\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Le Produit Scalaire}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Exercices}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\section{Exercices de base}

On donne le cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$ où les sommets sont ordonnés comme dans la figure suivante (pour les exercices $1$ et $2$) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-0.9,-0.51) rectangle (4.68,4.33);
\draw (0,0)-- (3,0);
\draw (3,0)-- (4,1);
\draw [dotted] (4,1)-- (1,1);
\draw [dotted] (1,1)-- (0,0);
\draw (0,3)-- (0,0);
\draw [dotted] (1,1)-- (1,4);
\draw (0,3)-- (1,4);
\draw (1,4)-- (4,4);
\draw (4,4)-- (4,1);
\draw (3,3)-- (3,0);
\draw (0,3)-- (3,3);
\draw (3,3)-- (4,4);
\draw (-0.36,0.25) node[anchor=north west] {$A$};
\draw (3.16,0.29) node[anchor=north west] {$B$};
\draw (4.1,1.26) node[anchor=north west] {$C$};
\draw (0.5,1.32) node[anchor=north west] {$D$};
\draw (-0.42,3.25) node[anchor=north west] {$E$};
\draw (3,3.05) node[anchor=north west] {$F$};
\draw (4,4.3) node[anchor=north west] {$G$};
\draw (0.5,4.19) node[anchor=north west] {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{exoi}Calculer, dans chaque cas, $\vec{u}\cdot \vec{v}$ en fonction de l'arête $a$ :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\vec{u}=\overrightarrow{EB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$.
\item $\vec{u}=\overrightarrow{EA}$, $\vec{v}=\overrightarrow{CH}$.
\item $\vec{u}=\overrightarrow{HF}$, $\vec{v}=\overrightarrow{DG}$.
\item $\vec{u}=\overrightarrow{EG}$, $\vec{v}=\overrightarrow{CH}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exoi}

\begin{exoi}On désigne par $I$, $J$ et $K$ les milieux de $[BF]$, $[FG]$ et $[GH]$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{EJ}\cdot \overrightarrow{FI}$, $\overrightarrow{EK}\cdot \overrightarrow{FI}$, $\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{AJ}\cdot \overrightarrow{BC}$.
\item Evaluer $\cos \widehat{IEK}$ après avoir calculé $EI$, $EK$ et $\overrightarrow{EI}\cdot \overrightarrow{EK}$.
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. Etablir l'équivalence :
$$ \left| \overrightarrow{u}\cdot \vec{v}\right|=\left|\left|\vec{u}\right|\right|\times \left|\left|\vec{v}\right|\right|\Longleftrightarrow \vec{u}\text{ et }\vec{v}\text{ sont colinéaires.}$$
\end{exoi}

\begin{exoi}On considère les points $A(3;4;-2)$, $B( 1;6;0)$ et 
$C(-2;2;1)$.\\
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.\end{exoi}

\begin{exoi}Donner une équation cartésienne du plan passant par $A$ et admettant $\vec{n}$ comme vecteur normal, dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A(3;-1;2)$ et $\vec{n}(1;0;-4)$
\item $A(1;-1;0)$ et $\vec{n}(1;1;-2)$
\item $A(-2;1;2)$ et $\vec{n}=\vec{i}+\vec{j}$
\item $A(3;4;5)$ et $\vec{n}\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{5}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}


\begin{exoi}Verifier que chaque équation proposée est l'équation cartésienne d'un plan et trouver un point de ce plan et un vecteur normal :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3x-5y+z-1=0$ 
\item $x=y$
\item $3z-x-3=0$
\item $y=-2x+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}Dans chaque cas, donner une équation cartésienne du plan $P$ (déterminer d'abord un point de ce plan et un vecteur normal) :
\begin{enumerate}
\item $P$ est le plan médiateur du segment $[AB]$ avec $A(-1;3;1)$ et $B(0;5;-3)$.
\item $P$ est le plan orthogonal à la droite $(AC)$ passant par l'orthocentre du triangle $ABC$ avec $A(3;0;4)$, $B(-1;1;1)$ et $C(2;0;0)$.
\end{enumerate}\end{exoi}




\end{document}