\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices sur les matrices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Matrice - vers le bac...}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vspace{1cm}


  
 \begin{exoi}\textbf{Un exercice où la matrice de transition à une somme égale à 1 sur les lignes...}\\
 \partieBac{}
 Les scientifiques estiment qu'un seul individu est à l'origine de la maladie sur les 100 personnes que compte la population et que, d'une semaine à la suivante, un individu change d'état suivant le processus suivant :
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à $\dfrac{1}{3}$ et la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à $\dfrac{1}{3}$, 
\item parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à $\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
La situation peut être représentée par un graphe probabiliste comme ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4)
%\psgrid
\cnodeput(3,3){S}{$S$}
\cnodeput(1,1){I}{$I$}
\cnodeput(5,1){M}{$M$}
\nccircle{->}{S}{0.4cm}
\nccircle[angleA=-180]{<-}{I}{0.4cm}
\nccircle[angleA=-180]{->}{M}{0.4cm}
\ncarc{<-}{I}{S}\rput(1.55,2.2){$\dfrac{1}{3}$}
\ncarc{->}{S}{M}\rput(4.45,2.2){$\dfrac{1}{3}$}
\ncarc{->}{I}{M}\rput(3,0.7){$\dfrac{1}{2}$}
\rput(3.8,3.4){$\dfrac{1}{3}$}\rput(5.6,0.4){1} \rput(0.4,0.4){$\dfrac{1}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
On note $P_{n} = \left(s_{n}\quad i_{n}\quad m_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de $n$ semaines où $s_{n}, i_{n}$ et $m_{n}$désignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain ou malade la $n$-ième semaine. 
\\
On a alors $P_{0} = (0,99\quad 0\quad 0,01)$
% et pour tout entier naturel $n$, 
%
%\[\renewcommand\arraystretch{1.7}
%\left\{\begin{array}{l c l}
%s_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n}\\
%i_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n}\\
%m_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n} + m_{n}
%\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item Exprimer $s_{n+1}$, $i_{n+1}$ et $m_{n+1}$ en fonction de $s_n$, $i_n$ et $m_n$.
\item Écrire la matrice $A$ appelée \emph{matrice de transition}, telle que pour tout entier naturel $n,\:$ $P_{n+1} = P_{n} \times A$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, 
$P_{n} = P_{0} \times A^n$.
\item Déterminer l'état probabiliste $P_{4}$ au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à $10^{- 2}$.
 \\
Quelle est la probabilité qu'un individu soit sain au bout de quatre semaines ? 
\end{enumerate}
\partieBac{}
La maladie n'évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu'au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d'enrayer l'endémie et traitent immédiatement l'ensemble de la population. L'évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition : 
\[
\renewcommand\arraystretch{1.7} B = \begin{pmatrix}5/12&1/4 &1/3\\
5/12&1/4 &1/3\\
1/6&1/2&1/3
\end{pmatrix}.\]
On note $Q_{n}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de $n$ semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi, $Q_{n} = \left(S_{n}\quad I_{n}\quad M_{n}\right)$ où $S_{n},\: I_{n}$ et $M_{n}$ désignent respectivement la  probabilité que l'individu soit sain, porteur sain et malade la $n$-ième semaine après la vaccination. 
\\
Pour tout  entier naturel $n$, on a alors $Q_{n+1}  = Q_{n} \times B$.
\\
D'après la partie A, $Q_{0}  = P_{4}$. Pour la suite, on prend $Q_{0} = (0,01\quad  0,10\quad 0,89)$ où les coefficients ont été 
arrondis à $10^{–2}$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $S_{n+1}, I_{n+1}$ et $M_{n+1}$ en fonction de $S_{n},\: I_{n}$ et $M_{n}$.
\item Déterminer la constante réelle $k$ telle que $B^2  = kJ$ où $J$ est la matrice carrée d'ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.
\item Montrer que $B^3=B^2$ puis en déduire par récurrence que $B^n=B^2$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$.
\item 
	\begin{enumerate}		\item Démontrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, $Q_{n} = \left(\dfrac{1}{3}\quad \dfrac{1}{3}\quad \dfrac{1}{3}\right)$.
		\item Interpréter ce résultat en terme d'évolution de la maladie. 
	\\	
Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.\\
Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que :
 \\
$\bullet~~$ Si un internaute est sur la page 1, alors il ira, soit sur la page 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit sur la page 3 avec la probabilité $\dfrac{3}{4}$.
\\
$\bullet~~$ Si un internaute est sur la page 2, alors, soit il ira sur la page  1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ soit il  
restera sur la page  2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il ira sur la page  3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$. 
\\
$\bullet~~$ Si un internaute est sur la page 3, alors, soit il ira sur la page  1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, soit il  
ira sur la page  2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$,soit il restera sur la page  3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$. \\
Pour tout entier naturel $n$, on définit les évènements et les probabilités suivants : \\
$A_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page  1 \fg{} et on note $a_{n} = P\left(A_{n}\right)$.
 \\
$B_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page  2 \fg{} et on note $b_{n} = P\left(B_{n}\right)$.
 \\
$C_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page  3 \fg{} et on note $c_{n} = P\left(C_{n}\right)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}$. 
\\
On admet que, de m\^eme, $b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$ et $c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$. 
%\\
%Ainsi : 
%\renewcommand\arraystretch{1.8}
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\
%b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\
%c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}
%\end{array}\right.\]
%\renewcommand\arraystretch{1}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. $U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}$ représente la situation initiale, avec $a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1$.
 \\
Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice $3 \times 3$ que l'on précisera.
 \\
En déduire que, pour tout entier naturel $n, U_{n} = M^nU_{0}$. 
\item Montrer qu'il existe une seule matrice colonne $U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU = U$. 
\item Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de $M^n,\: n$ étant un entier naturel non nul :
\[M^n = \begin{pmatrix}
\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\frac{1}{3} + \frac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\
\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\
\frac{5}{12} + \frac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}
\end{pmatrix}\] 
Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $a_{n}, \: b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que les suites $\left(a_{n}\right), \: \left(b_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ convergent vers des limites que l'on précisera. 
\item Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme. 
\end{enumerate}
\end{exoi}
  
  
 \begin{exoi}
 Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie. Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE$'$F$'$G$'$, appelé image de OEFG.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,6.5)
\pspolygon(3.3,0.8)(7,4.8)(5.4,6.25)(1.75,2.2)
\pspolygon(3.3,0.8)(5.1,2.75)(2.1,5.6)(0.3,3.5)
\uput[dr](5.1,2.8){E} \uput[u](2.1,5.6){F} \uput[ul](0.3,3.5){G} 
\uput[d](3.3,0.8){O} \uput[dr](7,4.8){E$'$} \uput[u](5.4,6.25){F$'$} 
\uput[dl](1.75,2.2){G$'$}
\rput(3,0.12){Figure 1} 
\end{pspicture}
\end{center} 
L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.
\\
\partieBac{} 
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij. Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2~;~2), $(-1~;~5)$ et $(-3~;~3)$.
 \\
La transformation du logiciel associe à tout point $M(x~;~y)$ du plan le point $M'(x'~;~y')$, image du point $M$ tel que: 
\begin{multicols}{2}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x'&=&\dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y\\
y'&=&\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(3,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-1)(3,5.5)
\pspolygon(0,0)(2,2)(-1,5)(-3,3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2,2){E} \uput[u](-1,5){F} \uput[l](-3,3){G}
\rput(-1,-1.5){Figure 2} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des points E$'$, F$'$ et G$'$, images des points E, F et G par cette transformation. 
		\item Comparer les longueurs OE et OE$'$ d'une part, OG et OG$'$ d'autre part.
	\\	 
Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée $A$, telle que: $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\partieBac{}
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.
\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.
 \\
Une erreur a été commise. Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline 
Entrée &Saisir un entier naturel non nul $N$\\ \hline 
\multirow{2}{2cm}{Initialisation }&Affecter à $x$ la valeur $- 1$\\ 
&Affecter à $y$ la valeur 5\\ \hline 
\multirow{6}{2cm}{Traitement}&POUR $i$ allant de 1 à $N$\\ 
&Affecter à $a$ la valeur $\frac{5}{4} x + \frac{3}{4}y$\\ 
&Affecter à $b$ la valeur $\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}y$\\ 
&Affecter à $x$ la valeur $a$\\ 
&Affecter à $y$ la valeur $b$\\ 
&FIN POUR\\ \hline 
Sortie &Afficher $x$, afficher $y$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
\item On a obtenu le tableau suivant :
\[\begin{array}{|*{8}{c|}} \hline
i &1 &2 &3 &4 &5 &10 &15\\ \hline 
x &2,5 &7,25 &15,625 &{31,8125} &{63,9063} &{2047,9971} &{65535,9999}\\ \hline 
y &5,5 &8,75 &16,375 &{32,1875} &{64,0938} &{2048,0029} &{65536,0001}\\ \hline
\end{array}\]
Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F. 
\end{enumerate}
\partieBac{}
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des points $E_{n}\left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ du plan par $E_{0} =$ E et la relation de récurrence :
\[\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix},\] 
où $\left(x_{n+1}~;~y_{n+1}\right)$ désignent les coordonnées du point $E_{n+1}$. Ainsi $x_{0} = 2$ et $y_{0} = 2$. 
\begin{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, la matrice\index{matrice} $A^n$ peut s'écrire sous la forme : $A^{n} = \begin{pmatrix}\alpha_{n}&\beta_{n}\\\beta_{n}&\alpha_{n}\end{pmatrix}$. 
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $\alpha_{n} = 2^{n-1}  + \dfrac{1}{2^{n+1}} \quad \text{et}\quad  \beta_{n} = 2^{n-1}  - \dfrac{1}{2^{n+1}}.$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $E_{n}$ est situé sur la droite d'équation $y = x$.
	\\	 
On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, les coordonnées $\left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ du point $E_{n}$ vérifient :
$\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.$
		\item Démontrer que la longueur O$E_{n}$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \end{exoi}
\end{document}