
\item $(x-2)(x+3)(x+1)=0$
\item $(5-2x)^2=0$
\item $3(2t-1)^2=0$
\item $\big(3(2t-1)\big)^2=0$
\item $(2y-1)^2(y+2)=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{enumerate}
       \item Peut-on utiliser la même méthode pour résoudre l'équation 
$(5x+1)(-3x+4)=4$ ? Expliquer.
      \item Développer l'expression $(5x+1)(-3x+4)$. Résoudre alors l'équation
      $(5x+1)(-3x+4)=4$.
      \end{enumerate}
\item Savez-vous résoudre l'équation $(5x+1)(-3x+4)=1$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
\hfill \textbf{Développer}\\
 Développer les expressions suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $(x-1)(x+2)$
\item $(5x+1)(3x+1)$
\item $x(x+4)$
\item $(4x^2-4x+1)(x+1)$
\item $(2x-1)(x+3)(x+1)$
\item $(5-2x)^2$
\item $(2y-1)^2(y+2)$
\item $3(2t-1)^2$
\item $\big(3(2t-1)\big)^2$
%\item $(x \sqrt{2}-4)^2$  
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\hfill \textbf{Sans calculatrice}
\begin{enumerate}
\item Développer $(x+y)^2-(x-y)^2$
\item Sans calculatrice, calculer $10001^2-9999^2$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{Problème de maximum}
 \begin{enumerate}
\item Montrer que $-t^2+6t-6=3-(t-3)^2$
\item Pour quelle valeur de $t$ l'expression précédente admet-elle sa valeur maximale ?
\footnote{On remarquera que quelque soit la valeur de $t$ l'expression $(t-3)^2$ est positive ou nulle.}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
 Factoriser les expressions suivantes.  \hfill \textbf{Factoriser}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $2x(x-1)+3x$
\item $x^2-6x$
\item $35x-15$
\item $(x+1)(x+2)+5(x+2)+(x+2)(2x-1)$
\item $xy+4xz$
\item $25-(x+1)^2$
\item $2x(x+3)+4x+12$
\item $x^2-20x+100$
\item $(9x^2-25)+(6x+10)$
\item $x^2-4x+4-(x-2)(7-x)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
\hfill \textbf{Sans calculatrice}\\
 Le but de cet exercice est de calculer le nombre suivant : 
$$A = 83\,875\,683\,470^2 – 83\,875\,683\,469 \times 83\,875\,683\,471 $$
\begin{enumerate}
\item Que donne ce calcul avec la calculatrice ? 
\item On pose $a = 83\,875\,683\,470$. Exprimer $A$ en fonction de $a$, puis en simplifiant déterminer $A$. 
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF} 
\hfill \textbf{Systèmes linéaires}\\
R\'esoudre les syst\`emes d'\'equations suivants par substitution ou combinaison lin\'eaire :
$$\left\{\begin{array}{l}
          4x-3y=7 \\ 6x+y=-6
         \end{array}\right.
\qquad ; \qquad 
\left\{\begin{array}{l}
          x-3y=31 \\ 4x+5y=5
         \end{array}\right.
\qquad ; \qquad 
\left\{\begin{array}{l}
          6x+2y=4 \\ -2x-y=1
         \end{array}\right.
\qquad ; \qquad 
\left\{\begin{array}{l}
          -2x-y=-6 \\ 100x-20y=-240
         \end{array}\right.
$$
\end{ExoF}






\end{document}