\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Fonction Exponentielle}	
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\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macrodwicky.tex

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
%\debutcha{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}

\setcounter{NumLecon}{6}
\ddwicky{expo_hs.eps}{Peanuts}{Charles Schulz}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Peanuts (aussi connu sous le nom de Snoopy et les Peanuts ou simplement Snoopy) est le nom d'un comic strip écrit et dessiné quotidiennement, sans interruption et sans assistance par l'Américain Charles M. Schulz (1922 - 2000) d'octobre 19501 jusqu'à sa mort, en février 2000. Il aura écrit au total 17 897 strips dont 2 506 éditions du dimanche2.
Peanuts est une série de gags qui tournent autour de deux personnages centraux, un garçon maladroit, malchanceux et déprimé, Charlie Brown et son chien, Snoopy. Le strip s'appuie sur le principe du running gag (comique de répétition) où les mêmes situations entre les personnages reviennent tout au long de la bande dessinée. De plus, chacun des personnages a ses particularités, ses obsessions et ses accessoires propres, qui resurgissent chaque fois qu'ils apparaissent.
Peanuts a donné également naissance à des dessins animés, dont plusieurs ont reçu un Emmy Award, à des pièces de théâtres et à des comédies musicales.
Le comic a été, à partir des années 1960 un succès planétaire, notamment aux États-Unis. La popularité du strip et le nombre colossal de licences pour des publicités ou produits dérivés ont fait de Charles M. Schulz une des célébrités les plus riches du monde 3.
À la mort de Schulz, le comic était publié dans plus de 2 600 journaux, dans 75 pays différents et dans 21 langues 4.}{0.3}{0.4}{ \item Découvrir une nouvelle fonction de référence
 \item Connaître ses propriétés
}
\setcounter{NumLecon}{6}

\TITRE{expo_intro.eps}{0.6}

\begin{abstract}
De nombreux phénomènes physiques, biologiques, économiques ou autres sont modélisés par une fonction $f$ qui est proportionnelle à sa dérivée $f'$. (Par exemple, le phénomène de désintégration de noyaux radioactifs)\\
Nous allons ici nous intéresser à l'une des fonctions de ce type.\\
Plus particulièrement, que peut-on dire d'une fonction qui serait égale à sa dérivée ?\\
Nous connaissons déjà au moins une fonction égale à sa dérivée : la fonction nulle ! Mais cette fonction est sans intérêt. Notre objectif est d'en rechercher d'autres.
\end{abstract}


\section{Enquête sur les fonctions}

\subsection{Un problème de radioactivité}

\Act{
Le Radon est un gaz radioactif qui se désintègre avec le temps. On a pu observé qu'une quantité quelconque 
de tels noyaux diminue chaque jour d'environ $16.5\%$. \\
On aimerait connaître le temps de demi-vie du Radon, ie le temps nécessaire pour que la moitié
des atomes d'une quantité donnée de radon se soit désintégrée de façon naturelle.\\
\textbf{Partie A : Modélisation par une suite}\\
 Soit $R_n$ la quantité de radon au bout de $n$ jours, avec $n\in\N$.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $R_{n+1}$ en fonction de $R_n$ pour tout $n\in\N$. En déduire la nature de la suite $(R_n)$.
 \item Pour tout $n\in\N$, exprimer $R_n$ en fonction de $n$ et de $R_0$.\\
 En déduire la proportion $p_n$ de noyaux restants au bout de $n$ jours, pour tout $n\geq 0$.
 \item Déterminer à l'aide d'un tableau de valeurs le temps de demi-vie en jours du Radon.
\item Quelle critique pouvez-vous faire quant cette modélisation de la situation par une suite ?
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Modélisation par une fonction}\\
Soit $R(x)$ est la quantité de noyaux de Radon restant au bout de $x$ jours, 
et $p(x)$ la proportion de noyaux restant au bout de $x$ jours, avec $x$ un réel positif dans les deux cas.\\
Il paraît alors assez naturel de faire l'hypothèse que, pour toute quantité initiale $R(0)$ de 
Radon, la quantité $R(x)$ de Radon restant au bout de $x$ jours, avec $x\in\R^+$, est $R(x)=p(x)\times R(0)$, où $p(x)$
est un réel ne dépendant que de $x$. \\
On cherche alors à déterminer la forme d'une telle fonction $p$, si tant est qu'elle existe, pour répondre à la question donnée.\\
Supposons déjà qu'une telle fonction $p$ existe. 
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Relation fonctionnelle}
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que pour tous réels $x$ et $y$ positifs on a 
 $$R(x+y)=p(x+y) \times R(0) \qquad \text{ et } \qquad R(x+y)=p(y) \times R(x)$$
  \item En déduire que  pour tous réels $x$ et $y$ positifs on a 
$$p(x+y)=p(x) \times p(y) \qquad (\ast)$$
\begin{center}
\textbf{$(\ast)$ s'appelle une relation fonctionnelle.\\
On dit que $p$ transforme les sommes en produits.}
\end{center}
  \item Connaissez-vous une telle fonction ? Peut-elle être celle que l'on cherche ?
    \end{enumerate}
  \item \textbf{Vérification de la cohérence avec la partie A.}
  \begin{enumerate}
     \item En remplaçant $y$ par $0$ dans la relation $(\ast)$, vérifier que la valeur de $p(0)$ est 
  cohérente avec $(\ast)$.
 \item Vérifier que $(\ast)$ est cohérente avec ce que l'on a déjà trouvé sur les entiers, 
 ie que \\
 $p(n+m)=p(n)p(m)$ pour tous $n$ et $m$ entiers naturels.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\textit{Vous remarquerez que l'on ne peut pas encore répondre à notre problème, qui semble plus compliqué que prévu. \\
Aussi allons-nous étudier en détails les éventuelles fonctions $f$ vérifiant la relation $(\ast)$}
}


\subsection{Etude de l'équation fonctionnelle : vers les primitives}
\Act{
On admet qu'il existe des fonctions $f$ définies sur $\R$ et non nulles sur $\R$ vérifiant la relation suivante :
$$\text{Pour tous } x,y \in\R \quad \text{ on a } \quad f(x+y)=f(x)f(y) \qquad (\ast)$$
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Conséquences directes}
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que s'il existe un réel $a$ tel que $f(a)=0$ alors pour tout réel $x$, on a $f(x)=0$. \\
 En déduire que ces fonctions ne s'annulent jamais.
 \item Soit $x$ un réel quelconque. En remplaçant $y$ par une valeur bien choisie dans $(\ast)$ démontrer que :
$$f(0)=1 \qquad \qquad f(x)\geq 0  \qquad \qquad f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$$
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Equation différentielle}\\
Supposons de plus que $f$ est dérivable sur $\R$.\\
Soit $x$ un réel quelconque. On pose $g : y \mapsto f(x+y)$ définie sur $\R$.
\begin{enumerate}
 \item En dérivant la fonction $g$ par rapport à sa variable $y$, montrer que $f'(x+y)=f(x) \times f'(y)$ pour tout $y\in\R$.
 \item En déduire que $f'(x)=k \times f(x)$ où $k$ est un réel non nul.
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Ceci est vrai pour tout $x\geq 0$, donc la fonction $f$, si elle existe, est proportionnelle à sa dérivée.\\
Elle vérifie l'équation différentielle $f'=kf$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\textit{Nous sommes désormais ramener à étudier les éventuelles fonctions $f$ proportionnelles à leur dérivée.
}
}

\begin{defi}
Une \textbf{équation différentielle} est une équation :
\begin{itemize}
\item où l'inconnue est une fonction, que l'on note habituellement  $y$
\item dans laquelle apparaît certaines dérivées de $y$, comme par exemple l'équation suivante :
$$ y''(x)=3y'(x)+2y(x) $$
que l'on s'autorise à noter $y''=3y'+2y$. \\
On appelle solution d'une équation différentielle $(E)$ tout couple $(f,I)$ où $f$
 est une fonction qui vérifie $(E)$ sur $I$. On dira que $f$ est solution de $(E)$ sur $I$. \\
Résoudre une équation différentielle sur $I$ c'est trouver toutes les fonctions solutions de $(E)$ sur $I$.
\end{itemize}
\end{defi}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item L'équation $y'=y$ est une équation différentielle, dont nous ne connnaissons pas encore de solution, mais nous
 allons nous ateler à la découvrir dans ce chapitre.
 \item L'équation $y'=x$ est une équation différentielle, dont nous savons que $y=\dfrac{x^2}{2} $ est une solution 
 étant entendu que, dans une équation différentielle l'inconnue est 
une fonction. $y$ désigne donc une fonction.
\end{itemize}
}

\Rqs{
\item Lorsqu'on ne précise pas l'intervalle $I$, il s'agit de l'intervalle $\R$.
\item Rechercher les primitives d'une fonctions continue $f$ sur un intervalle $I$, c'est résoudre sur $I$ 
l'équation différentielle : $$y'=f(x)$$
Ce sont les seules que nous étudierons cette année.
}

\begin{ExoF}Trouver les fonctions solutions sur $\R$ des équations différentielles suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ y'=\sin x$
\item $y'=0$
\item $y''=0$
\item $y''=x$
\item $y'=5x(x^2+3)^4$
\item $y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\subsection{Etude de l'équation différentielle $f'=f$ : nécessité d'une condition initiale}


\Act{
Supposons qu'il existe une fonction $f$, non nulle, définie et dérivable sur $\R$ telle que :
$$ f'=f\text{ sur }\R$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Soit $\lambda\in\R$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g=\lambda f$. \\
       Démontrer que \quad $ g'=g  \text{ sur }\R$
\item Soit $g$ une fonction vérifiant aussi $g'=g$ sur $\R$. \\
Montrer que $f+g$ vérifie la même condition. 
\item Conclure.
      \end{enumerate}
\item Supposons maintenant qu'il existe une fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$ vérifiant les conditions :
$$ \left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right. \qquad (\ast)$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $c$ définie sur $\R$ par  \quad $ c(x)=f(x)f(-x)$.\\
Montrer que $c$ est une fonction constante égale à $1$ sur $\R$.
 \item En déduire que $f$ ne s'annule pas sur $\R$.\\
\textit{A ce stade, vous avez peut-être l'impression de tourner en rond. En réalité, vous avez démontré des réciproques de ce l'activité 2.} 
\item Soit $g$ une fonction qui vérifie $(\ast)$. \\
En considérant la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h=\dfrac{g}{f}$, 
montrer $g=f$.
 \item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textit{Dans cette partie on vient de démontrer que s'il existe une solution alors il en existe une infinité, 
puis en imposant une condition initiale (ici $f(0)=1$, ce qui est logique si l'on veut avoir la relation fonctionnelle) 
on a démontré que s'il existe une solution à notre équation alors elle est unique.}
}

%Dans la suite, la fonction $f$ est l'unique solution 
%\footnote{On suppose pour le moment qu'une telle fonction existe. La preuve rigoureuse de cette existence n'est pas de votre niveau.}
%satisfaisant la condition $(*)$ i.e :
%$$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right. \qquad (\ast)$$


\subsection{Approche graphique par la méthode d'Euler}

\Act{
On cherche à construire de façon approchée la courbe représentative $\mathscr C_f$ d'une éventuelle fonction dérivable $f$ qui vérifie les conditions 
$$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right. \qquad (\ast)$$
Comme on ne connait pas $f$, on ne peut pas déterminer l'ordonnée du point $M$ de la courbe ayant pour abscisse $x$.\\
On utilisera donc la méthode d'Euler pour approximer sa position. Elle consiste à dire qu'une courbe est proche d'une de ses tangentes
à proximité du point de tangence.
\begin{enumerate}
\item Construire un repère orthonormé d'unité graphique $10$ cm.
\item Quel est le seul point que l'on connait situé sur $\mathscr C_f$ ?\\
\textit{On prendra donc ce point comme référence dans toutes les questions suivantes.}
\item \textbf{Avec un pas de $1$}
\begin{enumerate}
 \item Quel est le coefficient directeur de la tangente $T_0$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$ ?
 \item Tracer le segment porté par cette tangente pour $x$ variant de $0$ à $1$.
  \item Si on assimile $\mathscr C_f$ à $T_0$, quelle approximation de $f(1)$ obtient-on ?
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $0.5$}
\begin{enumerate}
 \item Avec le tracé précédent, quelle approximation de $f(0.5)$ obtient-on ?
 \item Quel approximation du coefficient directeur de la tangente $T_{0.5}$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0.5$ peut-on
 en déduire ?
 \item Quelle nouvelle approximation de $f(1)$ obtient-on ?
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $0.25$}
\begin{enumerate}
 \item Avec le tracé de la question \textbf{1.}, quelle approximation de $f(0.25)$ obtient-on ?
 \item Quel approximation du coefficient directeur de la tangente $T_{0.25}$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0.25$ 
 peut-on en déduire ?
 \item En adaptant la méthode précédente, continuer vos calculs (sans arrondir !) et votre construction pour en déduire 
 une nouvelle approximation de $f(1)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $h>0$}
\begin{enumerate}
 \item En utilisant la méthode d'Euler, démontrer que 
  $$f(h)\simeq 1+h \qquad \qquad\qquad f(2h) \simeq (1+h)^2  \qquad \qquad\qquad f(3h) \simeq (1+h)^3$$
 \item Démontrer finalement par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a :
$$ f(nh)\simeq (1+h)^n $$
\item On pose $x=nh$. Démontrer que pour $n$ assez grand :
$$ f(x)\simeq \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$$
\textit{C'est la suite $(u_n(x))$ définie par \quad $ u_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$ \quad qui
sert à démontrer rigoureusement l'existence de la fonction $f$.}
\item A l'aide de la calculatrice, tracer les courbes des approximations de la fonction $f$ pour des valeurs de 
$n$ égales à $10$, $100$ et $1000$.
\item En prenant $n=1000$, donner une valeur approchée du nombre $f(1)\simeq \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$
\textit{Le nombre $f(1)$ est encore noté $e$. En fait on a : 
$$ e=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{enumerate}
\textbf{Conclusion} : \\
Cette fonction $f$ vérifiant les conditions \quad 
$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right.$ \quad est unique et est appelée \textbf{fontion exponentielle}.\\
On la note $\exp$. \\\\
On vient de voir à quoi ressemble sa représentation graphique. nous verrons, dans le cours, 
que cette fonction possède des propriétés remarquables, notamment évidemment, celle de transformer des \og sommes \fg{} 
en \og produits \fg{}, i.e :
$$ \forall x\in\R,\qquad \forall y\in\R \quad : \quad f(x+y)=f(x)f(y)$$
}
\section{La fonction exponentielle}
\subsection{Définition et premières propriétés}

\begin{theo}[Définition]
Le problème différentiel :
 \quad $\left\{ \begin{array}{l} y'=y\\ y(0)=1  \end{array} \right.$ \quad 
admet une unique solution sur $\R$ appelée \textbf{fonction exponentielle} et noté $\exp$.\\
Ainsi 
$$ \exp(0)=1\qquad \text{et}\qquad \forall x \in \R \text{on a }  \exp'(x)=\exp(x)$$
\end{theo}


\Rq{Autrement dit il n'existe qu'une et une seule fonction $f$ dérivable sur $\R$ égale à sa dérivée qui vaut $1$ en $0$ }

\Dem{L'existance est délicate et admise.\\
L'unicité a été démontrée en activité.
}

\begin{prop}
\begin{enumerate}
%\item $\exp(0)=1$
%\item $\exp$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in\R$ $\exp'(x)=\exp(x)$
 \item Pour tout réel $x$ on a $\exp(-x) \times \exp(x) = 1 \Longleftrightarrow \exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)} $
 \item Pour tout réel $x$ on a $\exp(x)\neq 0$
\item Pour tout réel $x$ on a :
$ \exp(x)>0$
\item La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$
\end{enumerate} 
\end{prop}

\Dem{\begin{enumerate}
%\item[\textbf{1. et 2.}] En effet puisque $\exp$ est solution du problème différentiel.
\item[\textbf{1. et 2.}] On a démontré dans l'activité 2 que si $f$ était solution du problème différentiel 
alors pour tout $x\in\R$ on a :
$$ f(x)f(-x)=1 $$
et par conséquent, comme $\exp$ est l'unique solution de ce problème, on a pour tout réel $x$ :
$$ \exp(x)\times \exp(-x)=1 \qquad \textrm{ et } \exp(x) \neq 0$$
\item[\textbf{3. et 4.}] On sait déjà que $\exp(0)=1 >0$. \\
Supposons qu'il existe un réel $x_1$ tel que $\exp(x_1)<0$.\\ 
Comme la fonction $\exp$ est dérivable sur $\R$, elle y est aussi continue et d'après le théorème des valeurs 
intermédiaires il existe une solution à l'équation $\exp(x)=0$, ce qui est absurde. \\
Par conséquent $\exp(x)>0$ pour tout $x\in\R$.\\
 On a donc pour tout réel $x$ :
$$ \exp'(x)=\exp(x)>0$$
La fonction $\exp$ est donc strictement croissante sur $\R$.
\end{enumerate}
}

\begin{theo}
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors $$ (\exp(u))'=u' \times \exp(u)$$ 
\end{theo}



\Dem{On sait que $$ (f\circ u)'=u' \times f'(u)$$
On applique ce résultat pour $f=\exp$.}

\Expls{Etudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $$ f(x)=\exp(3x^2+1)\qquad \text{et} \qquad g(x)= \exp(-2x+1)$$
Pour tout réel $x$ : $f'(x)=6x\exp(3x^2+1)$. \\
Or $\exp(X) >0$ pour tout $X$. Donc $f'(x)$ est positif si et seulement $6x>0$ si et seulement si $x>0$.\\
Finalement, $f$ est strictement décroissante sur $\R^-$ et strictement croissante sur $\R^+$.\\
Pour tout $x$, $g'(x)=-2\exp(-2x+1)$. \\Donc $g'(x) <0$ pour tout $x$ et $g$ est strictement décroissante sur $\R$.
}


\subsection{Relation fonctionnelle et conséquences}

\begin{theo}
Pour tous réels $x$ et $y$ : 
$$ \exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)$$
\textbf{La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.} 
\end{theo}


\Dem{Soit $a\in\R$. Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=\exp(x+a)\exp(-x)$$
On a alors pour tout $x\in\R$ :
\begin{eqnarray*}
g'(x)&=&\exp'(x+a)\exp(-x)-\exp(x+a)\exp'(-x)\\
&=&\exp(x+a)\exp(-x) - \exp(x+a)\exp(-x)\\
&=&0 
\end{eqnarray*}
Par conséquent la fonction $g$ est constante sur $\R$.\\
De plus $g(0)=\exp(a)\exp(0)=\exp(a)$.
}
\DemS{
Ainsi, pour tout $x\in\R$ :
$$ \exp(x+a)\exp(-x)=\exp(a) \Longleftrightarrow 
\exp(x+a)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(-x)}$$
Or, on sait que pour tout $x\in\R$ on a :
$$\exp(x)\times \exp(-x)=1 \iff  \exp(x)=\dfrac{1}{\exp(-x)}$$
Par conséquent on peut conclure que pour tout $x\in\R$ on a :
$$ \exp(x+a)=\exp(a)\times \exp(x)$$
Ce résultat étant vrai pour tout $a\in\R$, en choisissant $y=a$ on obtient le résultat voulu. }

\Rq{Réciproquement, toute fonction transformant les sommes en produits est une fonction du type :
$$ f(x)=\exp(ax)\qquad \text{où}\qquad a\in\R$$
Mais nous admettrons ce résultat.}

\begin{prop}
Pour tous réels $x$ et $y$, on a  \quad $\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$\\
On en déduit \quad $\exp(nx)=\left(\exp(x)\right)^n$, $\forall n\in\Z$ \quad et 
 \quad $\exp\left(\dfrac{x}{n}\right)=\sqrt[n]{\exp(x)}$ pour $n\in\N^*$
\end{prop}

\Dem{Pour tous réels $x$ et $y$ on a, d'après le théorème précédent :
\begin{enumerate}
\item $\exp(x-y)=\exp(x)\exp(-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\\
Remarquons qu'en prenant $y=0$ dans la relation précédente, on obtient retrouve le résultat :
$$\exp(-x)=\dfrac{\exp(0)}{\exp(x)}=\dfrac{1}{\exp(x)} $$
\item 1$^{\text{ère}}$ méthode : Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$, $\forall n\in\Z^*$ par 
$f(x)=\dfrac{e^{nx}}{\left(e^x\right)^n}$ est constante égale à $1$.\\
2$^{\text{ème}}$ méthode : Raisonner par récurrence sur $n\in\N$ afin de démontrer $\mathscr P(n) $ : $\exp(nx)=[\exp(x)]^n$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : Pour $n=0$ on a :
$\exp(0\times x)=\exp(0)=1$ et $(\exp(x))^0=1$ donc la propriété est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que la propriété $\mathscr P(n)$ soit vraie pour un certain entier $n$, 
montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$. On a :
\begin{eqnarray*}
\exp((n+1)x)&=&\exp(nx+x) \\
&=& \exp(nx)\exp(x)\qquad \text{d'après la relation fonctionnelle}\\
&=& \left(\exp(x)\right)^n \exp(x)\qquad \text{d'après l'hypothèse de récurrence}\\
&=& \left(\exp(x)\right)^{n+1}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
\DemS{
%\begin{enumerate}
 %\item[] 
 Ainsi la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.\\
On vient de démonter que pour tout $n\in\N$ :$\exp(nx)=\left(\exp(x)\right)^n$\\
 %\item[] 
 Qu'en est-il si $n<0 \Longleftrightarrow -n>0$ ?\\
On sait que $$ \exp(-nx)\exp(nx)=1$$
Donc :
$$ \exp(nx)=\dfrac{1}{\exp(-nx)}=\dfrac{1}{\left(\exp(x)\right)^{-n}}=\left(\exp(x)\right)^n$$
Ainsi pour tout $n\in\Z$ on a :
$$\exp(nx)=\left(\exp(x)\right)^n$$
\begin{enumerate}
 \item[\textbf{3.}] Un petit rappel d'abord, la racine $n^{ième}$ d'un nombre réel positif est l'unique solution positive 
de l'équation $x^n=a$.\\
On a pour tout $n\geq 1$ \quad $\exp\left(\dfrac{a}{n}\right)^n=\exp\left(n\times \dfrac{a}{n}\right)=\exp(a)$, par conséquent :
$$\exp\left(\dfrac{a}{n}\right)=\sqrt[n]{\exp(a)} $$
\end{enumerate}
}

\subsection{Nouvelle notation}
\Cadre[Notation]{On note $e$ le nombre $\exp(1)$ :
$$ e=\exp(1)\simeq 2,71828$$}

\Rqs{
\item On a vu dans l'activité 4 que :
$$ e=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$
\item Avec les propriétés de la fonction exponentielle, on a alors $\forall n\in\Z$, 
$$ \exp(n)=\exp(n\times 1)=[\exp(1)]^n=e^n$$
Par exemple,\quad  $\exp(3)=\exp(3\times 1)=\left(\exp(1)\right)=e^3 $\\ 
De plus, comme l'exponentielle transforme les sommes en produits, on a, pour tous $n$ et $m$ dans $\Z$ :
$$ e^{n+m}=\exp(n+m)=\exp(n)\exp(m)=e^ne^m$$
%Par exemple, \quad $\exp(n+3)=\exp(n)\times \exp(3) = e^n \times e^3 $.\\
D'où la notation suivante :
}

\Cadre[Notation]{Soit $x\in\R$. On note $$ e^x=\exp(x)$$}

\Rq{Cette notation est légitime, elle ne fait que prolonger à tous les réels, une propriété constatée sur les entiers. }

Résumons désormais, à l'aide de cette nouvelle notation, toutes les propriétés rencontrées sur la fonction exponentielle :

\Cadre[Résumé]{\begin{multicols}{2}Pour tous $(x,y)\in\R^2$, pour tout $n\in\Z$ et pour toute fonction $u$ dérivable sur $I$, on a
\begin{enumerate}
\item $e^0=1$
\item $e^1=e$
\item $(e^x)'=e^x$
\item $e^xe^{-x}=1$
\item $e^x>0$
\item $e^xe^y=e^{x+y}$
\item $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$
\item $e^{nx}=\left(e^x\right)^n$
\item $\left(e^{u}\right)'=u' \times e^u$
\item $ e^{\dfrac{x}{n}}=\sqrt[n]{e^x}$, $n\geq 1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Expls{Simplifier les écritures suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ e^{x+2}e^{-x+2}$
\item $ \dfrac{e^{-2x+1}}{e^{-x+1}}$
\item $ \dfrac{e^x-1}{e^x+1}$
\item $ \sqrt{\left(e^{-2x+6}\right)^3}$
\item $ \sqrt{3e^{-x}+6e^{-x}}$
\item $\sqrt{\dfrac{2e^{3x+1}}{e^{2x-1}} }$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\begin{ExoF}
 Simplifiez au maximum les expressions suivantes~:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\e^{x}\e^{-x}$
\item $\e^{x}\e^{-x+1}$
\item $\e\e^{-x}$
\item $\left(\e^{-x}\right)^2$
\item $\dfrac{\e^{2x}}{\e^{2-x}}$
\item $\dfrac{\left(\e^x\right)^3}{\e^{2x}}$
\item $\e^x \left(\e^x+\e^{-x}\right)$
\item $\left(\e^x\right)^5 \left(\e^{-2x}\right)^2$
\item $\e^{-3x+1}\left(\e^x\right)^3$
\item $\sqrt{\e^{-2x}}$
%\item $\dfrac{\e^{-4x}\e}{\left(\e^{-x}\right)^2}$
%\item $\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2-\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2$
\item $\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2-\e^{-x}\left(\e^{3x}-\e^{-x}\right)$
%\item $\left(\e^x-\e^{-x}\right)\left(\e^{2x}+\e^x+1\right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoL}
n$^{\circ}$ 28-31-32-33 p 134 + 21-22 p 133 + 26-27 p 133 + 69 p 142 + ROC : 29 p 133
\end{ExoL}


\section{Etude de la fonction exponentielle}

\subsection{Variations}
\begin{theo}[Rappels]
\begin{enumerate}
 \item La fonction exponentielle est une fonction continue et dérivable sur $\R$.
\item La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.\\
Pour tous nombres réels $x$, $y$  on a donc : $$x<y \Longleftrightarrow e^x<e^y \qquad ; \qquad x>y \Longleftrightarrow e^x>e^y \qquad \text{ et } \qquad 
x=y \Longleftrightarrow e^x=e^y$$
\end{enumerate}
\end{theo}

%\Dem{Déjà fait.
%}


\Expls{Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $e^{-x}+1=0$
\item $e^{3x-1}-e^{-x}<0$
\item $-2\leq e^x\leq 1$
\item $e^{2x}+e^x<2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}



%\begin{ExoL}
%n$^{\circ}$ ?? 
%\end{ExoL}


\subsection{Tangente, Limites et Asymptote}

%\Act{
%\begin{enumerate}
%\item En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que $\Lim{0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$
%%\item Déterminer l'approximation affine de la fonction exponentielle en $0$.
%\item Déterminer l'équaton de la tangente $T_0$ à la courbe représentative $\mathscr C_f$ de la fonction exponentielle au point d'abscisse $0$.
%\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $ g(x)=e^x-x$. 
%\item En déduire que $ \forall x\in\R \qquad e^x\geq x+1$, puis :
%\begin{itemize}
% \item  la position relative de la $\mathscr C_f$ et de $T_0$
% \item $ \Lim{+\infty}e^x=+\infty$
%\end{itemize}
%\end{enumerate}
%}

\Act{
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction exponentielle
        au point d'abscisse $0$.
        \item En étudiant la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=e^x-x$, montrer que $\mathscr C$ est 
        toujours au-dessus de $T$.
        \item En déduire que $\lim\limits_{x\to + \infty} e^x = +\infty$
        \item Grâce à un changement de variable, en déduire que $\lim\limits_{x\to - \infty} e^x = 0$
       \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item En utilisant ce qui précède, comparer $e^{\frac{x}2}$ et $\dfrac{x}{2}$ pour tout $x\in\R$. 
        \item En déduire $\lim\limits_{x\to + \infty}\dfrac{e^x}{x} = + \infty$ 
        puis $\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0$
       \end{enumerate}   
\end{enumerate}
}

\begin{theo}
$$ \Lim{+\infty}e^x=+\infty\qquad , \qquad \Lim{-\infty}e^x=0 \qquad ; \qquad
\lim\limits_{x\to + \infty}\dfrac{e^x}{x} = + \infty  \qquad  \text{ et } \qquad 
\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0 $$
\end{theo}


\Dem{Cf Activité ou :\\
Montrons pour cela que $\forall x\in\R$ on a :
$$ e^x\geq x$$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=e^x-x$$
$g$ est une fonction dérivable sur $\R$ et $g'(x)=e^x-1$\\
$g'(x)=0\Longleftrightarrow e^x=1\Longleftrightarrow e^x=e^0\Longleftrightarrow x=0$
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$g’(x)$/1,$g$/2}{$ -\infty$,$0$,$+\infty $}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$1$ , +/$ $ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
Par conséquent $g(x)\geq 1$ pour tout $x\in\R$ i.e :
$$ e^x-x\geq 1>0\Longrightarrow e^x>x$$
Grâce au théorème de comparaison on a :
$$ \Lim{+\infty}x=+\infty \Longrightarrow \Lim{+\infty} e^x=+\infty$$
}
\DemS{
De plus, en posant $X=-x$, on a que si $x\longrightarrow +\infty$, $X\longrightarrow -\infty$ et dans ce cas :
$$ \displaystyle\lim_{X\to -\infty} e^{X}=\Lim{+\infty}e^{-x}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}  \dfrac{1}{e^x}=0$$
De plus, on sait que pour tout $x\in\R$ , $e^x\geq x$, par conséquent $e^{\frac{x}2} \geq \dfrac{x}2$.\\
La fonction carré étant croissante sur les positifs, on a donc aussi 
$e^x \geq \dfrac{x^2}{4} \iff \dfrac{e^x}{x} \geq \dfrac{x}4$.\\
D'après le théorème de comparaison, on a donc $\lim\limits_{x\to + \infty}\dfrac{e^x}{x} = + \infty $\\
On effectue ensuite un changement de variable dans l'expression $xe^x$ pour $x$ qui tend vers $-\infty$. \\
On pose $X=-x$ alors on a 
$xe^x = -Xe^{-X} = \dfrac{-X}{e^X}$ avec $X$ qui tend vers $+\infty$.\\
Ainsi, $\lim\limits_{x\to - \infty} xe^x= \lim\limits_{X\to + \infty} \dfrac{-X}{e^X} = 
-\lim\limits_{X\to + \infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^X}{X}} = 0$ d'après ce qui précède. 
}

\Rq{La représentation graphique de la fonction exponentielle admet 
\begin{itemize}
 \item en $-\infty$ une asymptote horizontale d'équation $y=0$.
  \item pour tangente en $0$ la droite d'équation $y=x+1$, et est toujours au-dessus d'elle.
\end{itemize}
}

\Expls{
Déterminer les limites en $\pm\infty$ des fonctions $f$ suivantes :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
\item $f(x)=e^{3-x}$
\item $f(x)=\dfrac{e^{x}-1}{e^x+1}$
\item $f(x)=e^x-x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}
\begin{ExoL}
n$^{\circ}$ 41-46 p 137
\end{ExoL}

\subsection{Représentation graphique}
On peut désormais établir le tableau de variation suivant :
\begin{center}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/0.5, Signe\\de $e^x$/1, Variation\\ de $e^x$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $0$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$0$} {$1$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$e$}
\end{tikzpicture}

\end{center}

On dispose également de suffisament d'informations pour représenter graphiquement la fonction exponentielle.\\
On commence par tracer l'asymptote $y=0$ en $-\infty$ et la tangente $y=x+1$ au point d'abscisse $0$.



\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=2cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-1.1)(4.1,15.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{15}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-1.1)(4.1,15.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2.718281828 x exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{5}{\F}
\def\G{x 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{4}{\G}
\uput[ur](2,35){$\textcolor{blue}{\mathscr C_{exp}: y=e^x}$}
\uput[ur](2,2){$  \textcolor{red}{y=x+1}$}
\psdot(1,2.71)
\uput[l](0,2.71){$e\, $}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,2.71)(0,2.71)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}






\subsection{Fonction réciproque}

\begin{coro}[Définition]
Si $a \in\R^{+*}$ l'équation $e^x=a$ admet une unique solution dans $\R$ que
 l'on appelle \textbf{logarithme népérien de $a$} et que l'on note \quad $\ln \left(a\right)$ .
\end{coro}

\Dem{
On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires à la fonction exponentielle, continue et strictement 
croissante sur $\R$. \\
Comme  \quad $\Lim{-\infty}e^x=0\qquad \text{et}\qquad \Lim{+\infty}e^x=+\infty$, \quad 
l'équation $e^x=a$ admet une unique solution dans $\R$ dès que $a >0$.\\
}

\Rq{On a donc, pour tout $a>0$, pour tout $b\in\R$ :
$$ e^{\ln(a)}=a\qquad \text{et}\qquad \ln(e^b)=b$$
En effet pour la première égalité, comme $\ln(a)$ est solution de $e^x=a$ 
on obtient littéralement $e^{\ln(a)}=\lambda$\\
De plus le nombre $ \ln(e^b)$ est solution de l'équation $e^x=e^b \Longleftrightarrow x=b$, 
par conséquent $\ln\left(e^b\right)=b  $ }

\Expls{Résoudre $e^x=5$, \quad $e^{-x}=-5$ , \quad $e^{-2x+3}=4$et $e^{3x}>\pi$
}

\Expl{Répondre (enfin !) au problème posé dans l'activité 1.}



\subsection{Autres limites à connaître}

\Act{
n$^{\circ}$ 47 p 137
}

\begin{theo} 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\N^*$ :
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{-\infty} x^ne^x=0$$
En particulier on retrouve : 
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{-\infty} xe^x=0$$
\item Taux d'accroissement à l'origine :
$$ \Lim{0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$$
\end{enumerate}
\end{theo}


\Dem{Cf Activité 6 ou on généralise les méthodes de l'activité 5.
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N^*$ (donc $n$ fixé). Montrons tout d'abord que : $ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$
\\On sait que pour tout $X\in\R$ on a : $ e^X\geq X$\\
En particulier pour $X=\dfrac{x}{n+1}$, avec $x\in\R^{+*}$ et $n\in\N^*$ on a : $ e^{\frac{x}{n+1}}\geq \dfrac{x}{n+1}$\\
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^{n+1}$ est une fonction croissante sur $\R^+$ donc :
$$ e^{\frac{x}{n+1}}\geq \dfrac{x}{n+1}\Longrightarrow f\left(e^{\frac{x}{n+1}}\right)\geq f\left(\dfrac{x}{n+1}\right)\Longrightarrow e^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$$
Ainsi on obtient :
$$ \dfrac{e^x}{x^n}\geq \dfrac{x}{(n+1)^{n+1}}$$
Comme $\Lim{+\infty}\dfrac{x}{(n+1)^{n+1}}=+\infty$, on en déduit par comparaison que 
$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$\\
En posant $X=-x$ on obtient : $ \Lim{-\infty}\mid x^n e^x\mid=\displaystyle\lim_{X\to+\infty} \dfrac{X^n}{e^X}=
\displaystyle\lim_{X\to+\infty} \dfrac{1}{\frac{e^X}{X^n} }=0$
d'où : $ \Lim{-\infty} x^n e^x=0$.\\
 En particulier pour $n=1$ on a : $ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{-\infty} xe^x=0$
\item Pour la troisième limite, nous reconnaissons le taux d'accroissement de la fonction exponentielle en $0$, 
sa limite est donc égale au nombre dérivé en $0$ de l'exponentielle à savoir : $$  \Lim{0}\dfrac{e^x-1}{x}=\Lim{0} \dfrac{e^x-e^0}{x-0}=\exp'(0)=e^0=1$$
\end{enumerate}}

\Expls{$\Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{ \sqrt{x} }=\Lim{+\infty }\dfrac{e^x}{x}\times \sqrt{x}=+\infty$ \qquad 
car $ \Lim{+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$ et $\Lim{+\infty} \sqrt{x}=+\infty$ }


\Rq{Quand on a une \textbf{forme indéterminée en l'infini} impliquant une exponentielle et un polynôme, 
on retiendra que c’est toujours l’exponentielle qui \og l’emporte \fg.
}


\begin{ExoF}En utilisant le résultat suivant :
 $$ \Lim{0} \dfrac{e^x-1}{x}=1$$
 Déterminer les limites suivantes :
 $$ \Lim{0} \dfrac{e^x-1}{ \sqrt{x} } \qquad ; \qquad \Lim{+\infty} x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) \qquad 
 \text{et}\qquad \Lim{-\infty}x\left(e^{\frac{1}{x^2}}-1\right)$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Calculer les dérivées et les limites aux bornes des ensembles de définitions des fonctions définies
par les expressions suivantes~:
\begin{enumerate}
 \begin{multicols}{3}
  \item $f_1(x)=\e^x+x^2+1$
%\item $f_2(x)=5\e^x+5x\e^x$
\item $f_2(x)=\e^x\sin(x)$
%\item $f_4(x)=\dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}$
\item $f_3(x)=\dfrac{3x+1-\e^x}{\e^{x}}$
%\item $f_6(x)=x^3\e^{-x}$
%\item $f_7(x)=\dfrac{x^2\e^{x}}{x+1}$
\item $f_4(x)=\dfrac{\e^{x}}{x}$
%\item $f_5(x)=\dfrac{1}{\e^x}$
%\item $f_{10}(x)=\left(\e^x\right)^2+\dfrac{1}{\e^x}$
%\item $f_{11}(x)=\e^{-x}$
%\item $f_{12}(x)=\e^{4x+1}$
\item $f_{5}(x)=\e^{\cos(x)}$
\item $f_{6}(x)=\e^{5x^3+7x+4}$
%\item $f_{15}(x)=(x+1)\e^{-x+1}$
%\item $f_{16}(x)=\dfrac{\e^{2x}-1}{x}$
  \end{multicols}
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{minipage}{6cm}
\begin{ExoF}
Reconnaître parmi les figures ci-contre les courbes représentatives des fonctions suivantes~:
\begin{itemize}
\item $x\mapsto \e^{-x}$
\item $x\mapsto \e^{x}$
\item $x\mapsto \e^{x+1}$
\item $x\mapsto \e^{x}+1$
\item $x\mapsto -\e^{x}$
\item $x\mapsto -\e^{x-1}$
\end{itemize}
\end{ExoF}
\end{minipage} \qquad 
\begin{minipage}{10cm}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-1)(3,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3,-1)(3,4)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(-x)}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(x)}
\psplot[linestyle=dotted,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(x+1)}
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(x)+1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt 3pt 1pt ,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{-EXP(x)}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{-EXP(x-1)}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\begin{ExoF}
 Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.

\noindent Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par :

\[f(x) = \cfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 2,1\text{e}^{x} + 1,1x + 1,6\]

\begin{enumerate} \item Faites apparaître sur l'\'ecran de votre calculatrice graphique la courbe
 repr\'esentative de cette fonction dans la fenêtre $- 5 \leqslant x \leqslant
 4,~ -4 \leqslant y \leqslant 4$.

\noindent Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur votre copie.

\item D'apr\`es cette repr\'esentation graphique, que
pourrait-on conjecturer :

\begin{enumerate} \item Sur les variations de la fonction $f$ ?

\item Sur le nombre de solutions de l'\'equation $f (x) = 0$ ?

\end{enumerate}

\item On se propose maintenant d'\'etudier la fonction $f$.

\begin{enumerate} \item R\'esoudre dans $\R$ l'in\'equation $\text{e}^{2x}-
2,1\text{e}^{x} + 1,1 \geqslant 0$ (on pourra poser $X = \text{e}^{x}$).

\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\item D\'eduire de cette \'etude le nombre de  solutions de
l'\'equation $f(x) = 0$.

\end{enumerate}

\item On veut repr\'esenter, sur l'\'ecran d'une calculatrice, la courbe
repr\'esentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0,05~;~ 0,15]$, de façon à visualiser les r\'esultats de la question \textbf{3.}

\noindent Quelles valeurs extrêmes de l'ordonn\'ee $y$ peut-on choisir pour la fenêtre de
 la calculatrice ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoL}
n$^{\circ}$ 48-51-61 p 137 (limites) \\
n$^{\circ}$ 43 à 45 p 136 + 59-66-71-74 p 139 et après (limites et suites) + 40 p 136 (TVI + algo) + 56 p 138 (avec de la trigo)\\
n$^{\circ}$ 60-64 p 141 (étude de fonctions) 
\end{ExoL}

\newpage

\section{Type bac et plus}

\begin{ExoF}
 Six affirmations, r\'eparties en deux th\`emes et num\'erot\'ees de 1. a \`a 2. c sont propos\'ees 
 ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du num\'ero de l'affirmation, et avec le plus 
 grand soin, la mention VRAI ou FAUX.\\
Chaque r\'eponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque r\'eponse erron\'ee enl\`eve 0,1 point. 
Il n'est pas tenu compte de l'absence de r\'eponse. Un \'eventuel total n\'egatif est ramen\'e \`a $0$.
\begin{enumerate} 
\item  Pour tout r\'eel $x,~\text{e}^x$  d\'esigne l'image de $x$ par la fonction exponentielle.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 1. a	& Pour tous les r\'eels $a$ et $b  :  
\left(\text{e}^a\right)^b = \text{e}^{\left(a^b\right)}$.\\ \hline
Affirmation 1. b	 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Pour tous les r\'eels $a$ et $b  : 
\text{e}^{a - b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$.\\ \hline
Affirmation 1. c &La droite d'\'equation $y = x + 1$ est la tangente \`a la courbe 
repr\'esentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $f$ une fonction num\'erique d\'efinie sur un intervalle ouvert I et 
soit $a$ un \'el\'ement de I.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 2. a &	Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. b &	Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est d\'erivable en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. c	& Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors la fonction \\
&$h \mapsto \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie en $0$.\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}%Antilles Guyane Juin 2012 Parties A et B
 
On note $\R$ l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{x - 1} + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude de la fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
 
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$, et on note$f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = (x + 1)\text{e}^{x - 1}$. 
\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : recherche d'une tangente particulière}

\medskip
 
Soit $a$ un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$, qui passe par l'origine du repère.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On appelle T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$. Donner une équation de T$_{a}$. 
\item Démontrer qu'une tangente à $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $a$ strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si $a$ vérifie l'égalité 

\[1 - a^2\text{e}^{a-1} = 0.\]
 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Démontrer que $1$ est l'unique solution sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation 

\[1 - x^2\text{e}^{x-1} = 0.\]
 
\item Donner alors une équation de la tangente recherchée.
\end{enumerate}
 
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par :
\[ f(x) = \left(2x^3  - 4x^2\right) \text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 2x\left(- x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^{-x}$.
\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) repr\'esentative de $f$ dans un rep\`ere orthonormal \Oij (unit\'e graphique : 1 cm).
\end{enumerate}
% \item  Pour $n \in \N^{*}$, on pose
% \[ I_{n} =  \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]
% \begin{enumerate}
% \item  \`A l'aide d'une int\'egration par parties, calculer $I_{1}$.
% \item  On admet que, pour tout $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 2,~ $I_{n} = n I_{n-1} - \dfrac{1}{\text{e}}$.\\
% D\'eterminer $I_{2}$ et $I_{3}$.
% \item  Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprim\'ee en cm$^2$, du domaine d\'elimit\'e par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'\'equation $x =  0$ et $x = 1$. Calculer $\mathcal{A}$.
% \end{enumerate}
\item  Soit $u$ une fonction d\'efinie et d\'erivable sur $\R$.\\
On d\'efinit la fonction $v$ sur $]0~;~ +\infty[$ par $v(x) = u\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose que $u$ est croissante sur l'intervalle $[a~;~ b]$ (o\`u $0 < a < b$).\\
D\'eterminer le sens de variation de $v$ sur $\left[\dfrac{1}{b}~;~\dfrac{1}{a}\right]$.
\item  On d\'efinit maintenant la fonction $g$ par $g(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sur $]0~ ;~ +\infty[$, o\`u $f$ est la fonction d\'efinie dans la question 1.\\
D\'eterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$,
\item  D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variations de la fonction $g$ sur
l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}



%\begin{ExoF}
% On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par 

%\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

%\noindent On note ($\mathcal{C}$) sa courbe repr\'esentative dans le plan rapport\'e au rep\`ere 
%orthogonal \Oij, l'unit\'e graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonn\'ees.

%\vspace{0,25cm}

%\noindent \textbf{Partie A}\\
%Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.

%\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur 
%$\R$. En d\'eduire le signe de $g$.

%\item Justifier que pour tout $x,~ \left(\text{e}^x -x\right)$ est strictement positif.

%\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}

%\noindent \textbf{Partie B}

%\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de 
%la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

%\item Interpr\'eter graphiquement les r\'esultats pr\'ec\'edents.

%\end{enumerate}

%\item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x),~ f'$ d\'esignant la fonction d\'eriv\'ee de $f$.

%\item \'Etudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.

%\end{enumerate}

%\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer une \'equation de la tangente (T)  \`a la courbe ($\mathcal{C}$)  au point d'abscisse $0$.

%\item \`A l'aide de la \textbf{partie A}, \'etudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) 
%par rapport \`a la droite (T).

%\end{enumerate}

%\item Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe ($\mathcal{C}$).

%\end{enumerate}

%\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soient $f$  et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par
\[ f(x) = x\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad  g(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] 
On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère  \Oij. 

\medskip
 
La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} est donnée en annexe (à rendre avec la copie). 

\begin{enumerate}
\item  D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction $f$ et sa limite en $+\infty$ ? 
\item  Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration. 
\item  Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$. 
\item  Quelle semble être la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ?
 
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
\end{enumerate}

\begin{center}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(6,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-0.25)(6,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](3,0.2){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  \textbf{A - Restitution organisée de connaissances}
 
 \medskip
 
On suppose connu le résultat suivant : 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$.
Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$

\medskip

 \textbf{B - Étude d'une fonction}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$ f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$.
On note $(\mathcal{C})$  sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} du plan. On prendra $4$~cm pour unité graphique.

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.}

\medskip

Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.
\item  Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
 \textbf{C - Étude d'une famille de fonctions}
 
Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\R$ par : 
$f_{k}(x)  = (x +1)\text{e}^{kx}$.
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan.

On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} =f$ et $\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
		\item   Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
		
Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{k}$.
	\end{enumerate}
\item	Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$.

En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$.
\item	Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul.\\
	En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$. (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$.)


\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}\vspace{-6.5cm}
\hspace{6cm} \begin{flushright}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
\psplot[linecolor=green]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}
\psplot[linecolor=red]{-1.6}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div }
\psplot[]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}
\uput[l](-1.4,-1.6){$\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){$\mathcal{E}$}
\uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathcal{F}$}
\uput[r](0.5,2.5){$\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){$\mathcal{H}$}
\uput[l](0.3,2.9){$\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){$\mathcal{K}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{flushright} 
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item[4]	Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathcal{E},~ \mathcal{F},~ \mathcal{H},~$ et $\mathcal{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,~ -3,~ 1$ et $2$.\\
Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\begin{ExoF}
% On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par
%$ f(x) =  \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}$.

%\begin{enumerate}
%\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :}

%La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\R$ vérifiant 
%$\left\{\begin{array}{l c l }
%g'(x)&=& g(x)\\
%g(0)& =& 1
%\end{array}\right.$.

%Démontrer que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$.

% Pour tout $h \neq 0$,
% $\dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = \dfrac{\text{e}^{h} - \text{e}^{0}}{h}$ 

% On reconnait le taux de variation de la fonction exponentielle entre 0 et h, comme cette fonction est dérivable en 0, par définition du nombre dérivé, on a :
% \[ \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1 \]

%\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.

% Par inverse, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

% Pour tout $x \neq 0$, $\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = \dfrac{\text{e}^{x}}{x} - \dfrac{1}{x} $

% Par comparaison $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x} = +\infty$, donc par somme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = +\infty$

% Enfin, par inverse, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

%\end{enumerate}
%\end{ExoF}

%\begin{ExoF}
%  \noindent \textbf{Partie A : question de cours}
%\begin{enumerate}
%\item Soit $f$ une fonction r\'eelle d\'efinie sur $[a~;~+ \infty[$. Compl\'eter la phrase suivante :\\
%\og On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si \ldots \fg
%\item D\'emontrer le th\'eor\`eme \og des gendarmes \fg{}: soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre r\'eel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est \'egale \`a $\ell$.
%\end{enumerate}

%\medskip

%\textbf{Partie B}\\
%Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
%\[f(x) = \text{e}^x - x - 1\]
%et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'\'equation $y = - x - 1$ est asymptote \`a $(\mathcal{C})$. On a repr\'esent\'e sur la feuille annexe la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$.
%\begin{enumerate}
%\item Soit  $a$ un  nombre r\'eel.  \' Ecrire, en  fonction de  $a$, une
%      \'equation de la
% tangente $(T)$ \`a $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$.
%\item Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse
%      $b$. 
%V\'erifier que $b - a = - 1$.
%\item  En  d\'eduire une  construction,  \`a  effectuer  sur la  feuille
%      annexe, de la 
%tangente $(T)$ \`a $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $1,5$. On fera appara\^{\i}tre le point $N$ correspondant.
%\end{enumerate}

%\begin{center}
  
%\parpic[r]{
%\psset{unit=1.3cm}
%\begin{pspicture}(-4,-2)(3,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-4,-2)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-2)(3,3)
%\psplot{-4}{1.73}{2.71828 x exp x sub 1 sub}
%\psline(-4,3)(1,-2) \uput[dr](0,0){O}
%\uput[dr](1.1,1){$(\mathcal{C})$} \uput[r](0.5,-1.5){$(D)$}
%\end{pspicture}
%%}
%\end{center}

%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\noindent \textbf{Partie C}

%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer graphiquement le signe de $f$.
%\item En d\'eduire pour tout entier naturel non nul $n$ les in\'egalit\'es suivantes :
%\[(1) \quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}\qquad (2) \quad 
%\text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}\]
%\item En utilisant l'in\'egalit\'e (1), d\'emontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
%\[\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}\]
%\item En utilisant l'in\'egalit\'e (2), d\'emontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
%\[\text{e} \leqslant \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}\]
%\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes un encadrement de 
%$ \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$ 
%puis sa limite en $+ \infty$.
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soit $n$ un entier naturel.

On note $f_{n}$, la fonction d\'efinie sur l'ensemble $\R$ des nombres r\'eels par :
\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
On note  $\mathcal{C}_{n}$ la courbe  représentative de $f_{n}$  dans un
repère orthogonal \Oij.

 Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : 

\begin{center}

\psset{unit=6.5cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.1)(1.5,1.01333)
\multido{\d=-0.5+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\d,-0.1)(\d,1)}
\multido{\d=-0.1+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.5,\d)(1.5,\d)}
\uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$}  \uput[r](0,1){1}
\uput[d](-0.5,0.4){$\mathcal{C}_{0}$}\uput[d](-0.5,0.65){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](-0.4,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dashed]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées. 
\item Étude de la fonction $f_{0}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $f_{0}$. 
	\item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
	\item   Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
	
\item Étude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$. 
	\item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation. 
	\item Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
	
\item  Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
		\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\]

	\item  Étudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
	\item  Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organis\'ee de connaissances.}\\
L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
On supposera connus les r\'esultats suivants :
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]  la fonction exponentielle est d\'erivable sur $\mathbb{R}$ et est \'egale \`a sa fonction d\'eriv\'ee ;

\item[$\bullet$] $\mathrm{e}^{0} = 1$ ;

\item[$\bullet$]  pour tout r\'eel $x$, on a $\mathrm{e}^x > x$.

\item[$\bullet$] Soient deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ d\'efinies sur l'intervalle $[A~;~+\infty[$ o\`u $A$ est un r\'eel positif.\\
Si pour tout x de $[A~;~+\infty[$,  $\psi(x)\leqslant \varphi(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\psi(x)=+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)=+\infty$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$.


\item En d\'eduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
\end{enumerate}

\item On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) =\dfrac{1}{4}x\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$.\\
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthogonal \Oij.%\\
%La courbe $\mathcal{C}$ est repr\'esent\'ee en annexe.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est positive sur $[0~;~+\infty[$.

\item D\'eterminer la limite de $f$ en $+\infty$. En d\'eduire une cons\'equence graphique pour $\mathcal{C}$.

\item \'Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\item On consid\`ere la fonction $F$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x)==1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}-\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} $.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une fonction strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.


\item Calculer la limite de $F$ en $+\infty$ et dresser le tableau de variations de $F$ sur $[0~;~+\infty[$.


\item Justifier l'existence d'un unique r\'eel positif $\alpha$ tel que $F(\alpha) = 0,5$.\\
\`A l'aide de la calculatrice, d\'eterminer une valeur approch\'ee de $\alpha$ \`a 10$^{-2}$ pr\`es par exc\`es.
\end{enumerate}


% \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $A_{n}$ l'aire, en unit\'es d'aire, de la partie du plan situ\'ee entre l'axe des abscisses, la courbe de $f$ et les droites d'\'equations $x = 0$ et $x =n$.\\
% D\'eterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $A_{n}\geqslant  0,5$.
\end{enumerate}


\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=(2x+1)e^{-2x}$ et sa courbe représentative $(C)$ dans le
repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$.

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A - \'Etude de la fonction $f$}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item \begin{enumerate} 
  \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  Que peut-on en déduire pour $(C)$~? 
  \item Déterminer la limite de
  $f$ en $-\infty$. 
  \end{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et étudier le signe
de $f'$ sur $\R$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item \begin{enumerate} 
  \item Déterminer les coordonnées du point $A$
  d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses. 
  \item \'Etudier
  le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
  \end{enumerate} 
\end{enumerate}
\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B - \'Etude d'une tangente}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On rappelle que  $f''$ désigne la dérivée seconde de
$f$. 
  \begin{enumerate} 
  \item Montrer que, pour tout réel $x$,
  $f''(x)=4(2x-1)e^{-2x}$. \item Résoudre l'équation $f''(x)=0$.
  \end{enumerate} 
\item Soit $B$ le point d'abscisse 1/2 de la courbe $(C)$.
Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ en $B$. 
\item On veut étudier la position relative de $(C)$ et $(T)$~: pour cela
on considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par
$$g(x)=f(x)-\left(-\dfrac{2}{e}x+\dfrac{3}{e}\right)$$
\begin{enumerate} 
\item Déterminer $g'(x)$ et $g''(x)$. 
\item \'Etudier le signe de $g''(x)$ suivant les valeurs $x$. 
En déduire le sens de variation de $g'$ sur $\R$. 
\item Calculer $g'(1/2)$ et en
déduire le signe de $g'(x)$ puis le sens de variation de $g$ sur
$\R$. 
\item Calculer $g(1/2)$ et déterminer alors le signe de
$g(x)$ suivant les valeurs de $x$. Que peut-on en conclure sur la
position relative de $(C)$ et $(T)$~? 
\end{enumerate}
 \end{enumerate} (Bac
2001)

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\left\{\begin{array}{c}
\exp\left(\dfrac{x-1}{x^2}\right)\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0
\end{array}\right.
$
\begin{enumerate}
 \item Rappelez la définition d'une fonction continue en zéro.
\item Existe-t-il une valeur de $a$ telle que $f$ soit continue en zéro~?
\item Sachant que $\Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$, montrez que $\Lim{-\infty}xe^x=0$.
\item Rappelez la définition d'une fonction dérivable en zéro.
\item La fonction $f$ est-elle dérivable en zéro~?
\item Calculez $f'(x)$ pour tout $x\in\R^*$. La fonction $f'$ est-elle continue en zéro~?
\item Déterminez une fonction définie sur $\R$ de la forme $\begin{cases} f(x)=u(x)\exp\pa{v(x)}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0\end{cases}$ telle que $f$ soit continue en zéro mais pas dérivable en zéro. Vous expliquerez au maximum les raisons
qui vous ont conduit à chercher $u(x)$ et $v(x)$ sous une forme plutôt qu'une autre. toout raisonnement sera évalué même s'il n'aboutit
pas à une solution explicite.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On appelle cosinus hyperbolique la fonction définie sur $\R$ par
$$\cosh~:\ x\mapsto \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$$
sinus hyperbolique la fonction définie sur $\R$ par
$$\sinh~:\ x\mapsto \sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$$
et tangente hyperbolique la fonction définie par
$$\tanh~:\ x\mapsto\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$$

\begin{enumerate}

\item Déterminez les dérivées de ces fonctions en fonction de cosh
et sinh.
\item \'Etudiez ces fonctions pour montrer que cosh est à valeurs dans $[1,+\infty]$ et que tanh
est définie sur $\R$ et à valeurs dans $[-1,1]$.
\item Calculez $\tanh(x)$ en fonction de $e^x$ et $e^{-x}$, puis en fonction de $e^{2x}$, enfin en 
fonction de $e^{-2x}$.
\item Montrez que $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$.
\item Montrez que $\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)$ et que
$\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)$.
\item Déduisez-en que
$\tanh(x+y)=\dfrac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}$
\item On pose $t=\tanh(x/2)$. Montrez que $\cosh(x)=\dfrac{1+t^2}{1-t^2}$
puis que $\sinh(x)=\dfrac{2t}{1-t^2}$
\item Résolvez dans $\R$ l'équation $5\cosh(x)-4\sinh(x)=3$. Vous
donnerez une valeur approchée de la solution à $10^{-3}$ près.
\item Pour le plaisir : dérivez la fonction $x\mapsto
\dfrac{2\sin(x)\sinh(x)}{(\sinh(x)+\sin(x))^2}$
\item Soit $y\in\R$. Comparez $\sinh(y)$ et $y$.
\item Montrez que $\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)$ puis étudiez la fonction
$f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{\tanh(x)}{x}$$.

\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 %\parpic[r]{\includegraphics[height=4cm]{cable}}  
 L'équation   de   la
 hauteur $h$ par rapport au  sol d'un fil électrique suspendu entre deux
 poteaux       s'obtient       en       résolvant       l'\emph{équation
 différentielle} \[h''(x)=k \sqrt{1+\left(h'(x)\right)^2}\]
où $k$
 est un paramètre qui dépend de la densité et de la tension du fil et $x$
est mesuré en  mètres horizontalement à partir d'une  origine située sur
le sol en-dessous du point où la hauteur du fil est la plus faible.

\begin{enumerate}
\item  Vérifiez que  $h~:~x\mapsto  \frac{1}{k}\cosh(kx)$ satisfait  cette
      équation différentielle.
\item Quelle  est la hauteur  minimale du fil  si le paramètre  $k$ vaut
      $0,05$~?
\item Quelle  est la  hauteur des poteaux  (de même hauteur)  s'ils sont
      distants de 30~m et que le paramètre $k$ vaut 0,05~?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\pagebreak
\subsection{Application}

\subsubsection{Exercice 1}
\noindent \textbf{Partie A}

Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 

$$f(x) = \dfrac{3\text{e}^{\frac{x}{4}}}{2+ \text{e}^{\frac{x}{4}}}.$$

\begin{enumerate}\item[a.] D\'emontrer que $f(x) = \dfrac{3}{1 + 2\text{e}^{-\frac{x}{4}}}$.

\item[b.] \'Etudier les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

\item[c .] \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}\item On a \'etudi\'e en laboratoire l'\'evolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps $t$, est not\'ee $g(t)$. On d\'efinit ainsi une fonction $g$ de l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ dans $\R$. La variable r\'eelle $t$ d\'esigne le temps, exprim\'e en ann\'ees. L'unit\'e choisie pour $g(t)$ est la centaine d'individus. Le mod\`ele utilis\'e pour d\'ecrire cette \'evolution consiste  \`a prendre pour $g$ une solution, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, de l'\'equation diff\'erentielle 

\[(\text{E}_{1}): y' = \dfrac{y}{4}.\]

\begin{enumerate}\item R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle (E$_{1}$).

\item D\'eterminer l'expression de $g(t)$ lorsque,  \`a la date $t = 0$, la population comprend 100 rongeurs, c'est- \`a-dire $g(0) =1$.

\item Apr\`es combien d'ann\'ees la population d\'epassera-t-elle 300 rongeurs pour la premi\`ere fois ?

\end{enumerate}

\item En r\'ealit\'e, dans un secteur observ\'e d'une r\'egion donn\'ee, un pr\'edateur emp\^eche une telle croissance en tuant une certaine quantit\'e de rongeurs. On note $u(t)$ le nombre des rongeurs vivants au temps $t$ (exprim\'e en ann\'ees) dans cette r\'egion, et on admet que la fonction $u$, ainsi d\'efinie, satisfait aux conditions :

\[(\text{E}_{2}) \left\{\begin{array}{l c l}
 u'(t) &=&	 \dfrac{u(t)}{4} - \dfrac{[u(t)]^2}{12}~ \text{pour tout nombre r\'eel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\
u(0)& =&1.\\
 \end{array}\right.\]
 
 où $u'$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $u$.
 
\begin{enumerate}\item On suppose que, pour tout r\'eel positif $t$, on a $u(t) > 0$. On consid\`ere, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, la fonction $h$ d\'efinie par $h = \dfrac{1}{u}$. D\'emontrer que la fonction $u$ satisfait aux conditions (E$_{2}$) si et seulement si la fonction $h$ satisfait aux conditions

\[(\text{E}_{3}) \left\{\begin{array}{l c l}
 h'(t) &=&	 - \dfrac{1}{4}h(t)  + \dfrac{1}{12}~ \text{pour tout nombre r\'eel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\
h(0)& =&1.\\
 \end{array}\right.\] 
 
o $h'$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $h$.

\item Donner les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $y' = - \dfrac{1}{4}y	+ \dfrac{1}{12}$ et en d\'eduire l'expression de la fonction $h$, puis celle de la fonction $u$.

\item Dans ce mod\`ele, comment se comporte la taille de la population \'etudi\'ee lorsque $t$
tend vers $+ \infty$ ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2}
\begin{center} \begin{pspicture}(13.2,4.5)
\psline[linewidth=2pt](0,1.7)(12.2,1.7)
\psline(0.5,0)(0.5,2.2)
\psline{<->}(0.5,0.5)(6.4,0.5)
\psline{->}(6.4,3.4)(11.4,3.4)
\psline{->}(6.4,3.4)(6.4,0)
\psline(4.1,2.45)(3.5,2.45)(2.9,4.4)(9.9,4.4)(9.4,2.45)(8.7,2.45)
\psline(5.1,2.45)(7.7,2.45)
\pscircle(4.6,2.25){0.55}
\pscircle(8.2,2.25){0.55}
\uput[d](0,1.7){O} \uput[dl](6.4,1.7){H}
\uput[u](11.4,3.4){$\overrightarrow{\text{F}}$}
\uput[u](2.3,0.5){$x$}
\end{pspicture}\end{center} 

\noindent Un chariot de masse 200 kg se d\'eplace sur une voie rectiligne et horizontale. 
Il est soumis \`a une force d'entra\^{\i}nement constante 
$\overrightarrow{\text{F}}$ de valeur 50 N. Les forces de frottement sont 
proportionnelles ? la vitesse et de sens contraire ; le coefficient
 de proportionnalit\'e a pour valeur absolue 25 N.m$^{-1}$.s.

\noindent La position du chariot est rep\'er\'ee par la distance $x$, en m\`etres, du point H ? 
l'origine O du rep\`ere en fonction du temps $t$, exprim\'e en secondes. On 
prendra $t$ dans l'intervalle $[0 ~;~ + \infty[$. Les lois de Newton conduisent \`a
 l'\'equation diff\'erentielle du mouvement 

\[(\text{E}) \qquad  25x' + 200x'' = 50,~ \text{o\`u}\]

$x'$ est la d\'eriv\'ee de $x$ par rapport au temps $t$,

$x''$ est la d\'eriv\'ee seconde de $x$ par rapport au temps $t$.

\begin{enumerate} \item On note $v(t)$ la vitesse du chariot au temps $t$ ; on rappelle 
que $v(t) = x'(t)$.

\noindent Prouver que $x$ est solution de (E) si et seulement si $x'$ est solution de l'\'equation
diff\'erentielle (F)\quad $v' = - \cfrac{1}{8}v + \cfrac{1}{4}$.

\noindent R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle (F).

\item On suppose que, \`a l'instant $t = 0$, on a : $x(0) = 0$ et $x'(0) = 
0$.

\begin{enumerate} \item Calculer, pour tout nombre r\'eel $t$ positif, $x'(t)$.

\item En d\'eduire que l'on a, pour tout nombre r\'eel $t$ positif, $x(t) = 2t - 
16 + 16\text{e}^{-t/8}$.

\end{enumerate}

\item Calculer V = $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} v(t)$ . Pour quelles 
valeurs de $t$ la vitesse du chariot est-elle inf\'erieure ou \'egale à
$90\:\%$ de sa valeur limite V ?

\item Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 
secondes ? On exprimera cette distance en m\`etres, au d\'ecim\`etre pr\`es.

\end{enumerate}

\pagebreak
\subsubsection{Exercice 3 : problème se ramenant à une équation différentielle du type $y'=ay+b$}

\Rq{Proposé a la session de Juin $2010$ en métropole, nous ne pouvons pas encore traité la dernière question de cet exercice !}
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. 

\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E}) :\quad  y' + y = \text{e}^{-x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $u$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $u(x) = x\text{e}^{-x}$ est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item On considère l'équation différentielle (E$'$) :  $y' + y = 0$. Résoudre l'équation différentielle (E$'$). 
\item Soit $v$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Montrer que la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction $v - u$ est solution de l'équation différentielle (E$'$). 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle (E) telle que $g(0) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
\[f_{k}(x) = (x + k)\text{e}^{-x}\]

où $k$ est un nombre réel donné.
 
On note $\mathscr{C}_{k}$ la courbe reprsentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthogonal.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f_{k}$ admet un maximum en $x = 1- k$. 
\item On note $M_{k}$ le point de la courbe $\mathscr{C}_{k}$ d'abscisse $1- k$. Montrer que le point $M_{k}$ appartient  la courbe $\Gamma$ d'quation $y = \text{e}^{-x}$. 
\item Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l'unité sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$ ; 
\item[$\bullet~$] la courbe $\mathscr{C}_{k}$ d'qéuation $y = (x + k)\text{e}^{-x}$ pour un certain nombre réel $k$ donn\'e.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Identifier les courbes et les nommer sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie). 
		\item En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ correspondante ainsi que l'unité graphique sur chacun des axes. 
	\end{enumerate} 
\item A  l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{0}^2 (x + 2)\text{e}^{-x}\:\text{d}x$. Donner une interprtation graphique 
de cette intégrale. 
\end{enumerate}

\pagebreak
\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 (Métropole-Juin 2010)}

(\textbf{\`a rendre avec la copie})

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(5,5)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1.6}{5}{1 2.71828 x exp div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-2.25}{5}{x 2 add  2.71828 x exp div}
\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=-3+1}{8}{\psline(\n,0)(\n,-0.1)}
\multido{\n=-2+1}{7}{\psline(-0.1,\n)(0,\n)}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}