\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Continuit\'e et \linebreak[2]  d\'erivabilit\'e}	
\newcommand{\Cl}{TS}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macrodwicky.tex

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\setcounter{NumLecon}{5}

\ddwicky{12homme.eps}{12 hommes en colère}{Sydney Lumet}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Un adolescent est accusé du meurtre de son père. Comme il risque la peine capitale, la loi américaine exige l'unanimité du jury pour que cette sentence soit prononcée. Au premier tour de délibération, un seul juré sur douze vote "non coupable". Cet homme, un architecte symboliquement vêtu de blanc, est un juste. Par son éloquence et la rigueur de sa démonstration, il va persuader chacun des autres jurés, l'un après l'autre, que l'accusation présente des failles et qu'on ne peut que déclarer l'accusé innocent.
\\
Pour son premier film, adapté d'une dramatique télévisuelle de Reginald Rose, Sidney Lumet réussit magistralement à éviter la pesanteur du "théâtre filmé". Tout au contraire, le suspense se maintient de bout en bout, et l'action ne cesse de rebondir. L'architecte, brillamment interprété par Henry Fonda, doit convaincre les onze jurés l'un après l'autre. Ce système des "dix petits nègres" permet une montée en puissance de l'action, une fois déclenché le compte à rebours de l'innocence. La partie s'avère difficile, puisque Fonda est seul pour disculper l'accusé. Mais, grâce à la mise en scène de Sidney Lumet, à ses mouvements de caméra, à la virtuosité des dialogues et à la diversité des types humains réunis dans le jury, le suspense devient exaltant.
}{0.4}{0.5}{
\item Maîtriser le théorème des valeurs intermédiaires.
\item Etudier le signe d'une expression.
\item Etudier une fonction (dérivée, tableau de signe, courbe, etc...).
}
\setcounter{NumLecon}{5}

\TITRE{continuite.eps}{0.75}

\begin{abstract}
Les notions de continuité et de dérivabilité, et par suite d'intégration sont apparus tardivement dans l'histoire des mathématiques ($XVII^\text{ème}$ siècle) et ont permis de résoudre de nombreux problèmes auxquels les méthodes classiques n'offraient pas de solution générale comme le calcul de la vitesse instantanée, la recherche de trajectoire d'un objet en mouvement, le calcul de la longueur de la trajectoire d'une planète, le calcul de l'aire limitée par des courbes, $\dots$. Ce n'est qu'au siècle dernier que les mathématiciens ont travaillé avec rigueur en utilisant ces nouveaux objets, en effet ils se sont longtemps contentés d'utiliser des définitions intuitives.
\end{abstract}




\begin{center}
\textit{Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur $\R$ ou sur une partie de $\R$ et à valeurs dans $\R$. Les intervalles considérées sont non vides et non réduit à un réel.}
\end{center}

\section{Continuité d'une fonction}
\subsection{Fonction continue en un point}
\subsubsection{Définition}

 On sait déjà calculer l'aire de polygone, mais qu'en est-il de figure dont les côtés ne sont pas des segments ? 

\begin{exoi}
On cherche l'aire $\mathscr A$ de la figure  délimitée, sur l'intervalle $[0;1]$, par les courbes des fonctions $f:x\longmapsto x^2$ et $g:x\longmapsto \sqrt{x}$.
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{forme1.eps}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in [0;1]$ on a $$ 0\leq x^2\leq x\leq 1$$
puis que $$ 0\leq x\leq \sqrt{x}\leq 1$$
En déduire que :
$$ 0\leq x^2\leq \sqrt{x}\leq 1 $$
\item Montrer que $0\leq\mathscr A\leq 1$. 
\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item[3 (a)] Expliquer l'algorithme suivant et en déduire $\mathscr A$ :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{montecarlo.eps}
\end{center}
\item[3 (b)] Que doit-on modifier dans l'algorithme précédent si l'on souhaite déterminer l'aire $\mathscr B$ de la figure délimitée, sur l'intervalle $[0;1]$, par les courbes des fonctions $f:x\longmapsto x^4$ et $g:x\longmapsto \sqrt{x}$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


Nous apprendrons à déterminer l'aire de tel solide, obtenue à partir de fonction continue et dérivable sans recours aux probabilités.\\
Pour cela on s'assurera d'une part que la figure est obtenue à l'aide de fonctions continues (c'est-à-dire que la figure est fermée) et d'autre part on déterminera la valeur de la pente à tout point de la bordure du solide (c'est-à-dire on déterminera la dérivée).\\
Avant de pouvoir calculer de telles aires, définissons la continuité...


\begin{defi}Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction définie au moins sur $I$, $a$ un réel de $I$.\\
On dit que $f$ est continue en $a$ lorsque : $ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)$ 
\end{defi}

\textit{Illustration }:\\
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{nivaud2.5}
\end{center}
On peut tracer la courbe de $f$ sans lever le crayon. Elle ne présente pas de \og saut \fg, $f$ est continue en tout point.
\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.6}
\end{center}
On ne peut pas tracer $\mathscr C_f$ sans lever le crayon, $f$ présente une discontinuité en un point ; on dit qu'elle est discontinue en ce point.
\end{multicols}

\Rq{La condition $ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)$ peut aussi s'écrire $ \lim\limits_{h \to 0} f(a+h)=f(a)$}

\subsubsection{Un contre-exemple : la fonction partie entière}
Notons $E$ la fonction qui à un réel $x$ associe sa partie entière :
$$ E(x)=\text{le plus grand entier inférieur ou égal à } x$$
Autrement dit, $E(x)$ est l'unique entier tel que : $$ E(x)\leq x<E(x)+1$$
Par exemple $E(\pi)=3$, $E(-\pi)=-4$\footnote{On remarquera que la fonction partie entière des mathématiciens n'est pas impaire contrairement à celle des informaticiens qui considère que $E(-\pi)=-3$}\\
Ci-dessous nous avons tracé $\mathscr C_E$. 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.6,-3.6)(4.1,3.6)
\def\xmin{-3.5} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.6,-3.6)(4.1,3.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\F}
\def\G{1}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{2}{\G}
\def\H{2}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{2}{3}{\H}
\def\I{3}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{3}{4}{\I}
\def\J{0 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{0}{\J}
\def\K{0 2 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{-1}{\K}
\def\L{0 3 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-2}{\L}
\psdot(0,0)\psdot(1,1)\psdot(2,2)\psdot(3,3)\psdot(-1,-1)\psdot(-2,-2)\psdot(-3,-3)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Cette fonction admet des discontinuités en tout entier, en effet on a :
$$ \lim\limits_{x \to 2^+} E(x)=2\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x \to 2^-} E(x)=1$$
Les limites à droite et à gauche étant différente, la fonction partie entière n'admet pas de limite en $2$, elle est donc discontinue en $2$.

\subsubsection{Autre cas de fonction non continue}
\begin{multicols}{2}
Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0 \text{ si }x=0 \\ \dfrac{1}{x} \text{ si } x\neq 0  \end{array} \right.$$
La fonction $f$ n'est pas continue en $0$, en effet :$$f(0)=0\quad \lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=-\infty$$
Autrement dit $f$ n'admet pas de limite en $0$.
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-0.0001}{\F}
\def\G{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.000001}{3}{\G}
\def\H{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{0}{\H}
\psdot[linecolor=blue](0,0) 
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
\Att{Il ne faut pas confondre cette fonction avec la fonction inverse qui est continue en tout point de son ensemble de définition !}

\Rq{On dit souvent qu'une fonction continue est représentée par un trait continu (obtenu sans relâcher le crayon). Il faut rester méfiant par rapport à cette interprétation, car il existe en mathématiques des fonctions \og monstres \fg{} comme :
\begin{multicols}{2}
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x \text{ si }x\in\Q \\ 0 \text{ sinon } \end{array} \right.$$
En apparence on pourrait croire que cette courbe se trace sans lever le crayon et pourtant la fonction présente une infinité de discontinuité.
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{3}{\G}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{multicols}}

\subsection{Fonction continue sur un intervalle}
\subsubsection{Définition}
\begin{defi}Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$\\
La fonction $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en $a$, pour tout $a\in I$\end{defi}

\Expl{La fonction $f:x\longmapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\R^+$. Démontrer cette propriété est assez ardu, car la définition de la continuité et donc de celle des limites n'est pas d'un usage aisé. Nous admettrons donc la continuité de nombreuses fonctions usuelles.}

\subsubsection{Continuité des fonctions usuelles}
\begin{theo}\hfill \textbf{Admis\\}
Les fonctions polynômes, la fonction racine carrée, la fonction valeur absolue, les fonctions sin et cos  sont continues la où elles sont définies
\end{theo}
\begin{theo}\hfill \textbf{Admis\\}
Soit $f$, $g$ deux fonctions continue sur un intervalle $I$ et $\lambda$ un réel. Alors :
\begin{itemize}
\item $f+g$ est une fonction continue sur $I$
\item $fg$ est une fonction continue sur $I$
\item $\lambda f$ est une fonction continue sur $I$
\item Si de plus $g$ est une fonction non nulle sur $I$, $ \dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$
\item Si $g$ est continue sur un intervalle contenant $f(I)$ alors $f\circ g$ est continue sur $I$
\end{itemize}
\end{theo}
\begin{coro}Toutes fonctions rationnelles à coefficients réels est continue sur son ensemble de définition.\end{coro}


\Expl{
\begin{itemize}
 \item On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=1+x-2x^2$. Etudier la continuité des fonctions suivantes :
$$f:x\mapsto |u(x)| \, , \quad g:x\mapsto \dfrac{1}{u(x)} \, \textrm{ et } \quad h:x\mapsto \sqrt{u(x)}$$
\item Soit $A$ un réel fixé et $f$ la fonction  définie sur $\R$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                                                                      \dfrac{\sin(x)}{x} & \textrm{ si } x \neq 0 \\ A & \textrm{ sinon.} 
                                                                     \end{array}\right.$
%\begin{multicols}{2}
% En observant la représentation graphique de $f$ ci-contre, on peut conjecturer que $A$ doit valeur $1$ pour que 
%$f$ soit continue sur $\R$.\\
%\textit{On dit que l'on a prolongé $f$ par continuité en $0$.\\
%Pour l'instant, nous ne pouvons faire qu'une conjecture, mais nous pourrons bientôt démontrer ce résultat.}
%\begin{center}
% \includegraphics[scale=0.8]{sin.eps}
%\end{center}
%\end{multicols}
  \end{itemize}
}


\begin{exoi}On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$ f(x)=\dfrac{\sqrt{x^4+2x^2+1}}{x^2+1}$$
Démontrer que $f$ est continue sur $\R$\end{exoi}


%\subsection{Quelques contre-exemples}
%
%\subsubsection*{Des limites à  droite et à  gauche réelles mais différentes}
%C'est le cas de la fonction partie entière ou encore de la fonction 
%$f$ définie sur $[0;2]$ par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
%                                               \cos(x) & \text{si } x \in[0;1] \\ \cos(x-1) & \text{si } x\in]1;2]
%                                              \end{array}\right.$$
%On sait déjà  que $f$ est continue sur  $[0;1[$ et sur $]1;2]$ comme composée de fonction continue.\\
%De plus, on a $\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \cos(0)=1$ et $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \cos(1) \neq 1$.\\
%Ainsi, $f$ n'admet pas de limite en $1$ : elle est discontinue en $1$ donc sur $[0;2]$.
%
%\begin{center}
% \includegraphics[]{cos.eps}
%\end{center}
%
%\subsubsection*{Des limites à  droite et à  gauche infinies}
%\begin{multicols}{2}
%On a déjà  traité un exemple de ce type avec la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
%$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0 \text{ si }x=0 \\ \dfrac{1}{x} \text{ si } x\neq 0  \end{array} \right.$$
%La fonction $f$ n'est pas continue en $0$.\\
%\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
%\begin{pspicture*}(-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
%\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\def\F{1 x div}
%\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-0.0001}{\F}
%\def\G{1 x div}
%\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.000001}{3}{\G}
%\def\H{0}
%\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{0}{\H}
%\psdot[linecolor=blue](0,0) 
%\endpsclip
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
%\end{pspicture*}
%\end{multicols}
%\Att{Il ne faut pas confondre cette fonction avec la fonction inverse qui est continue en tout point 
%de son ensemble de définition !}
%
%
%\subsubsection*{Des limites à  droite et à  gauche réelles, égales mais différentes de la valeur de la fonction}
%\begin{multicols}{2}
%Modifions légèrement un exemple déjà  traité. \\
%Soit $f$ la fonction  définie sur $\R$ par : $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
%                                                                      \dfrac{\sin(x)}{x} & \textrm{ si } x \neq 0 \\ 0 & \textrm{ sinon.} 
%                                                                      \end{array}\right.$$
%On peut montrer que 
%$$ \lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=1\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x \to 0^-} =1
%\quad \text{Mais} f(0)=0$$ 
%Donc cette fonction n'est pas continue en $0$.
%\begin{center}
% \includegraphics[scale=0.9]{sin.eps}
%\end{center}
%\end{multicols}
%
%
%
%\subsubsection*{Les limites à  droite et à  gauche n'existent pas}
%\begin{multicols}{2}
%Il faut avouer que dans la pratique, presque toutes les fonctions admettent une limite à  droite et à  gauche. 
%Mais il est intéressant d'avoir vu quelques contre-exemple dans sa vie.\\
%Soit $f$ la fonction  définie sur $\R$ par : $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
%                                                                      \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) & \textrm{ si } x \neq 0 \\ 0 & \textrm{ sinon.} 
%                                                                      \end{array}\right.$$
%Il n'existe pas de limite à  droite et à  gauche de $0$ pour la fonction $f$. Par contre $f(0)=0$.
%
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.9]{cos_inverse.eps}
%\end{center}
%\end{multicols}


\subsubsection{Limite d'une suite et d'une fonction continue}
\begin{theo}Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.\\
Soit $(u_n)$ une suite de réels de $I$ qui converge vers $\ell\in I$.\\
Alors la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(l)$, autrement dit : 
$$  \lim\limits_{
n \to +\infty} f(u_n)=f(l)$$\end{theo}

\Dem{Comme $f$ est continue en $\ell$, on a : $$ \lim\limits_{x \to \ell} f(x)=f(l)$$
Considérons un intervalle ouvert $J$ centré autour de $f(l)$, il existe un intervalle ouvert $L$ centré autour de $\ell$ tel que $f(x)\in J$ pour tout $x\in L$\\
Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, à partir d'un certain rang $n_0$ on aura $u_n \in L$ et donc $f(u_n)\in J$}



\begin{exoi}On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par : $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$$\end{exoi}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](3,5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,3){\small $u_1$}
\uput[-90](3,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,4.1231){\small $u_2$}
\uput[-90](4.1231,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,4.63599){\small $u_3$}
\uput[-90](4.63599,0){\small $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $5$.
\item En déduire que $(u_n)$ converge. On note $\ell$ sa limite.
\item Montrer que $f(\ell)=\ell$, puis déterminer $\ell$.
\end{enumerate}



\subsection{Applications : Théorème des valeurs intermédiaires}
\subsubsection{TVI}
\begin{theo}\hfill \textbf{valeurs intermédiaires}\\
Soit $I$ un intervalle, $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$.\\
Soit $f$ une fonction continue sur $I$, soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors :\\
il existe au moins un réel $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$\end{theo}

\textit{Illustration }:
\begin{multicols}{2}
Cas d'une fonction non monotone :
\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.1}
\end{center}
Cas d'une fonction monotone :
\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.2}
\end{center}
\end{multicols}

\Dem{Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a;b]$ et $k$ un nombre réel tel que $f(a)\leq k\leq f(b)$ (le cas $f(b)\leq k\leq f(a)$ se traite exactement de la même manière).\\
On construit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que :
\begin{itemize}
\item $a_0=a$ et $b_0=b$
\item Si $f\left(\dfrac{1}{2}(a_0+b_0)\right)\leq k$, on prend $a_1=\dfrac{1}{2}(a_0+b_0)$ et $b_1=b_0$\\
sinon, on prend $a_1=a_0$ et $b_1=\dfrac{1}{2}(a_0+b_0)$.
\item On réitère le même processus pour construire tous les termes de la suite i.e si $f\left(\dfrac{1}{2}(a_n+b_n)\right)\leq k$ on prend $a_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n+b_n)$ et $b_{n+1}=b_n$, sinon on prend $a_{n+1}=a_n$ et $b_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n+b_n)$
\end{itemize} 
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 0$, $$b_n-a_n=\dfrac{1}{2^n}(b_0-a_0)$$
\item Montrer que la suite $(a_n)$ est croissante, puis que la suite $(b_n)$ est décroissante.\\
En déduire que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes.
\item On note $\ell$ la limite commune des suites $(a_n)$ et $(b_n)$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $n\in \N$, $$ f(a_n)\leq k\leq f(b_n)$$
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Rqs{\item L'hypothèse de continuité est essentielle, essayer d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour la fonction partie entière avec $a=0$, $b=1$ et $k=\dfrac{1}{2}$ ! 
\item Le TVI permet d'affirmer l'existence de solution(s) mais ne permet pas de les trouver !
En général, on en cherche une approximation par balayage à la calculatrice ou par dichotomie}

\begin{exoi}Démontrer que l'équation $2\cos x=x-1$ admet un moins une solution dans $\R$
\end{exoi}


\Applic{Toute fonction polynôme $P$ de degré impair admet au moins une racine réelle.}

\Dem{Dans le cas où le coefficient devant le monôme de plus haut degré est positif (l'autre cas est identique) on a :
$$  \lim\limits_{x \to -\infty} P(x)=-\infty$$
donc il existe $a\in\R^-$ tel que $P(x)<0$, $\forall x\leq a$ et 
$$ \lim\limits_{x \to +\infty} P(x)=+\infty $$
donc il existe $b\in\R^+$ tel que $P(x)>0$, $\forall x\geq b$\\
$P$ est une fonction polynôme donc $P$ est continue sur $[a;b]$ avec $P(a)<0$ et $P(b)>0$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe $c\in\R$ tel que $P(c)=0$}

\subsubsection{Théorème du point fixe}

\begin{defi}Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, on note $f(I)$ l'ensemble de toutes les images des réels appartenant à $I$\end{defi}

\Expl{L'image de $[-1;2]$ par la fonction carré est l'intervalle $[0;4]$}

\begin{theo}\hfill \textbf{Point Fixe}\\
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I=[a;b]$.\\
Si $f(I)\subset I$ alors $f$ admet au moins un point fixe i.e il existe $x\in I$ tel que $f(x)=x$
\end{theo}
\Dem{Considérons la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x)=f(x)-x$.\\
Montrons que $0\in g(I)$. On a $g(a)=f(a)-a\in g(I)$ et $g(b)=f(b)-b\in g(I)$.\\
Comme $f(I)\subset I$ alors $f(a)\geq a$ et $f(b)\leq b$ i.e $g(a)\geq 0$ et $g(b)\leq 0$, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiares il existe $c\in I$ tel que $g(c)=0\Longleftrightarrow f(c)=c$ }

\begin{coro}Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, alors $f(I)$ est un intervalle.\end{coro}
\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.11}
\end{center}
\Dem{Soit $y_1$ et $y_2$ dans $f(I)$ tel que $y_1\leq y_2$.\\
Il s'agit de montrer que tout réel $k$ compris entre $y_1$ et $y_2$ est dans $f(I)$. Soit $k$ un tel réel.\\
Comme $y_1$ et $y_2$ sont dans $f(I)$, il existe $a$ et $b$ tels que $f(a)=y_1$ et $f(b)=y_2$.\\
Comme $I$ est un intervalle on a  $[a;b]\subset I$ et $f$ est donc continue sur $[a;b]$, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe $c\in I$ tel que $f(c)=k$. Par conséquent $k\in f(I)$ et donc $f(I)$ est un intervalle.}

\Cexpl{L'image de l'intervalle $[-1;2]$ par la fonction partie entière est l'ensemble $\{-1;0;1;2\}$ et cet ensemble n'est pas un intervalle.}

\Expl{L'image de l'intervalle $[-5;2]$ par la fonction carré est l'intervalle $[0;25]$. Le résultat précédent nous assure qu'il s'agit bien d'un intervalle.}
\newpage
\subsubsection{TVI pour une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle}

\begin{theo}\hfill  \textbf{Bijection}\\
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Soit $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$.\\
Soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors :\\
il existe un unique $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$\end{theo}

\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.2}
\end{center}

\Rq{En ajoutant l'hypothèse de la monotonie, on récupère l'unicité de l'antécédent de $k$.}

\Dem{\begin{itemize}
\item L'existence est assuré par le théorème des valeurs intermédiaires.
\item L'unicité découle donc de la stricte monotonie de la fonction $f$. On sait qu'il un réel $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$.\\
Considérons le cas où $f$ est une fonction strictement croissante sur $[a;b]$, alors pour tout $x<c$ on a $f(x)<f(c)$ et pour tout $x>c$ on a $f(x)>f(c)=k$, autrement dit pour tout $x\neq c$ de l'intervalle $[a;b]$ on a $f(x)\neq f(c)$, par conséquent $c$ est unique.
\end{itemize}}

\begin{exoi}Démontrer que l'équation $ \sqrt{x}=\dfrac{5}{x-2}$ admet une unique solution réelle $\alpha$ ; puis encadrer $\alpha$ entre deux entiers consécutifs \end{exoi}


\begin{exoi}Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-3x^2$, dénombrer les solutions des équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-1$
\item $f(x)=-5$
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $$ g(x)=(1+x)^3+x$$ Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-1;0]$ à $10^{-1}$ près \end{exoi}

\subsection{Applications : Notion de fonctions réciproques}
Si $f$ est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle $I$. Notons $J=f(I)$, $J$ est encore un intervalle et de plus pour tout $y\in J$ il existe un unique $x\in I$ tel que $$ f(x)=y$$
On peut alors définir une nouvelle fonction $g$ de $J$ dans $I$ définie par $g(y)=x$. La situation peut-être schématisée comme suit :

\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.3}
\end{center}

Il est alors clair que pour tout $x\in I$, $g(f(x))=x$, autrement dit $g\circ f=Id_I$ et pour tout $y\in J$, $f(g(y))=y $ i.e $f \circ g=Id_J$.

\begin{defi}On dit que la fonction $g$ est la fonction réciproque de la fonction $f$. Dans ces conditions on a aussi $f$ est la fonction réciproque de $g$.\end{defi}

\textit{\textbf{Représentation graphique}} : 

\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.4}
\end{center}

\begin{exoi}\begin{enumerate}
\item Exhibez une fonction de référence, continue et strictement monotone sur un intervalle que vous déterminerez et déterminer sa fonction réciproque.
\item Exhibez une fonction de référence, continue et non monotone sur un intervalle que vous déterminerez.
\item Démontrer que dans un repère orthonormé$(O;\vec i, \vec j)$, les courbes de $f$ et de sa fonction réciproque $g$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère 
\end{enumerate}
\end{exoi}


\section{Dérivabilité}

\subsection{Rappel : nombre dérivée et équation de la tangente}

\begin{defi}
%Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en $a\in\R$, noté $f'(a)$, est la limite du taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
%lorsque $h$ tend vers $0$, si elle existe (ie s'il s'agit d'un nombre réel).
Rappelons simplement qu'une fonction $f$ est \textbf{dérivable en un réel }$a$ si 
%On dit que $f$ est\textbf{ dérivable en $a\in\R$} si
le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un réel lorsque $h$ tend vers $0$.\\
Dans ce cas, cette limite est appelée \textbf{nombre dérivé de $f$ en $a$}, et est notée $f'(a)$ :
$$f'(a)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} $$
Une fonction $f$ est \textbf{dérivable sur un intervalle $I$} lorsqu'elle est dérivable en tout $a\in I$.\\
Dans ce cas, on appelle \textbf{fonction dérivée} de $f$, notée $f'$, la fonction qui à  tout $x \in I$ associe 
le nombre $f'(x)$.
 \end{defi}

\Rq{En Première, on vous a introduit le nombre dérivé d'une fonction $f$ en $a$ comme le coefficient directeur de
la tangente à  la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $A$. Rappelons alors la propriété suivante.} 

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{nivauder.2}
\end{center}

 
\begin{prop}
Soit $f$ une fonction, de courbe  représentative $\mathscr C_f$, dérivable en $a\in\R$ et $A$ le point d'abscisse $a$ de $\mathscr C_f$. \\
L'équation réduite de la tangente à  $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $a$ est : 
$$y=f'(a)(x-a)+f(a) $$
\end{prop}

\Dem{
L'équation réduite de la tangente $T_a$ à  $\mathscr C_f$ passant par $A$ est de la forme : 
$$ y=mx+p\qquad \text{ avec }m=f'(a)$$
De plus, comme $A(a;f(a))$ est un point de $T_a$, les coordonnées de $A$ vérifient l'équation de $T_a$ :
$$ f(a)=f'(a)a+p\Longleftrightarrow p=f(a)-f'(a)a$$
Au final l'équation de $T_a$ est $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a\Longleftrightarrow y=f'(a)(x-a)+f(a)$
}

\begin{exoi}
On donne $$ f(x)=-x^2+3\qquad \text{et} \qquad a=2$$
Donner l'équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $2$.\\
Représenter graphiquement $\mathscr C_f$ et sa tangente.
\end{exoi}


\subsection{Lien entre continuité et  dérivabilité}

\begin{prop}
Une fonction dérivable en $a$ est continue en $a$.\\
Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
\end{prop}

\Dem{Si $f$ est dérivable en $a$ alors :
 $$ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =f'(a)$$
 Autrement dit pour $h$ proche de $0$, il existe une fonction $\epsilon$ tel que :
 $$ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)+\epsilon(h) \qquad \text{avec } \lim\limits_{h\to 0} \epsilon(h)=0$$
 c'est-à-dire :
 $$ f(a+h)-f(a)=hf'(a)+h\epsilon(h) \qquad \text{avec } \lim\limits_{h\to 0} \epsilon(h)=0$$
 c'est-à-dire :
 $$ f(a+h) = f(a)+hf'(a)+h\epsilon(h) \qquad \text{avec } \lim\limits_{h\to 0} \epsilon(h)=0$$
 On obtient alors :
 $$ \lim\limits_{h\to 0} f(a+h)=f(a)$$
 ce qui signifie que $f$ est continue en $a$.}
 
 La réciproque de ce résultat n'est pas vraie, il existe des fonctions continue en $a$ mais non dérivable en $a$. C'est le cas de la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ ou encore de la fonction $x\mapsto |x|$ qui sont toutes deux continues en $0$ mais non dérivable en $0$.
 
 \begin{exoi}
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que pour $h\neq 0$ on a :
 $$ \dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$$
 \item Déterminer la limite lorsque $h\to 0^+$ de :
 $$ \dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h-0}$$
 \item En déduire que la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$.
 \end{enumerate}
 \end{exoi}
 
 \begin{exoi}
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que pour $h>0$ on a :
 $$ \dfrac{|h|-|0|}{h-0}=1$$
 \item En déduire la limite, à droite de $0$, du taux d'accroissement de la fonction valeur absolue.
 \item Montrer que pour $h<0$ on a :
  $$ \dfrac{|h|-|0|}{h-0}=-1$$
\item En déduire la limite, à gauche de $0$, du taux d'accroissement de la fonction valeur absolue.
\item En déduire que la fonction $x\mapsto |x|$ n'est pas dérivable en $0$.
 \end{enumerate}
 \end{exoi}
 
 \subsection{Dérivée de $f\circ u$}
 
 \begin{theo}
 Soit $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $I$ et $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ à valeurs dans $I$ alors $f\circ u$ est dérivable sur l'intervalle $J$ et pour $x\in J$ on a :
 $$ \left(f\circ u\right)'(x)=f'(u(x))\times u'(x)$$
 \end{theo}
 
 Admettons ce théorème.
 
 \begin{coro}
 \begin{enumerate}
 \item  On considère une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$ telle que $u(x)>0$ pour tout $x\in I$ alors la fonction $g:x\mapsto \sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée vaut :
 $$ g'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$
 \item Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors la fonction $g:x\mapsto \left(u(x)\right)^n$ où $n\in \N$ est :
 \begin{itemize}
 \item dérivable sur $I$ si $n\in \N$.
 \item dérivable sur tout intervalle $J$ inclus dans $I$ où $u$ ne s'annule pas si $n<0$.
 \end{itemize}
 De plus on a, lorsque $g$ est dérivable :
 $$ g'(x)=n\times u'(x)\times \left(u(x)\right)^{n-1}$$
 \item Soit $g$ une fonction dérivable sur $I$ alors la fonction $f:x\mapsto g(ax+b)$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ on a :
 $$ f'(x)=ag'(ax+b)$$
 \end{enumerate}
 \end{coro}
 
 \Dem{\begin{itemize}
 \item On applique le théorème précédent avec $f(x)=\sqrt{x}$, pour une fonction $u$ à valeurs strictement positive. En effet on sait que la fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$ et :
  $$ \left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$
auquel cas on a :
 $$ g(x)=f\circ u(x)=\sqrt{u(x)}$$
 Par conséquent $$ g'(x)=f'(u(x))\times u'(x)$$
 ce qui donne :
 $$ g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{u(x)}}\times u'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$
 \item On applique le théorème précédent avec $f(x)=x^n$ où $n\in \Z$. Une telle fonction est dérivable sur $\R$ si $n\in \N$ et sur $\R^*$ si $n<0$ et sa dérivée vaut :
 $$ \left(x^n\right)'=nx^{n-1}$$
 On constate que $g=f\circ u$, ainsi, lorsque $g$ est dérivable on a :
 $$ g'(x)=f'(u(x))\times u'(x)=n u(x)^{n-1}\times u'(x)$$
 \item On applique encore le théorème précédent avec $u(x)=ax+b$. Dans ce cas on a bien $g(x)=f\circ u(x)=f(ax+b)$ et donc :
 $$ g'(x)=f'(ax+b)\times u'(x)=af'(ax+b)$$
 \end{itemize}}
 
 \begin{exoi}
 \begin{enumerate}
 \item On considère la fonction $f$ définie sur $\left]-\infty; \dfrac{2}{3}\right]$ par $f(x)=\sqrt{-3x+2}$.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $f$ est dérivable sur $ \left]-\infty; \dfrac{2}{3}\right[$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in  \left]-\infty; \dfrac{2}{3}\right[$
 \item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
 \end{enumerate}
 \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
 $$ g(x)=\left(-3x+2\right)^5$$
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $g$ est dérivable sur $\R$ et calculer $g'(x)$ pour $x\in \R$.
 \item En déduire son tableau de variation.
 \end{enumerate}
 \item On considère la fonction $h$ définie sur $\R\textbackslash \left\{\dfrac{5}{3}\right\}$ par $h(x)=\dfrac{1}{3x-5}$
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $h$ est dérivable sur $\R\textbackslash \left\{\dfrac{5}{3}\right\}$ et calculer $h'(x)$ pour $x\neq \dfrac{5}{3}$.
 \item En déduire le tableau de variation de $h$.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{exoi}
 \pagebreak
 \begin{exoi}
 \begin{enumerate}
 \item   Déterminer l'ensemble de dérivabilité et l'expression de la fonction dérivée de la fonction $f$ définie par :
 $$ f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$$
 \item En déduire le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
 \end{exoi}
 
 \begin{exoi}
 On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x}}$.
 \begin{enumerate}
 \item Donner les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$ ; préciser les éventuelles asymptotes.
 \item Déterminer l'ensemble de dérivabilité de $f$ et l'expression de la fonciton dérivée de $f$.
 \item En déduire le tableau de variations de $f$.
 \end{enumerate}
 \end{exoi}
 
 
 \subsection{Tableau récapitulatif des dérivées}
 
 Nous pouvons compléter la liste des dérivées à connaître :
 
 \begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|}
   \hline 
\multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{6ex}\textbf{\begin{LARGE}
Opération sur les dérivées
\end{LARGE}} } \tabularnewline
\multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{5ex}\textbf{lorsque $u$, $v$ et $f$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$} } \tabularnewline
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{7ex}\textbf{Fonction} } & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Dérivée}} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Conditions} } \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}  $u+v$  & $u'+v'$ & \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$ku$ ($k$ constante) & $ku'$ & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u v$  & $u'v+uv'$ & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ \dfrac{1}{v} $ & $-\dfrac{v'}{v^2}$ & $v \neq 0$ sur $I$\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ \dfrac{u}{v} $ &  $ \dfrac{u'v-uv'}{v^2} $ &  $v \neq 0$ sur $I$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u^n$ $\quad n\in \Z$ & $nu'u^{n-1}$ & $u\neq 0$ sur $I$ si $n\leq 0$ \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{8ex}$\sqrt{u}$  & $ \dfrac{u'}{2 \sqrt{u} } $ & $u>0$ sur $I$ \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(ax+b)$ & $af'(ax+b)$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f\circ u$ & $f'(u)\times u'$ &  \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \end{center}

\newpage
\section{Etude des fonctions trigonométriques de référence} 
 \subsection{Variations et propriétés}
\Act{\textit{On utilise le logiciel Géogébra.}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Figure de base}
\begin{enumerate}
       \item Ouvrir Géogébra et faire afficher le repère orthonormé $(O;I;J)$. 
 \item Choisir le radian comme unité d'angle dans \og Options \fg.
 \item Tracer le cercle trigométrique de centre $O$.
  \item Créer un curseur $t$, variant entre $-5\pi$ et $5\pi$.
 \item On veut placer un point $M$ associé au réel $t$ sur le cercle. \\
 Pour cela, dans la ligne de commande, saisir l'instruction suivante : $M=(1;t)$\\\\
 \Rq{Attention, le point-virgule est essentiel ! En effet, le couple $(1;t)$ ne désigne pas pour Géogébra 
 les coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère $(O;I;J)$, mais lui indique que $M$ sera à  une distance $1$
 de l'origine $O$ du repère (donc il sera bien sur le cercle), et tel que $\left(\overrightarrow{OI} ; 
 \overrightarrow{OM} \right)= t$ radians. On parle de coordonnées \textbf{ polaires}.}
 \item Créer en ligne de commande le point $C$ de coordonnées $(x_M,0)$ et le point $S$ de coordonnées $(0,y_M)$
      \end{enumerate}
 \item \textbf{Variations} \begin{enumerate}
        \item Quelle est l'abscisse du point $M$ dans le repère $(O;I;J)$ ? Son ordonnée ?
 \item Avec le curseur, déplacer le point $M$. \\
 Décrire son trajet, ainsi que ceux de $C$ et de $S$ correspondants.
  \item En déduire les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur $[-5\pi ; 5\pi]$.\\
  \textit{On précisera les valeurs où ces fonctions s'annulent.}
        \end{enumerate}
 \item \textbf{Courbes représentatives}
 \begin{enumerate}
  \item Compléter la figure précédente en crééant les points $R$ et $Q$ de coordonnées respectives 
  $(t,x_M)$ et $(t,y_M)$.
  \item Faire afficher leurs traces. Quelles courbes représentatives voient-on se dessiner ?
  \item Vérifier la cohérence entre les courbes obtenus et vos tableaux.
 \end{enumerate}
\item \textbf{Propriétés}
\begin{enumerate}
 \item Quelles propriétés constatez-vous pour les deux courbes ? Pouvez-vous la justifier ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction cosinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
 Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction sinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
} 

\Act{En complément pour la parité (en AP ??) : Activité 3 p 93 (Déclic)} 
 
Le plan étant muni d'un repère orthonormé direct $\left(O ; \vec i ; \vec j \right)$, on peut associer à  tout réel $x$ un unique
point $M$ sur le cercle trigonométrique (orienté, de rayon 1 avec une origine).\\

\begin{defi}
 La fonction qui à  tout réel $x$ associe l'abscisse de $M$ est la fonction cosinus, notée cos. Ainsi $x \longmapsto \cos(x)$
 est définie sur $\R$.\\
La fonction qui à  tout réel $x$ associe l'ordonnée de $M$ est la fonction sinus, notée sin. 
Ainsi $x \longmapsto \sin(x)$  est définie sur $\R$.
 \end{defi}

\begin{prop}[Définitions]
 Pour tout réel $x$, les points du cercle trigonométrique associés aux réels $x$ et $(x+2\pi)$ sont confondus. 
 Ainsi, $\forall x \in \R$ on a :
 $$\cos(x+2\pi) = \cos(x) \qquad \text{et} \qquad \sin(x+2\pi)=\sin(x)$$
 On dit que les fonctions cosinus et sinus sont \textbf{périodiques}, de période $2\pi$.
\end{prop}
 
\Rqs{
\item Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction périodique, de période $T$ (ie telle que $f(x+T)=f(x)$
pour tout $x\in D_f$) sur l'intervalle $[0;T]$ est la màªme que sur tout intervalle du type $[kT;(k+1)T]$, où $k\in\Z$.
\item Grâce à  cette propriété, il suffira d'étudier ces fonctions sur un intervalle de taille $2\pi$ 
de notre choix, par exemple $[-\pi ; \pi]$.} 

\begin{prop}[Définitions]
 Pour tout réel $x$, les points $M$ et $M'$ du cercle trigonométrique, associés respectivement à  $x$ et $-x$ 
 sont symétriques par rapport  à  l'axe des abscisses. 
 Ainsi, $\forall x \in \R$ on a :
 $$\cos(-x) = \cos(x) \qquad \text{et} \qquad \sin(-x)=-\sin(x)$$
 On dit que la fonction cosinus est \textbf{paire} et la fonction sinus est \textbf{impaire}.
\end{prop}

\Rqs{
\item Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction paire (ie tel que $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in D_f$)
est symétrique par rapport à  l'axe des ordonnées.\\
Celle d'une fonction impaire (ie telle que $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in D_f$) est symétrique par rapport à  
l'origine du repère.
\item Grâce à  cette propriété, on peut limiter l'étude de ces fonctions à  un intervalle de longueur $\pi$, par exemple
$[0;\pi]$}

Reproduire les tableaux et les illustrations de la page 94 du Déclic, pour résumer les résultats précédents.

\subsection{Dérivées}

\Act{Déclic : Activité 2 p 92}

\begin{theo}
 Les fonctions cos et sin sont dérivables sur $\R$ (donc continues sur $\R$ aussi) et pour tout réel $x$ on a :
$$\cos'(x)=-\sin(x) \qquad \text{ et } \qquad \sin'(x)=\cos(x)$$ 
\end{theo}

\Dem{Exo 44 p 108}

\begin{prop}
 On en déduit la limite suivante à  connaître :
 $$\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x) }{x} = 1$$
\end{prop}

\Dem{
On a $\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x) }{x}= \lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x)-\sin(0) }{x-0}  
= \lim\limits_{h\to 0 } \dfrac{\sin(0+h)-\sin(0) }{h} 
=\sin'(0) =1$
}




 \begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 12 p 99 (fct tangente, en DM ?)\\
n$^{\circ}$ 23 + 28 à  31 + 45 + 47 + 59 + 60 p 105 (dérivées et limites)\\
n$^{\circ}$ 50-51-53-65 p 108 (étude de fonctions, tangente)\\
n$^{\circ}$ 66-72 p 111 (avec une fonction auxiliaire)
n$^{\circ}$ 68 p 113 (suite de fonctions)
n$^{\circ}$ 71 p 111 (TVI avec trigo)
\end{ExoL}

\pagebreak
\section{TP :  Exercices guidés}
\subsection{Etude de la fonction tangente.}
\Exop{On souhaite étudier et représenter graphiquement la fonction tangente :
$$ \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $\cos x=0$.
\item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction tangente.
\item Etudier la parité de la fonction tangente.
\item Montrer que la fonction tangente est périodique de période $\pi$.\\
\Rq{Par conséquent, on va se contenter d'étudier la fonction tangente sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[ $, puis à l'aide de la parité on complétera le tracé par la symétrie de centre $O$, et à l'aide de la périodicité par une série de translation \og horizontale \fg.}
\end{enumerate}
\item Etudier les limites de la fonction tangente en $0^+$ et en $ \dfrac{\pi}{2}^-$. \\
En déduire que la courbe $\mathscr C$ de la fonction tangente admet une asymptote dont on précisera la nature et l'équation.
\item Etudier les variations de la fonction tangente sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[ $. On montrera que :$$ \tan' x= \dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$$
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr C$ au point d'abscisse $0$.
\item Démontrer que pour tout $x\in I$, on a : 
$$ \tan x\geq x$$
\footnote{On pourra étudier les variations de la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x)=\tan x-x$.}
\item En déduire, la position relative de la courbe $\mathscr C$ par rapport à sa tangente $T$.
\end{enumerate}
\item Tracer, très soigneusement les droites $\Delta$, $T$ et la courbe $\mathscr C$. (On se placera entre les bornes $-2\pi$ et $2\pi$
\end{enumerate}}
\newpage
\subsection{Problème d'optimisation}
\Cadre[Objectif]{Il s'agit d'appliquer les résultats sur la dérivation à la recherche d'extremums d'une fonction.}

\Exop{Dans l'arche de parabole $\mathscr P$, d'équation $y=1-x^2$ (avec $y\geq 0$), on inscrit un rectangle ayant pour axe $(Oy)$, avec $M$ et $N$ sur $(Ox)$, $P$ et $Q$ sur $\mathscr P$. \\
Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale ?
\begin{enumerate}
\item Le choix de $M$ détermine entièrement le rectangle, notons $x$ son abscisse. Donner les dimensions du rectangle.
\item En déduire que l'aire $\mathscr A$ du rectangle $MNOP$ vaut : $$ \mathscr A(x)=-2x^3+2x$$
\item Déterminer $\mathscr A'(x)$ et dresser son tableau de variation.
\item Conclure.
\end{enumerate}}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.6,-0.6)(1.6,1.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{1.5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{1.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.6,-0.6)(1.6,1.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x 2 exp sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{1}{\F}
\def\G{0.36}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.8}{0.8}{\G}
 \uput[ur](-0.5,0.9){$\mathscr P$}

\pscustom[fillstyle=hlines,linewidth=0.5pt,hatchcolor=yellow,linestyle=solid]
{
\psplot{-1}{1}{\F}
\psline[linestyle=solid,linecolor=yellow](1,0)(-1,0)(-1,0)
}
\psline[linestyle=solid,linecolor=blue](-0.8,0)(-0.8,0.36)
\psline[linestyle=solid,linecolor=blue](0.8,0)(0.8,0.36)

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt] % aire coloriée  
{  
\psplot{-0.8}{0.8}{\G}
\psline[linestyle=solid,linecolor=gray](0.8,0)(-0.8,0)(-0.8,0.36)
}
\psdot(-0.8,0.36) \uput[ur](-1,0.36){Q}
\psdot(0.8,0.36) \uput[ur](0.8,0.36){P}
\psdot(0.8,0) \uput[ur](0.75,-0.25){M}
\psdot(-0.8,0) \uput[ur](-0.85,-0.25){N}
 \uput[ur](0.5,1){$y=1-x^2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\newpage
\subsection{Etude d'une fonction rationnelle}
\Exop{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$ et on note $\mathscr C$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé d'unité 1cm. 
\begin{enumerate}
\item On pose
$g(x)=x^3+3x+8$.\begin{enumerate}
\item \'Etudiez le sens de variation de $g$
et montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique
solution $\alpha$ dont vous donnerez un encadrement d'amplitude
$10^{-2}$. \footnote{emploi classique du théorème de la bijection.}
\item Précisez le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  \'Etudiez les limites de $f$ en $-\infty$ et
$+\infty$. 
\item Calculez $f'(x)$ et dressez le tableau de
variation de $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrez qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$,
et $d$ tels que
$$f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2+1}$$
\item Déduisez en que $\mathscr C$ admet une asymptote oblique $\Delta$
et étudiez la position de $\mathscr C$ par rapport à $\Delta$.
\\
Vérifiez en particulier que $\mathscr C$ rencontre $\Delta$ en un
unique point $\Delta$. 
\end{enumerate}
\item Déterminez les abscisses des
point $B$ et $B'$ de $\mathscr C$ admettant une tangente parallèle à
$\Delta$.\footnote{deux droites parallèles ont le même coefficient
directeur...}
\item \begin{enumerate}
\item  Vérifiez que $f(\alpha)=\dfrac{3\alpha}{2}$.
Déduisez en une valeur approchée de $f(\alpha)$.\footnote{utilisez le
fait que $g(\alpha)=0$.}
\item Tracez $\Delta$, $\mathscr C$ ainsi que les
points $A$, $B$, $B'$ et $M$, $N$, $P$ d'abscisses respectives 1,
2 et $-1$, sans oublier les six tangentes en ces points.
\end{enumerate}
\end{enumerate} }

\subsection{ROC : dérivée d'une composée}

\Exop{\begin{enumerate}
\item  \textbf{ Restitution organisée de connaissances}\\
La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si vraie ou fausse et justifier.\\
Dans cet exercice $n$ désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
\begin{itemize}
\item P : Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) =x^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$ donnée sur
$\R$ par : $f'(x) = nx^{n-1}$.\\
\item Q : Soit $u$ une fonction dérivable, de dérivé $u'$ sur $\R$ et soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f= u^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$ donnée par $f'=  nu^{n-1}u'$.
\end{itemize}
\item  On désigne par $g$ la fonction définie sur $] -1~;~ 1[$ par $g(0) = 0$ et $g'(x) =	\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	où $g'$ désigne la
dérivée de la fonction $g$ sur $] -1~;~ 1[$ ; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$.\\
On considère alors la fonction composée $h$ définie sur $] -\pi~;~ 0[$ par \\$h(x) = g (\cos x)$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $x$ de $] -\pi~;~ 0[$ on a $h'(x) = 1$, où $h'$ désigne la dérivée de $h$.
\item  Calculer $h\left(- \dfrac{\pi}{2}\right)$ puis donner l'expression de $h(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} }
\newpage
\subsection{Extrait de bac étranger}


\Exop[BAC Irlandais]{\begin{enumerate}
\item If $y=x-1+\dfrac{1}{x-1}$, $x\neq1$,  find the value of $\dfrac{{\rm
      d}y}{{\rm d}x}$ at the point $(4;2)$.
\item The  slope of the curve  $y=a \sqrt{x}-5$ at the  point $(4;b)$ is
  $2$. Find the values of $a$
 and $b$.
\item If $y=\sqrt{x}$, show that $x^2 \dfrac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}+x \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}-\dfrac{1}{4}y=0$.
\end{enumerate}}
\Exop[BAC Anglais]{\begin{enumerate}
\item  Find the coordinates  of the  turning points  on the  curve whose
  equation is $y=x^3-9x^2+24x$
\item The function $f$ is given by~:
\[f(x)=x+\dfrac{1}{4x},\quad x\neq0\]
Find the range of values of  $x$ for which $f$ is an increasing function
of $x$.
\item Differentiate with respect to $x$ $4\sin^3(2x)$.
\item  The  curve  $\mathscr C$  has equation  $y=\dfrac{2x}{1+x^2}$.  Find  the
  coordinates of the stationary points and distinguish between them.
\end{enumerate}}

\Exop[BAC Suisse]{
On considère la fonction $f$ définie par 
\[f(x) = \dfrac{2x^4}{x^3 - 1}.\]
\begin{enumerate}
\item  Étudier la fonction $f$. Durant l'étude, vous montrerez que la dérivée seconde est la suivante :
\[f''(x) = \dfrac{12 x^2 \left(x^3 + 2\right)}{\left(x^3
- 1\right)^3}\]
\item Déterminer la pente de  la tangente au point d'inflexion (le point
  d'abscisse $x$ tel que $f''(x)=0$).
\item  Représenter graphiquement la fonction $f$ (unité : 2 carrés ou 1 cm sur feuille millimétrée).
\end{enumerate}}

\Exop[BAC Espagnol]{
Sea $f$ la función definida para $x \neq  -2 $	por
	\[\dfrac{x^2}{x + 2}\]
	\begin{enumerate}
		\item Halla las asintotas de la gr\'afica de $f$.
	\item Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y
          los extremos locales de $f$.
		\item Teniendo en cuenta los resultados de los apartados
                  anteriores, haz un esbozo de la gr\'afica de $f$. 
	\end{enumerate}}

\newpage	
\subsection{Equation Fonctionnelle}

\Exop{
Une équation fonctionnelle est une équation dont l'inconnue est une fonction.  Nous en étudierons bientôt deux exemplaires en cours~:
$$f(x+y)=f(x)\times f(y)\qquad \text{et}\qquad f(xy)=f(x)+f(y)$$
Pour l'heure, nous allons nous contenter de rechercher  les fonctions définies sur $\R$ vérifiant pour tous réels $x$ et $y$~:
                                $$ f(x+y)=f(x)+f(y)$$
Les deux parties sont indépendantes.\\
\bigskip
\textbf{PARTIE A}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Montrez que pour tout entier naturel $n$, $f(n)=n\times f(1)$
\item Montrez que pour tout entier naturel non nul $p$,
$f(1)=p\times f(1/p)$.
\item Montrez que pour tout entier naturel non nul $p$,
$f(1)=p\times f(1/p)$.
\item Déduisez-en que pour tout rationnel $r$, $f(r)=r\times f(1)$
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{PARTIE B}
\medskip \\
On suppose que $f$ est dérivable en 0 et que $f'(0)=a$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=f(x)/x$ pour $x\neq0$ et $g(0)=a$.
\begin{enumerate}
\item Calculez $f(0)$.
\item Montrez que $g$ est continue en 0.
\item Montrez que $g(2x)=g(x)$ pour tout réel $x$.
\item Déduisez-en que $g(x)=g(x/2^n)$ pour tout réel $x$ et tout
entier naturel $n$.
\item Déduisez-en que $g$ est une fonction constante.\footnote{Où on
utilise un théorème du cours sur la continuité}
\item Déduisez-en une expression de $f(x)$ pour tout réel $x$ en
fonction de $a$.
\item Réciproquement, vérifiez que les fonctions trouvées à la
question 5) sont solutions du problème. Concluez. Comparez avec les résultats de la partie A.
\end{enumerate}}


\newpage
\subsection{Divers}

\Exop{
On munit le plan d'un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par
$$f(x)=x-2\sqrt{x}+1$$
et $\mathscr C$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé.
\item \begin{enumerate}
\item \'Etudiez les variations de $f$. 
\item Factorisez $f(x)$.
\item Démontrez que pour tout $x\in[0,1]$
$$(f\circ f)(x)=x$$
\item Construisez la courbe $\mathscr C$.
\end{enumerate}
\item On considère les points $A_k$ de coordonnées ($k$+1/2, 0) et
$B_k$ de coordonnées (0, $1/2-k$) où $k$ est un paramètre réel de l'intervalle $[-1/2, 1/2]$ .
\item On note $D_k$ la droite déterminée par les points $A_k$ et $B_k$.
\begin{enumerate}
\item Déterminez une équation de $D_k$ sous la forme
$a(k)x+b(k)y+c(k)=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois fonctions dérivables de la variable $k$ que l'on déterminera.
\item Soit $D'_k$ la droite d'équation $a'(k)x+b'(k)y+c'(k)=0$ où
$a'$, $b'$ et $c'$ désignent les fonctions dérivées respectives de $a$, $b$ et $c$.
\item Vérifiez que, pour toute valeur de $k$ dans $[-1/2, 1/2]$, les droites $D_k$ et $D'_k$ sont sécantes en un point $M_k$.
\item Démontrez que les coordonnées de $M_k$ sont
$$x_k=(1/2+k)^2\qquad y_k=(1/2-k)^2$$
\item Démontrez que, lorsque $k$ décrit l'intervalle $[-1/2,1/2]$,
le point $M_k$ décrit la courbe $\mathscr C$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exop[Avec une valeur absolue]{
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$$f(x)=\sqrt{|x^2+4x-5|}$$
Soit $\mathscr C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O;\vec u, \vec v$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrivez $f(x)$ sans utiliser de valeur absolue.
\item Montrez que $\mathscr C_f$ admet la droite d'équation $x=-2$ comme axe de symétrie. Que peut-on en déduire sur le domaine d'étude de $f$.
\item \'Etudiez les variations de $f$ là où elle est dérivable.
\item \'Etudiez la dérivabilité de $f$ en 1. Interprétez
graphiquement.
\item Calculez $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ puis
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-x$. Interprétez graphiquement.
\item Tracez $\mathscr C_f$. Vous prendrez 1cm comme unité en abscisse et
2cm en ordonnées. Vous prendrez soin de tracer les tangentes remarquables.
\end{enumerate}
}
\newpage
\subsection{Complément : théorème de Rolle et des accroissements finis}


\Thc[Théorème de Rolle]{Si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et si $f(a)=f(b)$ alors il existe un
réel $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$} 


Nous nous proposons de démontrer ce théorème.

\begin{enumerate}
\item Faites un dessin résumant .... et démontrant la situation.
\item  Comme $f$ est continue sur $[a,b]$, l'image de $[a,b]$ est un intervalle d'après le TVI. Notons-le $[m,M]$. 
\begin{enumerate}
\item Si $m=M$, que peut-on en déduire ?
\item Sinon, le maximum $M$ par exemple est atteint pour un réel $e\in]a,b[$.  Notons $\tau_e(x)=\dfrac{f(e+x)-f(e)}{x}$. Que pensez-vous de $\lim\limits_{x\to0^-}\tau_e(x)$ et $\lim\limits_{x\to0^+}\tau_e(x)$ ?
\item \'Etudiez le signe de $f'(e)$ et concluez.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\Thc[théorème des accroissements finis]{Si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ alors il existe au moins un réel
 $c\in]a,b[$ tel que $$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$$}
 
 Pour prouver ce théorème, faites une figure. On appellera A le point d'abscisse $a$, B le point d'abscisse $b$, M le point de $\mathscr C_f$ d'abscisse $x$ et P le point du segment $[AB]$ d'abscisse $x$. On note enfin $\varphi(x)=\overline{PM}=y_M-y_P$
 
\begin{enumerate}
\item Exprimez $\varphi(x)$ en fonction de $x$.
\item Pourquoi peut-on appliquer le théorème de Rolle à $\varphi$ sur $[a,b]$ ? Appliquez le et concluez.
\end{enumerate}

\Exop[Application du TAF]{
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ telle que $f'(x)=0$ pour tout $x\in[a,b]$. Démontrez que $f$ est constante sur $[a,b]$. 
\item Soit deux fonctions dérivables sur $[a,b]$ tells que $f'(x)=g'(x)$ pour tout $x\in[a,b]$. Démontrez qu'il existe un réel constant $C$ tel que $f(x)=g(x)+C$ pour tout $x\in[a,b]$.
\end{enumerate}}

 
\end{document}