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\begin{document}

\pagestyle{empty}
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\begin{pspicture}(-1,-3)(3,1)
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  \rput(7,-2){\bfseries\Huge\textsc{\textbf{Les cours du Lycée J.Durand}}}
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\end{pspicture}
\rm
\vfill
\hfill \huge{ \textbf{Mathématiques}} \hspace*{3cm} \newline

\hfill \huge{ \textbf{Terminale S}} \hspace*{3cm} \newline

\hfill \huge{ \textbf{Enseignement de spécialité}} \hspace*{3cm} \newline

\vfill

\hfill \Large{ \textbf{Rédaction :}} \hspace*{3cm} \newline

\hfill \Large{ David Zancanaro \hspace*{3cm} \newline


\vfill


\hfill \large{ \textbf{Réalisé à l'aide de : }\hspace*{3cm} \newline

\hfill \large{ \LaTeX \hspace*{3cm} 

\definecolor{BlanchedAlmond}{rgb}{1,0.92,0.80}


\pagebreak


\tableofcontents
\pagebreak



\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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}
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\setcounter{NumLecon}{2}


\TITRE{matrix.eps}{0.1}

\section{Définitions et premières propriétés}

\subsection{Exemple introductif}

\textbf{Synthèse de l'aspirine}


Un laboratoire pharmaceutique produit de l'aspirine en la synthétisant à partir de deux composants (l'acide salicylique et l'anhydride acétique) et avec l'aide d'un catalyseur (l'acide sulfurique concentré).

La production est répartie entre deux sites appelés $S_1$ et $S_2$. Le tableau ci-dessous présente les quantités de composés chimiques utilisées pour le premier semestre de l'année $2012$ :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& Acide salicylique (kg) & Anhydride acétique (L) & Acide sulfurique (L)\\ \hline
Site de production $S_1$ & 2300 & 3000 & 80\\ \hline
Site de production $S_2$ & 1500 & 2100 & 50 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

On peut représenter ce tableau en supprimant les titres des lignes et des colonnes et en entourant le contenu avec des parenthèses. On obtient un objet mathématique nommé \textbf{matrice}, à deux lignes et trois colonnes, que l'on nomme $A_1$. Voici comme s'écrit la matrice $A_1$ :
$$ A_1=\begin{pmatrix}
2300 &3000 & 80 \\
1500 &2100 & 50
\end{pmatrix}$$

\begin{enumerate}
\item Voici la matrice $A_2$ donnant les quantités de composés chimiques utilisées pour le second semestre $2012$ :
$$ A_2=\begin{pmatrix}
2500 & 3300 & 90\\
1800 & 2500 & 60
\end{pmatrix}$$
Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la valeur du nombre situé à l'intersection de la première ligne et de la deuxième colonne.
\item On souhaite calculer la matrice $A$ donnant les quantités de composés chimiques utilisés sur l'ensemble de l'année $2012$ ; comment procéder ? Calculer les six coefficients de cette matrice $A$, appelée somme des matrices $A_1$ et $A_2$ et notée $A_1+A_2$.
\item Pour l'année $2013$, le laboratoire prévoit une augmentation homogène de la production de $5\%$.\\
Par quel nombre doit-on multiplier tous les coefficients de la matrice $A_1$ pour obtenir la matrice $B_1$ donnant les quantités de composés chimiques nécessaire à cette production lors du premier semestre $2013$ ? Calculer $B_1$, puis la matrice $B_2$ donnant ces quantités pour le second semestre $2013$. Calculer de deux manières différentes la matrice $B$ dont les coefficients sont les quantités de produit prévues pour la production de l'ensemble de l'année $2013$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\subsection{Définitions}
Dans tout ce qui suit, $n$, $m$ et $p$ sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à $1$.

\begin{defi}
Une matrice $A$ de dimensions $m\times p$ est un tableau de nombres à $m$ lignes et $p$ colonnes.  Ces nombres sont appelés les coefficients de la matrice $A$.
\\
Pour $1\leq i \leq m $ et $1\leq j \leq p$, on note $a_{ij}$ le coefficient de la matrice situé au croisement de la $i-$ème ligne et $j-$ème colonne.
\end{defi}

\Expl{$$ A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
5 & -6 & 7 & -9\\
10 & \dfrac{1}{2} & 5 & 3 
\end{pmatrix} $$
est une matrice de dimensions $3\times 4$. $a_{23}=7$.}

\begin{defi}
Une matrice de dimensions $1\times p$ est appelée vecteur-ligne.\\
Une matrice de dimensions $m\times 1$ est appelée vecteur-colonne.\\
Si $m=p$ alors la matrice est dite carrée d'ordre $p$.
\end{defi}

\Expl{$$ A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 
\end{pmatrix} $$ est un vecteur ligne de dimensions $1\times 3$.
$$ B=\begin{pmatrix}
1\\ 2 \\ 3 \\-3 
\end{pmatrix} $$ est un vecteur colonne de dimensions $3\times 1$.
$$ C=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
5 & -6 & 7 & -9\\
10 & \dfrac{1}{2} & 5 & 3 \\
-1 &-2&-3&-4
\end{pmatrix}$$ est une matrice carré d'ordre $4$.}
\subsection{Opération sur les matrices}
\subsubsection{Somme de deux matrices}
\begin{defi}
La somme de deux matrices de mêmes dimensions $m\times p$ est la matrice de dimensions $m\times p$ obtenue en ajoutant entre les coefficients occupant la même position dans chacune des matrices.
\end{defi}

\Expl{$$ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
5 & -6 & 7 & -9\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-2 & 0 & -3 & 4\\
5 & 1 & 1 & -9\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 2& 0 & 8\\
10 & -5 & 8 & -18\\
\end{pmatrix}$$}

\begin{prop}
Soit $A$, $B$ et $C$ trois matrices de mêmes dimensions. Alors on a :
\\$ A+B=B+A$ : on dit que la somme  de matrices est \textbf{commutative} ;
\\
$(A+B)+C=A+(B+C)$ : on dit que la somme de matrices est \textbf{associative}.
\end{prop}

\Dem{Ces propriétés découlent immédiatement de la commutativité et de l'associativité de l'addition des nombres réels.}

\subsubsection{Produit d'une matrice par un nombre réel}

\begin{defi}
Le produit d'une matrice par un nombre réel est la matrice obtenue en multipliant chacun des coefficients de cette matrice par ce nombre réel.
\end{defi}

\Expl{Si $A= \begin{pmatrix}
1  & 4\\
5 & -6 \\
\end{pmatrix}$ alors $(-2)\times A=-2A=\begin{pmatrix}
-2  & -8\\
-10 & 12 \\
\end{pmatrix}$}

\begin{prop}
Soit $\lambda$ et $\mu$ deux nombres réels et $A$ et $B$ deux matrices de mêmes dimensions. On a :
$$ \lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B\qquad \text{,} \qquad \left(\lambda+\mu \right) A=\lambda A+\mu A\qquad \text{et} \qquad(\lambda \mu)A=\lambda(\mu A)$$
\end{prop}

\begin{defi}
La matrice opposée de la matrice $A$ se note $-A$ et est la matrice $(-1)\times A$.\\
La différence de deux matrices $A$ et $B$ (notée $A-B$) est la matrice $A+(-B)$.\\
La matrice nulle, notée $0$, est la matrice dont tous les coefficients sont égaux à $0$.
\end{defi}

\begin{prop}
On a, pour toute matrice $A$ :
$$ A+(-A)=(-A)+A=0$$
$$ A+0=0+A=A$$
$$ 0\times A=0$$
\end{prop}

\Dem{Toutes ces propriétés découlent directement des propriétés de la multiplication et de l'addition des nombres réels.}

\pagebreak
\subsubsection{Produit de deux matrices}

\begin{exoi}
Voici les valeurs nutritionnelles des différents aliments qui composeront le menu des élèves à la cantine de leur école lundi (données pour $100$ g pour chaque aliment) :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& Melon & Poulet & Riz & Yaourt\\ \hline
Energie (Kcal) & 25 & 140 & 350 & 100\\ \hline
Protéines (g) & 0,7 & 21 & 7 & 0\\ \hline
Glucides (g) & 5 & 0 & 78 & 20\\ \hline
Lipides (g) & 0,2 & 7 & 0,8 & 5\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Ecrire la matrice A contenant, en colonnes, la valeur énergétique et nutritionnelle de chaque aliment de ce repas (calculée pour 1g de chaque aliment).
\item Notons $C=\begin{pmatrix}
m\\
p\\
r\\
y
\end{pmatrix}$ le vecteur colonne donnant les portions respectives (en g) de chacun des aliments composant ce repas et $L=\begin{pmatrix}
0,25 & 1,40 & 3,50 & 1
\end{pmatrix}$ le vecteur ligne donnant la valeur énergétique (prise pour 1 g) de chaque aliment. Exprimer en fonction de $m$, $p$, $r$ et $y$ la valeur énergétique totale du repas puis recopier et compléter le calcul suivant :
$$ L\times C=\begin{pmatrix}
0,25 & 1,40 & 3,50 & 1
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
m\\
p\\
r\\
y
\end{pmatrix}=\dots \dots+\dots \dots +\dots \dots +\dots \dots$$
Reprendre la question $2.$ avec les apports en protéines, puis avec les apports en glucide, et enfin les apports en lipides, en présentant chaque calcul comme le produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonne.
\item Il est possible de réunir les quatre calculs précédents en un seul calcul matriciel : recopier et compléter les coefficients manquant :
$$ A\times Q=\begin{pmatrix}
0,25 & 1,4 & 3,5 & 1\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
m\\
p\\
r\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,25m+1,4p+3,5r+y\\
\dots+\dots+\dots+\dots\\
\dots+\dots+\dots+\dots\\
\dots+\dots+\dots+\dots
\end{pmatrix}$$
\item Voici trois propositions de composition de repas constituées en faisant varier les portions $m$, $p$, $r$ et $y$ (données en g) : 
\begin{multicols}{2}\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& Prop 1. & Prop 2. & Prop 3\\ \hline
$m$ & 50 & 60 & 40 \\ \hline 
$p$ & $75$ & 70 & 80\\ \hline
$r$ & 125 & 125 & 100\\ \hline
$y$ & 125 & 125 & 125\\ \hline
\end{tabular}
Ecrire la matrice $B$ de dimensions $4\times 3$ correspondante et calculer le produit $A\times B$ en utilisant le résultat suivant : \textit{la i-ème colonne de la matrice produit $A\times B$ est égale au produit de la matrice $A$ par la i-ème colonne de $B$.}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak

\begin{defi}
Soit $A=\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \dots & a_p
\end{pmatrix}$ un vecteur ligne de dimensions $1\times p$ et $B=\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\dots\\
b_p
\end{pmatrix}$ un vecteur colonne de dimensions $p\times 1$. Le produit $A\times B$ (ou $AB$) est égal au nombre réel :
$$ \sum_{i=1}^{p} a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\dots a_pb_p$$
\end{defi}

\Expl{$\begin{pmatrix}
1 & -3 & 2 & 0
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
0 \\ 4\\ 3 \\ -2,5
\end{pmatrix}=1\times 0+(-3)\times 4+2\times 3+0\times (-2,5)=-6$}

\begin{defi}
Soit $A$ une matrice de dimensions $m\times p$ et $B$ une matrice de dimensions $p\times q$.\\
Le produit de la matrice $A$ par la matrice $B$, noté $A\times B$ (ou $AB$), est la matrice $C$ de dimensions $m\times q$ telle que, pour tout $1\leq i \leq m$ et $1\leq j \leq q$, le coefficient $C_{ij}$ est égal au produit de la i-ème ligne par de $A$ par la j-ème colonne de $B$.
\end{defi}

\Expl{$$ \begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 4\\
0 & 3 & 3 & -1\\
4 & 0 & 5 & 0
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
-3 & 1 \\
2 & 0 \\
-1 & 3\\
5 & -2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-3+0+2+20 &  1+0-6-8\\
0+6-3-5 & 0 +0 +9 +2\\
-12+0-5+0 & 4+0+15+0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
19 & -13\\
-2 & 11 \\
-17 & 19
\end{pmatrix}$$}

\begin{prop}
Soit $A$, $B$ et $C$ trois matrices telles que toutes les sommes et tous les produits écrits ci-après existent (c'est le cas par exemple si toutes les matrices sont carrées de même ordre). Alors :
\begin{itemize}
\item $AB\neq BA$ en général : le produit de matrices \textbf{n'est pas commutatif}.
\item $(AB)C=A(BC)$ : le produit de matrices est \textbf{associatif}.
\item $A(B+C)=AB+AC$ et $(A+B)C=AC+BC$ : le produit de matrices est \textbf{distributif} par rapport à l'addition.
\item Pour tout réel $\lambda$ on a $(\lambda A)B=A\times (\lambda B)$.
\item La matrice carrée d'ordre $p$ notée :$$I_p=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \dots & 0\\
0 & 1 & \dots & 0\\
0 & 0 &\dots & 0\\
0 & 0 &\dots & 1 
\end{pmatrix} $$ qui comporte des 1 sur la diagonale et des zéros partout ailleurs est appelée matrice identité d'ordre $p$.\\
Il s'agit de l'élément neutre du produit matriciel c'est-à-dire, pour toute matrice $A$ carrée d'ordre $p$ on a :
$$ A\times I_p=I_p\times A=A$$
\end{itemize}
\end{prop}

\Dem{
\begin{itemize}
\item $\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
5 & -1\\
7 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
19 & 1\\
43 & 1
\end{pmatrix}$, par contre : $\begin{pmatrix}
5 & -1\\
7 & 1
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 6\\
10 & 16
\end{pmatrix}$ ce qui donne deux résultats, par conséquent le produit de matrice n'est pas commutatif.
\item Les autres propriétés découlent des propriétés de la multiplication des nombres réels.
\end{itemize}}
\pagebreak
\subsubsection{Puissance entière d'une matrice}

\begin{exoi}
En 1990, aux états unis, une controverse opposa des environnementalistes à des représentants de l'industrie du bois à propos de la possible extinction de l'espèce des chouettes tachetées pour cause de déforestation. Pour trancher la question, un modèle mathématique de la démographie de cette population de chouettes fut élaboré sur la base d'observations et de recensements de cette population sur une zone donnée. Les scientifiques qui ont étudié et observé cette espèce estiment que :
\begin{itemize}
\item le nombre de nouveaux bébés à l'année $n+1$ est égal au tiers du nombre d'adultes vivants l'année $n$ ;
\item seuls $20\%$ des bébés nés l'année $n$ parviennent au stade jeune à l'année $n+1$ ;
\item $75\%$ des jeunes et $90\%$ des adultes de l'année $n$ survivent pour être comptabilisées comme adultes à l'année $n+1$.
\end{itemize}
On note $x_0$, $y_0$ et $z_0$ (resp. $x_1$, $y_1$ et $z_1$) les effectifs de chacune des classes d'âge pour l'année $1990$ (resp. $1991$). Enfin on note $U_0$ (resp $U_1$) le vecteur colonne $ \begin{pmatrix}
x_0\\y_0\\z_0
\end{pmatrix}$ (resp. $\begin{pmatrix}
x_1\\y_1\\z_1
\end{pmatrix})$
\begin{enumerate}
\item Exprimer $x_1$ en fonction de $x_0$, $y_0$ et $z_0$. De même exprimer $y_1$ et $z_1$ en fonction de $x_0$, $y_0$ et $z_0$.
\item Trouver une matrice carrée d'ordre $3$ telle que on ait $U_1=AU_0$.
\item Notons $x_n$, $y_n$ et $z_n$ les effectifs de chacune des classes d'âge de cette population pour l'année $1990+n$. On note $U_n=\begin{pmatrix}
x_n\\y_n\\z_n
\end{pmatrix}$ pour $n\in \N$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $U_{n+1}=AU_n$ pour tout $n\in \N$.
\item Calculer $U_2$ puis $U_3$ (arrondir à l'unité).
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n>0$, on a $$ U_n=\underset{n \text{ fois}}{A\times A\times \dots \times A }\times U_0$$
\item A l'aide de votre calculatrice calculer $U_5$.
\item En calculant les puissances de $A$ à la calculatrice, déterminer la répartition de la population de chouettes tachetées après $10$, $15$, $20$, $25$ et $30$ ans. Que peut-on envisager pour l'évolution à long terme de la population des chouettes tachetées dans cette région ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{defi}
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$ et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$. La puissance $n$-ième de $A$ est la matrice carrée d'ordre $p$ obtenue en multipliant $n$ fois la matrice $A$ par elle-même :
$$ A^n=\underset{n \text{ fois}}{A\times A\times \dots \times A }$$
\end{defi}

\Expl{Si $A=\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$ alors $A^2=\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
2 & -1
\end{pmatrix}$ et de même :
$$ A^3=A^2\times A=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
2 & -1
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4 & -3\\
3 & -2
\end{pmatrix}$$}

\Rq{Soit $A$ une matrice carrée diagonale d'ordre $p$ c'est-à-dire avec des coefficients nuls sauf sur la diagonale principale, notons $A=diag(d_1,d_2,\dots, d_p)$ alors pour tout entier naturel $n$ on a $A^n=diag(d_1^n,d_2^n,\dots, d_p^n)$.\\
Le calcul des puissances d'une matrice diagonale est donc extrêmement aisé : c'est pour cela que, dans de nombreux exercices où il est demandé de calculer explicitement des puissances de matrices, on cherche à se ramener à des matrices diagonales lorsque cela est possible.}

\begin{prop}
Soit $A$  une matrice carrée d'ordre $p$. Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à $1$. On a :
$$A^mA^n=A^{m+n} \qquad \text{et} \qquad (A^m)^n=A^{mn} $$
\end{prop}

\Dem{Ces deux propriétés se démontrent par exemple par récurrence sur $n$.}
\Rq{A cause de la non-commutativité du produit des matrices carrées, en général $\left(A\times B\right)^n\neq A^n\times B^n$ et $(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$}

On a cependant le résultat suivant :

\begin{prop}
Soit $A$ et $B$ deux matrices carrées d'ordre $p$ qui commutent (c'est-à-dire telles que $A\times B=B\times A$). On a alors, pour tout entier $n\geq 1$ :
$$ (A+B)^n=\sum_{i=1}^n \binom{n}{i} A^iB^{n-1}$$
\end{prop}

\Dem{Ce résultat se démontre par récurrence sur $n$.}

\pagebreak

\begin{exoi}
Soit $A$ la matrice carrée d'ordre $2$ suivante :
$$ A=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-\dfrac{1}{2}& \dfrac{3}{2}
\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $A^2$ et $A^3$.
\item Nous allons déterminer une forme explicite de la matrice $A^n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Soit $P=\begin{pmatrix}
1 	& 2\\
1 & 1
\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}$ et $Inv_P=\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
$
\\
Démontrer que $A=PDInv_P$ et démontrer que $Inv_P\times P=I_2$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ A^n=PD^nInv_P$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
Soit $B$ la matrice carrée d'ordre $2$ suivante :
$$ B=\begin{pmatrix}
2 & 0\\
3 & 2
\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $B^2$ et $B^3$.
\item Nous allons déterminer une forme explicite de la matrice $B^n$ pour tout entier $n$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $B=2I_2+C$ où $C$ est une matrice d'ordre $2$ que l'on déterminera.
\item Calculer $C^2$. Démontrer que, pour tout entier $n\geq 2$ on a $C^n=0$.
\item Démontrer que les matrices $2I_2+C$ commutent. Utiliser la formule du binôme de Newton pour établir que, pour tout entier $n$ on a :
$$ B^n=2^n I_2+n2^{n-1}B$$
\item Donner une expression explicite de $B^n$ pour tout entier $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\section{Applications : Processus aléatoire - matrice de transition}

\subsection{Généralités}

Lorsqu'on s'intéresse à l'évolution conjointe de plusieurs données reliées entre elles par des relations linéaires, on peut déterminer le passage d'un état des données à un autre en utilisant le produit matriciel.
\\
Si les états possibles à un instant sont numérotés de $1$ à $n$, on peut les représenter par une matrice colonne à $n$ lignes.

\begin{defi}
On appelle \textbf{matrice de transition} des états la matrice carrée $A$ de taille $n$ dont le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ donne à chaque instant le nombre, ou la proportion, ou la probabilité possibles de l'état numéroté $j$ à l'état numéroté $i$.
\end{defi}

Par définition du produit matriciel, à chaque instant les données observées passent de l'état représentées par la matrice colonne $X$ aux états représentées par la matrice colonne $X'$ de telle sorte que $X'=AX$.

\Expl{\og Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? \fg
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{fibolapin.eps}
\end{center}
 Ce problème est à l'origine de la suite dont le n-ème terme correspond au nombre de paires de lapins au n-ème mois. Dans cette population (idéale), on suppose que :
 \begin{itemize}
 \item Au (début du) premier mois, il y a juste une paire de lapereaux ;
\item Les lapereaux ne procréent qu'à partir du (début du) troisième mois ;
\item Chaque (début de) mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement une nouvelle paire de lapereaux ;
\item Les lapins ne meurent jamais (donc la suite de Fibonacci est strictement croissante).
 \end{itemize}
 Si l'on note $F(n)$ le nombre de couples de lapins au début du $n$-ème mois, les premiers termes de la suite sont les suivants  :
 $$ F(1)=1 \quad F(2)=1\quad F(3)=2 \quad F(4)= 3 \quad F(5)=5 \qquad F(6)=8\qquad F(7)=13$$ 
Comme les lapins ne meurent pas, on additionne les lapins qui naissent aux lapins existants, en tenant compte du fait qu'à partir d'un certains âge, ces lapins procréent eux-mêmes ! Et finalement, on a :
$$ F(n)=F(n-1)+F(n-2)$$
La matrice de transition $A=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$ carrée d'ordre $2$  permet de passer du vecteur colonne $\begin{pmatrix}
F(2)\\
F(1)
\end{pmatrix}$ au vecteur colonne $\begin{pmatrix}
F(3)\\F(2)
\end{pmatrix}$ 
En effet on a : $ \begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\1
\end{pmatrix}$ 
}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item A l'aide d'un calcul matriciel, retrouver $F(4)$.
\item Justifier que :
$$ \begin{pmatrix}
F(n+1)\\
F(n)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
F(n)\\
F(n-1)
\end{pmatrix}$$
\item Démontrer, par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ on a :
$$\begin{pmatrix}
F(n+1)\\
F(n)\end{pmatrix}
= \left(\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\right)^n\times \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
$$
\item En déduire, à l'aide de votre calculatrice le nombre de couple au bout de $10$ ans.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
Soit le graphe suivant constitué de $3 $ sommets :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
 &  &  & V2 \\ 
V1 \\ 
 & V3 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\ncarc[arcangle=15]{2,1}{1,4}^{1/4}
\ncarc[arcangle=15]{1,4}{2,1}_{1/3}
\ncarc[arcangle=15]{2,1}{3,2}^{3/4}
\ncarc[arcangle=15]{3,2}{2,1}^{1/2}
\ncarc[arcangle=15]{1,4}{3,2}^{2/3}
\ncarc[arcangle=15]{3,2}{1,4}^{1/2}
\end{center}
On se déplace d'un sommet à un autre sur ce graphe en suivant les arêtes orientées. A chaque déplacement (ou pas) sur une arête, les probabilités de se trouver une le sommet extrémité sachant que l'on est parti du somet origine sont indiquées sur la figure.\\
On suppose que ces probabilités sont identiques quel que soit le parcours déjà effectué sur le graphe. On parle de probabilité de transition d'un sommet vers un autre.
\begin{defi}
La matrice de transition d'une marche aléatoire est la matrice carrée dont le coefficient situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j est la probabilité de transition du sommet j vers le sommet i, soit encore la probabilité d'arriver en i sachant qu'on est parti de j.
\end{defi}
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice de transition associée à ce graphe.
\item Expliquer pourquoi la somme des coefficients d'une colonne vaut toujours $1$.
\item Soit $X_n=\begin{pmatrix}
p_n \\
q_n \\ r_n
\end{pmatrix}$ la matrice colonne des états après un $n$ déplacements. $p_n$ désigne la probabilité d'être en $V1$, $q_n$ celle d'être en $V2$ et $r_n$ celle d'être en $V_3$.\\
Proposer un arbre de probabilité permettant de calculer $p_{n+1}$, $q_{n+1}$ et $r_{n+1}$ en fonction de $p_n$, $q_n$ et de $r_n$.
\item Démontrer que :
$$ p_{n+1}=\dfrac{1}{3}q_n+\dfrac{1}{2}r_n$$
$$ q_{n+1}=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}r_n$$
$$ r_{n+1}=\dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{2}{3}q_n$$
\item Retrouver ce résultat par un calcul matriciel.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{prop}
Pour une marche aléatoire associée à un déplacement sur un graphe dont la matrice de transition est notée $A$ et la matrice colonne de l'état après $n$ pas est notée $X_n$. On a $$X_{n+1}=AX_n$$ et pour tout entier $n\geq 0$ :
$$ X_n=A^nX_0$$
\end{prop}

\Dem{La première relation se démontre en utilisant la formule des probabilités totales. La seconde se démontre par récurrence en utilisant la première.}

\begin{exoi}
On considère un mobile se déplaçant sur le graphe probabiliste ci-dessous  :
\\
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
 & A &  & B 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=0]{1,2}{0.7cm}^{0.1}
\ncarc[arcangle=15]{1,2}{1,4}^{0.9}
\ncarc[arcangle=15]{1,4}{1,2}^{0.7}
\nccircle[angleA=0]{1,4}{0.7cm}^{0.3}
\end{center}
On note $X_n=\begin{pmatrix}
a_b\\
b_n
\end{pmatrix}$ la matrice colonne donnant la probabilité que le mobile occupe le sommet $A$ ou $B$, $n$ instants après son départ.
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice de transition $A$ associée à ce système puis en déduire une relation entre $X_{n+1}$ et $X_n$.
\item S'il part de $A$, donner $X_0$ puis calculer la probabilité que le mobile soit en $B$ après $4$ pas.
\item S'il part de $B$, donner $X_0$ puis calculer la probabilité que le mobile soit à nouveau en $B$ après $5$ pas.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\subsection{Marche aléatoire}

\begin{exoi}
Une puce se déplace (à raison d'un saut par seconde) sur les sommets d'un triangle équilatéral $ABC$. A chaque seconde elle saute de façon aléatoire d'un sommet à l'autre, en choisissant avec une égale probabilité (égale à $\dfrac{1}{2}$) l'un des sommets possibles.
\begin{enumerate}
\item Avec l'aide d'un ordinateur,  simuler  (écrire un algorithme qui donne la position de la puce au bout de $10$ sauts, l'exécuter $1000$ fois et renvoyer le nombre de fois où la puce est en $A$, en $B$ et en $C$.) $1000$ marches aléatoires de $10$ sauts. La position initiale de la puce étant sur le sommet $A$.
\item Pour $n\in \N$, soit $X_n$ la variable aléatoire donnant la position de la puce à l'instant $n$ et $U_n$ la matrice ligne associée à la loi de probabilité de $X_n$. Initialement la puce est en $A$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $U_0=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ et que la matrice de transition est $T=\begin{pmatrix}
0 &\dfrac{1}{2}& \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{2}& 0 & \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{2}& \dfrac{1}{2} & 0
\end{pmatrix}$
\item Entrer les matrices $T$ et $U_0$ dans une calculatrice et calculer $U_{10}$, vecteur ligne associée à la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_{10}$. Comment peut-on interpréter chacun des coefficients de ce vecteur ligne ? Comparer les résultats obtenus lors de la simulation.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}