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\begin{document}

\pagestyle{empty}
\calligra
\begin{pspicture}(-1,-3)(3,1)
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   \rput(7,0){\psdiabox*[fillcolor=\Couleur]{\bfseries\huge\textsc{\textcolor{white!20}{2013-2014}}}}
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  \rput(7,-2){\bfseries\Huge\textsc{\textbf{Les cours du Lycée J.Durand}}}
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 {\color{\Couleur}{\rput(-2.2,-16.2){\rule{2cm}{80pt}} }}
\end{pspicture}
\rm
\vfill
\hfill \huge{ \textbf{Mathématiques}} \hspace*{3cm} \newline

\hfill \huge{ \textbf{Terminale S}} \hspace*{3cm} \newline

\hfill \huge{ \textbf{Enseignement de spécialité}} \hspace*{3cm} \newline

\vfill

\hfill \Large{ \textbf{Rédaction :}} \hspace*{3cm} \newline

\hfill \Large{ David Zancanaro \hspace*{3cm} \newline


\vfill


\hfill \large{ \textbf{Réalisé à l'aide de : }\hspace*{3cm} \newline

\hfill \large{ \LaTeX \hspace*{3cm} 

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\pagebreak


\tableofcontents
\pagebreak



\fancypagestyle{styleLyc}{%
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\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
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}
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\lhead{\Ch}
\rhead{\ch}
\setcounter{NumLecon}{2}


\TITRE{matrix.eps}{0.1}

\section{Inverse d'une matrice carrée}
Dans tous le chapitre l'ensemble des matrices carrés de taille $n$ à coefficients réels est noté $\mathscr M_n(\R)$.
\\
En particulier $\mathscr M_2(\R)$ est l'ensemble des matrices carrés d'ordre $2$ à coefficients réels. Par exemple $A=\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 3
\end{pmatrix}\in \mathscr M_2(\R)$.
\subsection{Matrice unité}

\begin{defi}
Soit $n\in \N$, la matrice de $\mathscr M_n(\R)$ comportant des $1$ sur la diagonale (principale) et des $0$ partout ailleurs  est appelée  matrice unité de taille $n$, noté $I_n$ et vérifie pour toute matrice $A\in \mathscr M_n(\R)$ on a  :
$$ A\times I_n=I_n\times A=A$$
Il s'agit de l'élément neutre pour la multiplication de matrice.
\\
Par convention, on rappelle que pour toute matrice $A$ de $\mathscr M_n(\R)$ on a :
$$ A^0=I_n$$
\end{defi}

\subsection{Inverse d'une matrice - définitions}

Si $x$ est un réel non nul, il admet un inverse : c'est un réel $y = 1/x$ tel que $xy = 1$ et par commutativité, $yx = 1$. La multiplication n'étant pas commutative dans $\mathscr M_n(\R)$, il faut a priori prendre des précautions.

\begin{defi}
Soit $A \in \mathscr M_n(\R)$ une matrice carrée d'ordre $n$. Une matrice $B$ carrée d'ordre $n$ est appelée inverse à droite de $A$ si $AB=I_n$ et inverse à gauche de $A$ si $BA=I_n$.
\end{defi}

\Expl{Soit les matrices $A=\begin{pmatrix}
10 & -2\\
-18 & 4
\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
1 & 0,5\\
4,5& 2,5
\end{pmatrix}$, on a : 
$$ A\times B=\begin{pmatrix}
10 & -2\\
-18 & 4
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
1 & 0,5\\
4,5& 2,5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
10-9 & 5-5\\
-18+18 & -9+10
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$$
$B$ est donc un inverse à droite de $A$ mais calculons $B\times A$ :
$$\begin{pmatrix}
1 & 0,5\\
4,5& 2,5
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
10 & -2\\
-18 & 4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
10-9 & -2+2\\
45-45 & -9+10
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
$$
$B$ vérifie donc $A\times B=B\times A=I_2$, par conséquent $B$ est un inverse à droite et à gauche de $A$.
}

Si une matrice $A$ admet un inverse à gauche et un inverse à droite alors il existe deux matrices $B$ et $C$ telles que $AB=CA=I_n$, on a alors :
$$ (CA)B=I_nB =B\qquad \text{et} \qquad C(AB)=CI_n=C$$
Puisque $(CA)B=C(AB)$ on en déduit que $B=C$ ; ainsi si une matrice admet un inverse à gauche $B$ et un inverse à droite $C$ on a $B=C$. 

Par ailleurs, si une matrice $A$ admet un inverse à droite et à gauche, cet inverse est unique. Supposons que $B$ et $C$ sont deux inverses à droite et à gauche : $AB = BA = I_n$ et $AC = CA = I_n$. Alors :
$$ C=CI_n=C(AB)=(CA)B=I_nB=B$$


\begin{defi}
Une matrice carrée est dite inversible si elle admet un inverse à droite et à gauche. Cet inverse est alors unique. On note $A^{-1}$ l'inverse de la matrice inversible $A$. \\
Si $A\in \mathscr M_n(\R)$ , on a :
$$ AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$$
\end{defi}

Le théorème suivant est plus compliqué mais il permet en pratique d'oublier la distinction entre inverse à droite et à gauche. Il est admis.

\begin{theo}
Si une matrice carrée admet un inverse à gauche, alors elle admet un inverse à droite. Elle est donc inversible.
\end{theo}

Ce théorème implique qu'étant donné une matrice carrée $A$, si on trouve une matrice de même taille $B$ telle que $AB=I_n$ alors $BA=I_n$ et donc $B=A^{-1}$. Il est donc inutile de calculer le produit $BA$.


\Expl{$A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
-2 & 1\\
3/2 & -1/2
\end{pmatrix}$. Vérifions que $A^{-1}=B$ :
$$ AB=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-2 & 1\\
3/2 & -1/2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-2+2 & 1-1\\
-6+6 & 3 -2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=I_2$$
On déduit du théorème précédent que $BA=I_2$ et donc que $B=A^{-1}$.}

\subsection{Inverse d'une matrice - propriétés}

\begin{prop}
Soit $A$ une matrice inversible et $\lambda\in \R^*$ alors :\begin{enumerate}
\item $A^{-1}$ est inversible d'inverse $A$.
\item $\lambda A$ est inversible d'inverse $\dfrac{1}{\lambda}A^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\Dem{\begin{enumerate}
\item $A^{-1}\times A=I_n$ donc $A$ est l'inverse de $A^{-1}$.
\item $\lambda A\times \dfrac{1}{\lambda} A^{-1}=\dfrac{\lambda}{\lambda} A A^{-1}=I_n$  donc $\lambda A$ est inversible d'inverse $\dfrac{1}{\lambda}A^{-1}$.
\end{enumerate}}

\Expl{Soit $A=\begin{pmatrix}
2 & 4\\
6 & 8
\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}$ est inversible d'inverse $\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}
-2 & 1\\
3/2 & -1/2
\end{pmatrix}$}

\begin{theo}
Soit $A\in \mathscr M_n(\R)$ et $B\in \mathscr M_n(\R)$ deux matrices inversibles alors le produit $AB$ est inversible d'inverse $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
\end{theo}

\Dem{$$ AB\times B^{-1}A^{-1}=AI_nA^{-1}=AA^{-1}=I_n$$
ce qui montre bien que $AB$ est inversible d'inverse $B^{-1}A^{-1}$}

\Expl{Soit $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
10 & -2\\
-18 & 4
\end{pmatrix}$ sont deux matrices inversibles d'inverse $A^{-1}=\begin{pmatrix}
-2 & 1\\
3/2 & -1/2
\end{pmatrix}$ et $B^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0,5\\
4,5 & 2,5
\end{pmatrix}$, le produit $AB$ vaut :
$$ AB=\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
10 & -2\\
-18 & 4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-26 & 6\\
-42 & 10
\end{pmatrix}$$ est une matrice inversible d'inverse :
$$ B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0,5\\
4,5 & 2,5
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
-2 & 1\\
3/2 & -1/2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-5/4 & 3/4\\
-21/4 & 13/4
\end{pmatrix}$$}

\subsection{Inverse d'une matrice carrée d'ordre $2$}

On considère une matrice $A\in \mathscr M_2(\R)$ s'écrivant :
$$ A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$$

\begin{theo}
$A$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$. 
\end{theo}

\begin{defi}
Le nombre $ad-bc$ est appelé déterminant de la matrice $A$, ainsi $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
\end{defi}

\Dem{Soit $A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ 
\begin{enumerate}
\item Si $det A\neq 0 \Longleftrightarrow ad-bc\neq 0$, considérons la matrice $B=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$, puis calculons $AB$ :
$$ AB=\dfrac{1}{ad-bc}\times \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}=\dfrac{1}{ad-bc}\times \begin{pmatrix}
ad-bc & -ab+ab\\
cd-cd & -bc+ad
\end{pmatrix}$$
c'est-à-dire :
$$AB=\dfrac{1}{ad-bc}\times \begin{pmatrix}
ad-bc & 0\\
0 & ad-bc
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=I_2$$
On vient de démontrer que si $det A\neq 0$ alors $A$ était une matrice inversible d'inverse $B$.
\item Si $\det A=0 \Longleftrightarrow ad-bc=0\Longleftrightarrow ad=bc$. Raisonnons par l'absurde et supposons que $A$ soit inversible, notons alors $A^{-1}$ son inverse. Observons par exemple le système $(S)$, d'inconnus $x$ et $y$ suivant :
$$ A\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}
x \\
 y
\end{pmatrix}=A^{-1} \times \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
Si $A$ est inversible le système $(S)$ admet un unique couple solution. Le système $(S)$ s'écrit encore :
$$ \left\{ \begin{array}{l} ax+by=1 \\ cx+dy=1 \end{array} \right.$$
Notons $\mathscr D $ la droite d'équation $ax+by=1$ et $\mathscr \Delta$ la droite d'équation $cx+dy=1$ ; puisque le système $(S)$ admet une unique solution cela signifie d'un point de vu géométrique que les droites $\mathscr D$ et $\Delta$ sont sécantes.\\
Or, le vecteur $\vec{d}(-b;a)$ dirige la droite $\mathscr D$ et le vecteur $\delta (-d;c)$ dirige $\Delta$. Ces deux vecteurs sont colinéaires puisque :
$$ -b\times c-a\times(-d)=-bc+ad=ad-bc=0$$
Mais puisque les deux vecteurs directeurs sont colinéaires il vient que les droites sont parallèles (éventuellement confondus) ce qui est absurde puisque elles sont sécantes. \\
Par conséquent il est impossible que $A$ soit inversible.
\end{enumerate}
}

\begin{theo}
Si $det A\neq 0$, $A$ est inversible et :
$$ A^{-1}=\dfrac{1}{ab-bc}\times \begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$$
\end{theo}

\section{Applications}

\subsection{Application au système linéaire}

Soit le système linéaire $(S)$ d'inconnues $x$ et $y$ :
$$ \left\{ \begin{array}{l} 10x+4y=3 \\ 6x+2y=-5 \end{array} \right.$$
On pose $A=\begin{pmatrix}
10 & 4\\
6 & 2
\end{pmatrix}$, $U=\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}
3 \\
-5
\end{pmatrix}$. Le système $(S)$ s'écrit encore :
$$ AU=V$$
Ici $det A=10\times 2-6\times 4=20-24\neq 0$ donc $A$ est inversible, par conséquent :
$$ AU=V \Longleftrightarrow A^{-1}AU=A^{-1}V \Longleftrightarrow U=A^{-1}V$$
Or, $A^{-1}=-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}
2 & -4\\
-6 & 10
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-0,5 & 1\\
3/2 & -2,5
\end{pmatrix}$, par conséquent :
$$ \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-0,5 & 1\\
3/2 & -2,5
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
3\\
-5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1,5-5\\
4,5+12,5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-6,5\\
17
\end{pmatrix}$$

\begin{theo}
Soit $A=UV$ l'écriture matricielle d'un système linéaire.\\
Si la matrice $A$ est inversible alors le système admet une unique solution égale à la matrice colonne $A^{-1}V$.
\\
Si la matrice $A$ n'est pas inversible alors le système linéaire admet soit une infinité de solution, soit aucune solution.
\end{theo}

\begin{exoi}
Résoudre le système linéaire $(S)$ à l'aide du calcul matriciel suivant :
$$\left\{ \begin{array}{l} -3x+2y=2 \\ 5x-7y=-1 \end{array} \right. $$
\end{exoi}

\pagebreak

\subsection{Chiffrement de Hill}
\textbf{Le principe :}


On choisit quatre entiers $a$, $b$, $c$ et $d$ constituant la \textbf{clé} du chiffrement. Les lettres de l'alphabet sont codées de $0$ à $25$ grâce au tableau suivant :
A chaque lettre de l'alphabet, on associe, gr\^ace au tableau ci-dessous, un nombre entier $m$ compris entre $0$ et $25$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B&C &D&E &F&G  &H&I&J& K &L &M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 	&11 	&12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	& T	&U 	&V 	&W 	&X 		&Y		&Z\\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17 &18 &19 &20	&21	&22	&23 	&24		&25\\ \hline
\end{tabularx}

 A un bloc de deux lettres correspondent un couple $(x;y)$ d'entiers compris entre $0$ et $25$. On calcule les codes du message chiffré en associant au couple $(x;y)$ le couple $(x';y')$ tel que :
$$ \left\{\begin{array}{cccc}
x'& \equiv & ax+by &(26)\\
y'&\equiv & cx+dy&(26)
\end{array}\right.$$

On souhaite chiffrer le mot DREAM.

On partage le mot en blocs de $2$ lettres : DR- EA - MA (le dernier bloc est complété au hasard).

Choisissons $a=5$, $b=7$, $c=2$ et $d=3$, le système de chiffrement est donc :
$$ \left\{\begin{array}{cccc}
x'& \equiv & 7x+3y &(26)\\
y'&\equiv & 5x+8y&(26)
\end{array}\right.$$

\begin{enumerate}
\item Chiffrer le mot DREAM.
\item On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}
7 & 3\\
5 & 8
\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice $A$ est inversible puis déterminer $B$ telle que $A^{-1}=\dfrac{1}{41}B$.
\item Montrer qu'il existe un unique entier $m$ compris entre $0$ et 
$25$ tel que $41m\equiv 1[26]$.
\\
Déterminer $m$.
\item Montrer que la matrice $mB$ est une matrice vérifiant :
$$ mB\times \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix} [26]$$
(\textit{Cette congruence sur les matrices colonnes signifie la congruence des coefficients de chaque ligne.)}
\item Déterminer alors quatre entiers $A$, $B$, $C$ et $D$ compris entre $0$ et $25$ tels que :
$$\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix} [26]$$
\item En déduire un algorithme de décodage de ce chiffrement de  Hill et déchiffrer le message :
$$ \og XZEQGCXWCO\fg$$
\end{enumerate}
\item Dans le chiffrement précédent, quelle condition particulière sur $41$ et $26$ permet de répondre à la question $2 .(b)$
\item On souhaite adopter le chiffrement de Hill donné par le procédé :
$$\left\{\begin{array}{cccc}
x'& \equiv & 6x+2y &(26)\\
y'&\equiv & 7x+3y&(26)
\end{array}\right. $$
Soit $A$ la matrice associé à ce chiffrement.
Calculer le PGCD de $det A$ et de $26$.
\item Comparer les produits $\begin{pmatrix}
6 & 2\\
7 & 3
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
x +13\\
y+13\\
\end{pmatrix}$ avec $\begin{pmatrix}
6 & 2\\
7 & 3
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
x \\
y\\
\end{pmatrix}$. Le procédé de codage est-il satisfaisant ? Justifier.
\end{enumerate}


\end{document}