\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}	
\newcommand{\Cl}{TS}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macrodwicky.tex

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%\debut
%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
%\debutcha{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}

\setcounter{NumLecon}{8}
\ddwicky{yeezus.eps}{Yeezus}{Kanye West}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Kanye Omari West voit le jour dans la ville d'Atlanta le 8 juin 1977, grandit à Chicago, Illinois et suit ses études à l'International Academy of Art and Design and Technology, une école d'art basée à Chicago et à l'Université de Chicago, mais abandonne par deux fois et ne passera jamais les examens.
\\
Son père, Ray West, est un ancien membre des Black Panthers ; sa mère, Donda, était professeur d’anglais à l'université de Chicago quand Kanye West était jeune.
\\
Selon USA Today : \og Personne ne peut dire que West ne nous a pas prévenus. Son nouvel album, Yeezus  est aussi sombre et abrasif comme les deux premières chansons qu'il a lâchés (New Slaves et Black Skinhead). C'est aussi audacieux et infectieux comme quelque chose qu'il a fait, et demande à être entendu avec haut-parleurs sur le souffle. Caisses électroniques Stark, rejets des lignes de conduite dancehall et lignes de basses menaçantes sous-tendent ses coups de gueule sur la race blanche, le sexe, le mercantilisme et la célébrité. Il vous défie presque de laisser vagabonder votre attention, jetant au hasard, dans le tempo de déplacement des échantillons et des cris gutturaux juste quand vous pensez que vous savez où il se dirige.\fg
}{0.4}{0.15}{ \item Découvrir une nouvelle fonction de référence
 \item Connaître ses propriétés
}
\setcounter{NumLecon}{8}
\TITRE{freud.eps}{0.5}

\begin{abstract}
Les  nombres  complexes  portent  bien  leur  nom  !  Ils  interviennent
partout  : en  algèbre, en  analyse, en  géométrie, en  électronique, en
traitement du signal,  en musique, etc. Et en plus,  ils n'ont jamais la
même  apparence  :  tantôt  sous  forme algébrique,  tantôt  sous  forme
trigonométrique, tantôt sous forme  exponentielle, ... Leur succès vient
en fait de  deux propriétés : en travaillant  sur les nombres complexes,
tout polynôme admet un nombre de racines égal à son degré et surtout ils
permettent de calculer  facilement en dimension 2. Ce  n'est pas clair ?
Alors détaillons ! 
\end{abstract}

\section{Introduction}
\subsection{Approche historique}
\Cadre{Au début du XVI$^{\text{ème}}$ siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant une solution aux équations du $3^{\text{ème}}$ degré de la forme $x^3+px=q$ :
$$ x=\sqrt[3]{\dfrac{q-\sqrt{q^2+4p^3/27}}{2} }+\sqrt[3]{\dfrac{q+\sqrt{q^2+4p^3/27}}{2} }$$
A la fin de ce siècle, Bombelli applique cette formule à l'équation $x^3-15x=4$\\
Il obtient littéralement : $$ x=\sqrt[3]{2-11 \sqrt{-1} }+ \sqrt[3]{2+11 \sqrt{-1} }$$
Cette écriture pose un problème majeur puisqu'elle amène à considérer le nombre $ \sqrt{-1}$ qui n'a encore aucun sens. Néanmoins, Bombelli va plus plus loin, il remarque en utilisant les règles de calcul usuelles que :
$$ \left(2+\sqrt{-1}\right)^3=2+11 \sqrt{-1}\qquad \text{et}\qquad  \left(2-\sqrt{-1}\right)^3=2-11 \sqrt{-1}$$
Par conséquent, il obtient : $\qquad \qquad x=2+\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}=4$.\\
Or, $x=4$ est bien une solution de l'équation $x^3-15x=4$. Une question naturelle s'est alors posée : peut-on légitimement calculer avec des symboles imaginaires comme ci-dessus ? C'est ainsi qu'est née la théorie des nombres complexes $\dots$ }

\subsection{Un Film Mathématique}
Observons le petit film mathématique suivant en guise d'introduction au nombre complexe. Il est tiré d'un film en 9 chapitres appelé dimension.\\
\href{http://www.youtube.com/watch?v=BosTQT4smJA}{Dimension - Chapitre 5}
\subsection{Approche ensembliste}

L'équation $x+1=0$ n'a pas de solution dans $\N$, mais elle admet une solution $-1$ dans un ensemble plus grand $\Z$.\\
De même, l'équation $3x=1$ n'admet pas de solution dans $\Z$, mais elle admet $ \dfrac{1}{3}$ comme solution dans l'ensemble $\Q$ plus vaste que $\Z$\\
Et puis, l'équation $x^2=2$ n'a pas de solution dans $\Q$ ; il faut chercher dans $\R$ pour en trouver. 
\\
En clair, quand une équation n'a pas de solutions, une démarche naturelle (et historique) pour en trouver consiste à en chercher dans un ensemble plus grand. Au stade de nos connaissances, l'ensemble numérique le plus grand est $\R$. Pourtant l'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solutions dans $\R$ $\dots$\\
On va donc, dans ce chapitre \og construire ? \fg enfin plutôt imaginer un ensemble plus grand que $\R$ dans lequel l'équation $x^2+1=0$ possède des solutions. On l'appellera $\C$ : ensemble des nombres complexes. Le principal élément de $\C$ sera noté $i$ ( $i$ comme imaginaire) et vérifiera $i^2=-1$. L'équation précédente possédera alors deux solutions :
$$ x^2+1=0\Longleftrightarrow (x+i)(x-i)=0\Longleftrightarrow x=i\text{ ou }x=-i$$
Je vous rassure tout de même, il n'existe pas d'ensemble plus grand que $\C$ permettant de résoudre des équations polynômiales. 


\subsection{Elément d'histoire}
En 1637, Descartes propose l’appellation de \og nombres imaginaires \fg, mais c’est Gauss en 
1831 qui le premier les nomme les \og nombres complexes \fg. \\
Euler, déclarant que la notation $\sqrt{-1}$ est absurde car elle conduit à une contradiction de 
la définition, introduit la notation $i$ (comme imaginaire) en 1777 pour le nombre  qui vérifie 
$i^2 =-1$. \\
L’ensemble des nombres complexes  $\C$ apparaît alors : ce sont les nombres de la forme 
$a+ib$, avec $a$ et $b$ réels. Les règles de calculs dans  $\R$ sont conservées. \\
Les nombres imaginaires prennent alors leur statut officiel de nombres, avec notamment 
une représentation géométrique de chaque nombre $x+iy$ avec $x$ et $y$ réels par le point 
du plan de coordonnées $(x;y)$. \\
Ils ont notamment servi pour formaliser la théorie de la relativité d’Einstein (1905). A 
notre niveau, ils sont utiles en géométrie et pour la résolution toutes les équations.

%\epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens}{David Hilbert}{mathématicien} 

\section{Construction du corps des nombres complexes}
\subsection{Approche dimensionnelle}
Vous savez \og compter en dimension 1 \fg, c'est-à-dire additionner et multiplier des nombres réels. Faute d'outils plus rigoureux \footnote{Vous les verrez peut-être un jour$\dots$En général on définit un nombre réel comme étant la limite d'une suite d'approximations par des rationnels.} on vous a présenté l'ensemble des nombres réels comme étant les abscisses des points d'une droite graduée.\\
Vous utilisez depuis l'école primaire ces nombres et les opérations usuelles qui leur sont associées, addition et multiplication sans trop vous poser de questions. Ces opérations vérifient les propriétés suivantes \footnote{Lorsque un ensemble possède ces propriétés, on dit que c'est un corps. Certains de vos parents ont étudié la notion de corps en classe de $4^{ème}$, cette étude se fait désormais après le lycée$\dots$ $\Q$ est aussi un corps mais ce n'est pas le cas de $\Z$ ni de $\N$ (pas d'inverse pour la multiplication)} :
\begin{itemize}
\item L'addition possède un élément neutre noté $0$ : $x+0=0+x=x$
\item La somme de deux réels est encore un réel.
\item Chaque réel $x$ admet un opposé $-x$ vérifiant $x+(-x)=(-x)+x=0$
\item La multiplication possède un élément neutre noté $1$ : $x\times 1=1\times x=x$
\item Le produit de deux réels est encore un réel.
\item Chaque réel différent de $0$ admet un inverse $x^{-1}$ vérifiant $x\times x^{-1}=x^{-1}\times x=1$
\item La multiplication et l'addition sont associatives et commutatives
\item La multiplication est distributive sur l'addition $x(y+z)=x\times y+x\times z$
\end{itemize}
Tout ceci est bien naturel. Maintenant, on voudrait faire le même travail en dimension $2$ i.e pouvoir calculer avec des couples de nombres du style $(x;y)$. On note l'ensemble de ces couples $\R^2$, et on souhaite définir des opérations de manière à faire de $\R^2$ un corps. On définit alors l'addition comme suit :
$$ (x;y)+(x';y')=(x+x';y+y')$$
L'élément neutre est alors $(0;0)$, la somme de deux éléments de $\R^2$ est encore un élément de $\R^2$ et l'opposé du nombre $(x;y)$ est $(-x;-y)$. Définissons maintenant la multiplication ! On a envie de la définir de la manière suivante :
$$ (x,y)\times (x';y')=(xx';yy')\qquad \text{avec $(1;1)$ comme élément neutre}$$
\underline{Problème : } L'inverse de $(x;y)$ est $\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y}\right)$ ce qui veut dire les couples du type $(x;0)$ avec $x\neq 0$ n'admettent pas d'inverse, or on voudrait que tous les couples différent de $(0;0)$ admettent un inverse. Il faut changer de définition$\dots$\\
On décide d'adopter la définition suivante, moins naturelle, dans le but d'avoir un élément de la forme $(1;0)$ :
$$ (x;y)\times (x';y')=(xx'-yy';xy'+x'y)$$
On a bien $(x;y)\times(1;0)=(x;y)$. De plus l'inverse de $(x;y)\neq (0,0)$ est $ \left(\dfrac{x}{x^2+y^2};-\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)$ (vous pouvez vérifier !)
\\
Il est temps d'établir le lien entre $\sqrt{-1}$ et $\R^2$ tel qu'on l'a construit. On remarque que : $$ (0;1)^2=(0;1)\times(0;1)=(0-1;0+0)=(-1;0)$$
$(0,1)$ est alors le nombre que l'on a noté $i$, et $(-1;0)$ c'est $-1$, et on a alors $i^2=-1$. \\
Pour mieux comprendre, imaginons l'ensemble des réels comme une droite graduée (ici représenté par l'axe des absisses), ajoutons-y un axe des ordonnées pour passer en dimension $2$, alors le réel $-1$ est associé au point de coordonnées $(-1;0)$, et le nombre dont la racine carré est $-1$ est lui associé au point de coordonnée $(1;0)$. Nous notons $i=\sqrt{-1}$  pour
qu'il fasse moins peur. \\Ainsi nous avons les correspondances 

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
Le   point   M   &$\longleftrightarrow$    &   Le   couple   $(x,y)$   &
$\longleftrightarrow$ & Le nombre complexe $x+iy$\\ 
$\updownarrow$ & &  $\updownarrow$ & & $\updownarrow$ \\
Le plan $\mathscr P$  & $\longleftrightarrow$ & $\R^2$ &$\longleftrightarrow$
& L'ensemble des nombres complexes 
\end{tabular}
\end{center}
Pour se simplifier la vie, nous  allons donner un nom à cet ensemble des
nombres complexes : $\C$.
Et  maintenant   observez  comme  les  calculs   deviennent  faciles  en
prologeant les règles valables sur $\R$ ! 
$$(x+iy) + (x'+iy')= x+iy+x'+iy'=(x+x')+i(y+y')$$
Comme nous avions $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$, mais en plus simple.\\
 Et $(x+iy)\cdot(x'+iy')=xx'+ixy'+iyx'+i^2yy'$\\
 N'oubliez pas que $i^2=-1$\\
 Alors $(x+iy)\cdot(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+yx')$\\
 Comme nous avions $(x,y)\times (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$. 
 \\
 Donc nous  allons pouvoir  calculer en dimension  2 en  généralisant les
règles de  dimension 1. Nous avons  juste ajouté ce nombre  $i$ de carré
$-1$.   En  particulier,  tous   les  nombres  réels  sont  des  nombres
complexes : $\R\subset\C$.  

Nous allons pouvoir  associer à chacun de ces nombres un point du
plan et  donc associer  des transformations du  plan à des calculs dans
$\C$ : on va résoudre des problèmes de géométrie par le calcul.

\subsection{Forme algébrique d'un nombre complexe et opérations}
%\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
%\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire
\begin{theo}Il existe un ensemble de nombres, dits complexes :
\begin{itemize}
\item muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\R$
\item contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$
\item tel que chaque nombre complexe $z$ peut s'écrire de manière unique sous la forme :
$$ z=a+ib\text{ avec $a$ et $b$ des nombres réels}$$ 
\item et réciproquement tout nombre de la forme $z=a+ib$, avec $a$ et $b$ réels, est un nombre complexe \end{itemize}
\end{theo}

\Rq{\begin{itemize}
\item Nous avons prouvé l'existence d'un tel ensemble dans le paragraphe précédent.
\item Cette écriture unique est appelée \underline{forme algébrique} du nombre complexe $z$
\item L'ensemble des nombres complexes se note $\C$ et :
$$\C =\left\lbrace a+ib \text{, avec }a \text{ et } b \text{ parcourant les nombres réels} \right\rbrace$$
\item $i \notin\R$, en effet il n'existe pas de nombres réels tel que son carré est strictement négatif.
\item Par exemple, $z=3-2i$ est un nombre complexe, ou encore $z=3$ et $z=-\dfrac{1}{2}i$ sont des nombres complexes.
\end{itemize}
}


On considère deux nombres complexes $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ où $x$, $y$, $x'$ et $y'$ désignent quatre nombres réels.

\Rqs{
\item L'\textbf{opposé} d'un nombre complexe $z$ est le complexe noté $-z$ définit par :
$$ -z=-x-iy$$
\item \textbf{Somme de deux complexes} $z+z'=(x+x')+i(y+y')$
\item \textbf{Produit de deux complexes} $zz'=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$
\item Tout nombre complexe $z$ non nul admet un unique \textbf{inverse} noté $\dfrac{1}{z}$ dont la forme algébrique est :
$$ \dfrac{x}{x^2+y^2}+i\dfrac{-y}{x^2+y^2}$$
\item Le quotient $\dfrac{z}{z'}$ est par définition égal à $z\times \dfrac{1}{z'}$ lorsque $z'\neq 0$.
\item $zz'=0\Longleftrightarrow z=0$ ou $z'=0$.
}

\begin{defi}Soit $z\in\C$, alors il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $z=a+ib$. \\
$a$ est la partie réelle de $z$ et se note $\re(z)$\\
$b$ est la partie imaginaire de $z$ et se note $\im(z)$\end{defi}

\Expl{Si $z=3+4i$ alors $3$ est la partie réelle et $4$ est la partie imaginaire. }

\Att{La partie imaginaire est un \textbf{nombre réel }.}

\begin{theo}[égalité de deux nombres complexes]Soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre nombres réels, alors :
$$ x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x' \text{ et }y=y'$$
Autrement dit, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.\end{theo}

\Dem{
\begin{itemize}
\item Montrons dans un premier que $$ x+iy=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$$
\begin{itemize}
\item[$\Leftarrow)$] Si $x=0$ et $y=0$ alors $x+iy=0$
\item[$\Rightarrow)$] Supposons que $y\neq 0$, dans ce cas on a : $i =-\dfrac{x}{y}$ et par conséquent $i\in\R$, or il n'existe pas de nombres réels tels que $i^2=-1$. Notre hypothèse est donc absurde, ce qui signifie que $y=0$ et donc $x+0=0\Longleftrightarrow x=0$
\end{itemize}
\item Considérons désormais deux nombres complexes $z$ et $z'$ tels que $$ z=x+iy\qquad \qquad z'=x'+iy'$$ et montrons que  $ z=z'\Longleftrightarrow x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x' \text{ et }y=y'$
\begin{itemize}
\item[$\Leftarrow)$] Si $x=x'$ et $y=y'$ alors de manière évidente $z=z'$
\item[$\Rightarrow)$] Si $z=z'$ montrons que $x=x'$ et $y=y'$\\
Comme $z=z'$, on a $z-z'=0\Longleftrightarrow x-x'+i(y-y')=0$, par conséquent d'après la première partie de la démonstration : 
$$ x-x'=0\Longleftrightarrow x=x' \qquad \text{ et }\qquad y-y'=0\Longleftrightarrow y=y'$$
\end{itemize}
\end{itemize}}

\footnote{\underline{Humour} : Pourquoi la vie des hommes est-elle complexe ? Car elle possède une partie réelle et une partie imaginaire$\dots$}

\Exoi{On considère deux nombres complexes $z=3+2i$ et $z'=2-i$.\\
 Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants :
 \begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
\item $z+z'$
\item $z\times z'$
\item $z-z'$
\item $z+2z'$
\item $2z-3z'$
\item $z^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\begin{defi}Soit $z$ un nombre complexe avec pour écriture algébrique $z=a+ib$
\begin{itemize}
\item Si $b=0$, $z$ est réel, ainsi $\C$ contient $\R$ i.e un nombre réel est aussi un nombre complexe.
\item Si $a=0$, $z$ est un \underline{imaginaire pur}. L'ensemble des imaginaires purs est noté $i\R$
\end{itemize}
\end{defi}



\Rq{\begin{itemize}
\item Dans $\C$, il n'y a pas de notion d'ordre, on ne pourra donc pas comparer deux nombres imaginaires.
\item On évitera l'usage abusif du symbole radical $\sqrt{}$ qui reste réservé aux réels positifs.
\end{itemize}}


\Exoi{\begin{enumerate}
\item Soit $x\in \R$, à quelle condition le nombre complexe $z=x+2+i(-ix+x)+2i-5ix$ est-il un réel ?
\item A quelle condition est-il un imaginaire pur ?
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $3z+6i=z-2$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que $z^2-6z+25=(z-3)^2+16$.
\item En déduire les solutions de l'équation $z^2-6z+25=0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{Résoudre dans $\C$ l'équation:  $$ \dfrac{-i}{z+1}=2$$}

\Exoi{Résoudre dans $\C$ les équations ci-contre. Les solutions seront données sous forme algébrique.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(-1+2i)z=3+i$
\item $z^2=-9$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Déterminer les formes algébriques des nombres complexes donnés. Préciser, le cas échéant, s'il est réel ou imaginaire pur :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z_1=i(1-4i)+3(2-i)$
\item $z_2=(3-i)^2+6i$
\item $z_3=\dfrac{3}{1-i}$
\item $z_4=\dfrac{1+2i}{2-i}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Résoudre dans $\C$, l'équation :
$$\dfrac{z+3i}{-5iz+2}=-i$$}
\pagebreak
\section{Le plan complexe et le conjugué}

\subsection{Définition}
Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du
plan qu'on munit d'un repère $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$  orthonormé.
\definecolor{bleu}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{vert}{rgb}{0,1,0}
\definecolor{reel}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{imag}{rgb}{0.9,0.1,0.1}
\definecolor{gris25}{gray}{0.75}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=1]
\draw[-,color=reel] (-1.0,0) -- (6.5,0);
\draw[-,color=imag] (0,-1) -- (0,3.6);
\clip(-2.0,-1.8) rectangle (6.5,4.9);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (4,0)-- (4,3);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (0,3)-- (4,3);
\draw [->] (0,0) -- (1,0);
\draw [->] (0,0) -- (0,1);
\draw [->,line width=1.0pt] (0,0) -- (4,3);
\draw (-0.5,-0.1) node[anchor=north west] {$O$};
\draw (0.15,-0.1) node[anchor=north west] {$ \vect{ e_1 } $};
\draw (-0.75,0.75) node[anchor=north west] {$ \vect{ e_2 } $};
\draw[color=bleu] (4,0.0) node[anchor=north] {$x$};
\draw[color=bleu] (-0.0,3.0) node[anchor=east] {$y$};
\draw (1.4,2.0) node[anchor=north west] {$ \vect{ u } $};
\draw (4.72,-0.22) node[anchor=north west] {\colorbox{reel}{\textbf{axe réel}}};
\draw (-0.7,4.6) node[anchor=north west] {\colorbox{imag}{\textbf{axe imaginaire}}};
\fill [color=black] (0,0) circle (1pt);
\draw[color=bleu] (5.2,3.25) node {$M(z=x+iy)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{defi}
\`A  tout point $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$, on associe le nombre complexe $z=x+iy$ appelée affixe du point $M$, on le note souvent $z_M$.
\\
Réciproquement, à chaque point $M(x;y)$ correspond un unique nombre complexe $z=x+iy$.\\
Enfin,  à  tout   vecteur  $\overrightarrow{u}$  de  coordonnées
$(x,y)$  est associé  une affixe
$z_{\overrightarrow{u}}=x+iy$\end{defi}

\Expl{à $z=2-5i$ correspond le point $M(2;-5)$ et réciproquement. L'affixe du point $M$ est le nombre complexe $z$ }

\Rq{La droite passant par $O$ de vecteur directeur $\overrightarrow{e_1}$ est appelé l'axe réel (ou axe des réels) du plan complexe (cet axe correspond à l'axe des abscisses). \\
La droite passant par $O$ de vecteur directeur $\overrightarrow{e_2}$ est appelé l'axe imaginaire (ou axe des imaginaires) du plan complexe (cet axe correspond à l'axe des ordonnées).}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item L'affixe du point $T(4;-3)$ est le complexe $z_T=4-3i$.
\item L'image du complexe $z=i-3$ est le point $M(z) \left(-3;1\right)$.
\item Dans un plan muni d'un repère orthonormal direct $\left( O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2} \right)$, déterminons l'affixe de chacun des vecteurs suivants : $\overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{e_2}$, $-\overrightarrow{e_1}$ et $-\overrightarrow{e_2}$. 
\vspace*{-4mm}
\begin{multicols}{4}
$z_{\overrightarrow{e_1}}=1$\\
$z_{\overrightarrow{e_2}}=i$\\
$z_{-\overrightarrow{e_1}}=-1$\\
$z_{-\overrightarrow{e_2}}=-i$
\end{multicols}
\end{enumerate}}


\subsection{Conjugué d'un nombre complexe.}
%\subsubsection{Conjugué d'un nombre complexe}
\begin{defi}On considère un nombre complexe $z=x+iy$. On appelle \underline{conjugué} de $z$, le nombre complexe, noté $\overline{z}$ tel que $$ \overline{z}=x-iy$$ 
On dit que $z$ et $\overline{z}$ sont des nombres complexes conjugués. \end{defi}

\noindent \textit{Interprétation géométrique du conjugué : }
Les images de deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l'axe des réels :
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.6]{conjugues_sym.png}
%\\ A REFAIRE
%\end{center}
\definecolor{bleu}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{vert}{rgb}{0,1,0}
\definecolor{reel}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{imag}{rgb}{0.9,0.1,0.1}
\definecolor{gris25}{gray}{0.75}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=1]
\draw[-,color=black] (-1,0) -- (6.5,0);
\draw[-,color=black] (0,-3.6) -- (0,3.6);
\clip(-2.0,-4.9) rectangle (6.5,4.9);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (4,0)-- (4,3);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (0,3)-- (4,3);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (4,0)-- (4,-3);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (0,-3)-- (4,-3);
\draw [->] (0,0) -- (1,0);
\draw [->] (0,0) -- (0,1);
\draw [-,line width=0.3pt] (0,0) -- (4,3);
\draw [-,line width=0.3pt] (0,0) -- (4,-3);
\draw (-0.5,-0.1) node[anchor=north west] {$O$};
\draw (0.3,0.03) node[anchor=north west] {\scriptsize $ \vect{ e_1 } $};
\draw (-0.5,0.65) node[anchor=north west] {\scriptsize $ \vect{ e_2 } $};
\draw[color=bleu] (4.2,0.0) node[anchor=north] {$x$};
\draw[color=bleu] (-0.0,3.0) node[anchor=east] {$y$};
\draw[color=bleu] (-0.0,-3.0) node[anchor=east] {$-y$};
\fill [color=black] (0,0) circle (1pt);
\fill [color=black] (4,3) circle (1pt);
\fill [color=black] (4,-3) circle (1pt);
\draw[color=bleu] (5.2,3.25) node {$M(z=x+iy)$};
\draw[color=bleu] (5.2,-3.25) node {$M'(\overline{z}=x-iy)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\Expl{Le conjugué de $z=4-2i$ est $ \overline{z}=4+2i$, le conjugué de $i$ est $-i$, de $7$ est $7$. }

\Rq{On a $\re(z)=\re(\overline{z})$}

\begin{coro}[Critère pour q'un nombre complexe soit réel (resp. imaginaire pur)]On a :
$$ z+\overline{z}=2\re(z)\qquad \qquad \qquad z-\overline{z}=2i\im(z)$$
Et les propriétés suivantes : $$ z\text{ est réel}\Longleftrightarrow z=\overline{z}\qquad \text{ et } z\text{ est imaginaire pur }\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$\end{coro}

\Dem{Notons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux réels. Ainsi : 
$$z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\re(z) \text{ et }z-\overline{z}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\im(z)$$
On en déduit immédiatement que :
$$ \text{$z$ est réel}\Longleftrightarrow \im(z)=0\Longleftrightarrow z-\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=\overline{z}$$
$$ z \text{ est imaginaire pur} \Longleftrightarrow \re(z)=0\Longleftrightarrow z+\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$}

\begin{theo}Pour tout nombre complexe $z=x+iy$, on a :
$$ z\overline{z}=x^2+y^2\in\R$$\end{theo}

\Dem{$z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy-i^2y=x^2+y^2$}

\Applic{Pour écrire les nombres complexes fractionnaires sous la forme $x+iy$, i.e sous la forme algébrique on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée.\\
$\dfrac{a+ib}{c+id}=\dfrac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}
=\dfrac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2} 
\left(=\dfrac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2} \right)$}

\Expl{\begin{enumerate}
\item $\dfrac{2+4i}{1-i}=\dfrac{(2+4i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2+4i+2i+4i^2}{1^2+1^2}=\dfrac{-2+6i}{2}=-1+3i$
\item $\dfrac{1}{2i+3}=\dfrac{-2i+3}{4+9}=\dfrac{3}{13}-\dfrac{2i}{13}$
\end{enumerate}}

\Exoi{Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : $ \dfrac{1-i}{1+i}$ et $ \dfrac{1}{2+i}$ }

\begin{prop}Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, on a : \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
\item $ \overline{-z}=-\overline{z}$
\item $ \overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
\item $ \overline{z^n}=\overline{z}^n$
\item $ \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z} }{ \overline{z'} }$ (avec $z'\neq 0$) 
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{prop}

\Dem{Soit $z=x+iy$ et $z'=x-iy$ (avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels), alors :
$$ \overline{z+z'}=\overline{x+iy+x'+iy'}=\overline{x+x'+i(y+y')}=x+x'-i(y+y')$$
$$ \overline{z}+\overline{z'}=\overline{x+iy}+\overline{x'+iy'}=x-iy+x'-iy'=x+x'-i(y+y')$$
Par conséquent $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$.
\\
On démontre de manière similaire les autres égalités.}

\Exoi{Déterminer les conjugués des nombres complexes suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z=\dfrac{4-5i}{3+i}$
\item $z=\dfrac{1}{2+i}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Déterminer le lieu des points $M$ d'affixe $z$ telle que $ \dfrac{iz-1}{z-i}$ soit réel.}

\Applic{Si un polynôme, à coefficients réels, admet un nombre complexe $z$ comme racine alors $ \overline{z}$ est aussi une racine de $P$ puisque, d'après les propriétés de la conjugaison (qui commute avec les exposants, les produits et les sommes) : $$ P(\bar{z})=\overline{P(z)}$$
Et donc si $P( z )=0$ alors $ \overline{P(z)}=0$ d'où $P( \overline{z})=0$  }

\Expl{On donne $P(x)=x^2+1$. Déterminer les racines de $P$ et vérifier qu'elles sont conjuguées.}

\Exoi{
On considère le complexe $z=x^2+y^2-2x-3+i(2x-1+y)$
\begin{enumerate}
\item Déterminer et représenter l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ tel que $z$ soit un réel.
\item Déterminer et représenter l'ensemble $F$ des points $M'$ d'affixe $z$ tel que $z$ soit un imaginaire pur.
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère dans $\C$ le polynôme défini par :
$$ P(z)=z^4+4$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que si le complexe $\alpha$ est solution, il en est de même pour $-\alpha$.
\item Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$ on a $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$
\item Calculer $P(1+i)$ et en déduire les solutions de $P(z)=0$.
\end{enumerate}}
\subsection{Premiers calculs géométriques}
\begin{prop}Dans le repère orthonormé $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$, notons $z_A$ l'affixe du point $A$ et $z_B$ l'affixe du point $B$, alors l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$ \end{prop}

\Dem{Notons $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $z_A=x_A+iy_A$ et $z_B=x_B+iy_B$.\\
On a $ \overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$, donc l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ est $(x_B-x_A+i(y_B-y_A) $\\
D'autre part, $z_B-z_A=x_B+iy_B-(x_A+iy_A)=x_B-x_A+i(y_B-y_A)$\\
Par conséquent l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ est $ z_B-z_A$ }

\Expl{L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ avec $A(3;5)$ et $B(5;8)$ est donc $z=2+3i$ }

\begin{prop}Dans un plan complexe, soient les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ d'affixe respective $z_{\overrightarrow{u}}$ et $z_{\overrightarrow{v}}$.
\begin{enumerate}
\item Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont égaux ssi ils ont même affixe. \\
Autrement dit, $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v} \Longleftrightarrow z_{\overrightarrow{u}}=z_{\overrightarrow{v}}$.
\item L'affixe du vecteur somme $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ est la somme des affixes des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. \\
Autrement dit, $z_{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}=z_{\overrightarrow{u}}+z_{\overrightarrow{v}}$.
\item $\forall \lambda \in \R$, le vecteur $\lambda \overrightarrow{u}$ a pour affixe le produit  du réel $\lambda$ par l'affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$. \\
Autrement dit, $z_{\lambda \overrightarrow{u}}=\lambda z_{\overrightarrow{u}}$.
\item $I$ est le milieu de $[AB]$ $\Longleftrightarrow$ $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
\item La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ amène le point $M(z)$ sur le point $M'(z')$ tel que $z'=z+z_{\overrightarrow{u}}$.
\end{enumerate}\end{prop}

\Exoi{On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1+2i$ et $z_B=2-i$. Déterminer l'affixe de $C$ tel que $OABC$ soit un parallélogramme :
\begin{enumerate}
\item en utilisant les affixes de vecteurs ;
\item en utilisant les affixe d'un milieu.
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A=\dfrac{3}{2}i$, $z_B=2+\dfrac{1}{2}i$, $z_C=1-\dfrac{3}{2}i$ et $z_D=-1-\dfrac{1}{2}i$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points sur un graphique puis déterminer l'affixe du milieu $I$ du segment $[AC]$.
\item Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$. Que peut-on en déduire ?
\item Déterminer l'affixe du point $E$ symétrique de $A$ par rapport à $B$.
\end{enumerate}}
\pagebreak

\section{Equations du second degré à coefficients réels}
\subsection{Equations du type $x^2=a$ où $a\in\R$}

\label{rac_de_reel}

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a\geq 0$ alors $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$ (cas déjà connu depuis le collège).
\item[$\bullet$] Dans le cas contraire on a $a<0$, on peut donc considérer le nombre $i \sqrt{-a}$ qui vérifie l'équation $x^2=a$, on a : 
%\vspace*{-11mm} 
\begin{eqnarray*}
& x^2=a\\
\Longleftrightarrow & x^2-a=0\\
\Longleftrightarrow & x^2-\left(i\sqrt{-a}\right)^2=0\\
\Longleftrightarrow & \left(x-i \sqrt{-a}\right)\left(x+i \sqrt{-a} \right)=0\\
\Longleftrightarrow & x=i \sqrt{-a} \qquad \text{ou} \qquad x=-i \sqrt{-a}\\
\end{eqnarray*}
%\vspace*{-18mm} 
%\\
Ainsi même $-i \sqrt{-a}$ est une solution de cette équation, et ce sont les deux seules solutions.
\end{itemize} 

\vspace{5mm}
D'où le résultat suivant : \\

\begin{prop}
\label{prop_rac_de_reels}
Soit $a \in \R$. 
L'équation $x^2=a$ possède deux solutions dans $\C$ :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a\geq 0$, ce sont les réels suivants :  $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$.
\item[$\bullet$] Si $a<0$, ce sont les imaginaires purs conjugués suivants : $x=i \sqrt{-a} \qquad \text{ou} \qquad x=-i \sqrt{-a}$
\end{itemize}
\end{prop}

\Exoi{
Résolvons dans $\C$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2=-3$
\item $z^2+\dfrac{3}{4}=0$
\item $z^2=\cos^2\theta-1$ pour $\theta$ un réel fixé.
\item $x+\dfrac{1}{x}=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Sol{ 
\begin{enumerate}
\item $x^2=-3 \Longleftrightarrow x=i \sqrt{3} \quad \text{ou} \quad x=-i \sqrt{3}$ \\
$S=\left\lbrace i\sqrt{3} ; -i\sqrt{3} \right\rbrace$.
\item $z^2+\dfrac{3}{4}=0 \Longleftrightarrow z^2=-\dfrac{3}{4} 
\Longleftrightarrow z=i \sqrt{\dfrac{3}{4}} \quad \text{ou} \quad z=-i \sqrt{\dfrac{3}{4}} 
\Longleftrightarrow z=\dfrac{i\sqrt{3}}{2} \quad \text{ou} \quad z=\dfrac{-i\sqrt{3}}{2}$ \\
$S=\left\lbrace \dfrac{i\sqrt{3}}{2} ; -\dfrac{i\sqrt{3}}{2} \right\rbrace$.
\item $z^2=\cos^2\theta-1 \Leftrightarrow z^2=-\sin^2\theta 
\Leftrightarrow z=i\sqrt{\sin^2\theta} \; \text{ou} \; z=-i \sqrt{\sin^2\theta}
\Leftrightarrow z=\pm i\sin\theta \; \text{ou} \; z=\mp i \sin\theta$ \\
$S=\left\lbrace i\sin\theta ; -i\sin\theta \right\rbrace$.
\item $x+\dfrac{1}{x}=0$ \\
Valeurs interdites : $x=0$. \\
Pour $x\neq 0$ : $x+\dfrac{1}{x}=0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac{1}{x} 
\Longleftrightarrow x^2=-1 \Longleftrightarrow x=i \quad \text{ou} \quad x=-i$ \\
$S=\left\lbrace i ; -i \right\rbrace$.
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\subsection{Equations du type $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq 0$}

\label{subsec:eq2deg}

Considérons le discriminant $\Delta= b^2-4ac$.
\begin{enumerate}
\item Les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) lorsque $\Delta \geq 0$ (démontré en première) sont 
$$ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}$$
\item On suppose que $\Delta<0$. 
%On a vu en première que 
%$$ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$$
\\$
\begin{array}{r @{\,\Longleftrightarrow\,} l}
ax^2+bx+c=0 & a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)=0 \\
& x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0 \\
& x^2+2 \times x \times \dfrac{b}{2a}+\dfrac{c}{a}=0 \\
& \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 +\dfrac{c}{a} =0 \\
& \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{4ac}{4a^2} =0 \\
& \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} =0 \\
& \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0 \\
\end{array}
$ \\
On remarque que $ \Delta=\left(i \sqrt{-\Delta}\right)^2 $ (cf la propriété \ref{prop_rac_de_reels} page \pageref{rac_de_reel}). 
Par conséquent : 
\begin{eqnarray*}
& \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0\\
\Longleftrightarrow & \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2=0\\
\Longleftrightarrow & \left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)=0\\
\Longleftrightarrow & x=\dfrac{-b-i \sqrt{-\Delta} }{2a}\qquad \text{ ou }\qquad x=\dfrac{-b+i \sqrt{-\Delta} }{2a}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

D'où le résultat suivant : \\

\begin{theo}
L'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, $b$ et $c$ réels, en notant $\Delta=b^2-4ac$,  possède deux solutions (distinctes ou confondues) dans $\C$ :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $\Delta\geq 0$, ce sont les réels suivants : $$ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}$$
\item[$\bullet$] Si $\Delta<0$, ce sont les complexes conjugués suivants : $$ x_1=\dfrac{-b-i \sqrt{-\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b+i \sqrt{-\Delta} }{2a}$$
\end{itemize}
Dans tous les cas (quelque soit le signe de $\Delta$), on obtient la factorisation : 
\centering $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$\end{theo}


\Exoi{Résoudre, dans $\C$, les équations suivantes :
$$ 2z^2-3z+4=0\qquad \qquad x^2-2x+2=0\qquad \qquad 2z^4+z^2-10=0$$}

\Sol{\begin{enumerate}
\item $ 2z^2-3z+4=0$ \\
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times 2\times 4=9-32=-23<0$ \\
Donc  $z_1=\dfrac{-b-i \sqrt{-\Delta} }{2a}=\dfrac{3-i \sqrt{23} }{4} \qquad \text{ et }\qquad z_2=\dfrac{-b+i \sqrt{-\Delta} }{2a}=\dfrac{3+i \sqrt{23} }{4}$ \\
$S=\left\lbrace \dfrac{3-i \sqrt{23} }{4} ; \dfrac{3+i \sqrt{23} }{4} \right\rbrace$.
\item $x^2-2x+2=0$ \\
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1\times 2=4-8=-4<0$ \\
Donc  $x_1=\dfrac{-b-i \sqrt{-\Delta} }{2a}=\dfrac{2-i \sqrt{4}}{2}=\dfrac{2-2i}{2}=1-i \qquad \text{ et }\qquad x_2=\overline{x_1}=1+i$ \\
$S=\left\lbrace 1-i ; 1+i \right\rbrace$.
\item $2z^4+z^2-10=0$ \\
On pose $Z=z^2$ donnant $z^4=Z^2$. 
Ainsi l'équation $2z^4+z^2-10=0$ s'écrit $2Z^2+Z-10=0$. \\
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 2 \times (-10)=1+80=81=9^2>0$. \\
Donc $Z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}=\dfrac{1-9}{4}=\dfrac{-8}{4}=-2 \;\; \text{ et }\;\; Z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=\dfrac{1+9}{4}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2} \; (=2,5)$ \\
On doit alors résoudre $z^2=Z_1 \Longleftrightarrow z^2=-2 
\Longleftrightarrow z_1=i\sqrt{2} \qquad \text{ et }\qquad z_2=-i\sqrt{2}$ \\
\hspace*{33mm} et $z^2=Z_2 \Longleftrightarrow z^2=\dfrac{5}{2} 
\Longleftrightarrow z_3=\sqrt{\dfrac{5}{2} } \qquad \text{ et }\qquad z_4=-\sqrt{\dfrac{5}{2} }$ \\
On peut vérifier aisément que $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont bien solution de l'équation $2z^4+z^2-10=0$. \\
$S_{\left\lbrace 2z^4+z^2-10=0 \right\rbrace}=\left\lbrace i\sqrt{2} ; -i\sqrt{2} ; \sqrt{\dfrac{5}{2} } ; -\sqrt{\dfrac{5}{2} } \right\rbrace$
\end{enumerate}}

\Rq{En définitive, si $\Delta>0$, les deux racines sont réelles et distinctes ; 
si $\Delta=0$, il y a une racine double réelle (les deux racines sont confondues) ; 
si $\Delta<0$, les deux racines sont complexes non réelles conjuguées et distinctes.}
%\pagebreak
\section{Module et argument d'un nombre complexe}
\subsection{Module}
\definecolor{bleu}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{vert}{rgb}{0,1,0}
\definecolor{reel}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{imag}{rgb}{0.9,0.1,0.1}
\definecolor{gris25}{gray}{0.75}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=1]
\draw[-,color=black] (-1.0,0) -- (6.5,0);
\draw[-,color=black] (0,-1) -- (0,3.6);
\clip(-2.0,-1.8) rectangle (6.5,4.9);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (4,0)-- (4,3);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (0,3)-- (4,3);
\draw [->] (0,0) -- (1,0);
\draw [->] (0,0) -- (0,1);
\draw [-,color=vert1,line width=0.6pt] (0,0) -- (4,3);
\draw (-0.5,-0.1) node[anchor=north west] {$O$};
\draw (0.15,-0.1) node[anchor=north west] {$ \vect{ e_1 } $};
\draw (-0.75,0.75) node[anchor=north west] {$ \vect{ e_2 } $};
\draw[color=bleu] (4,0.0) node[anchor=north] {$x$};
\draw[color=bleu] (-0.0,3.0) node[anchor=east] {$y$};
\draw[color=vert1] (0.5,1.15) node[anchor=north west,rotate=37] {\small $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$};
\fill [color=black] (0,0) circle (1pt);
\fill [color=black] (4,3) circle (1pt);
\draw[color=bleu] (5.2,3.25) node {$M(z=x+iy)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{defi}On considère $z$ un nombre complexe, $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels). Le module de $z$ est le nombre réel positif noté $|z|$ et défini par $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.\end{defi}

\Rq{\begin{itemize}
\item Si $z$ est l'affixe d'un point $M$, le module de $z$ n'est autre que la distance $OM$ : $OM=|z|$. Par conséquent si $z$ est l'affixe d'un vecteur $ \overrightarrow{AB}$ alors $AB=|z_B-z_A|$
\item Si $z=x+iy$ est réel ($y=\im(z)=0$), on a $|z|=\sqrt{x^2}=|x|$. Le module d'un nombre réel est donc sa valeur absolue, ce qui justifie la notation.
\item On a :
$$ z\overline{z}=|z|^2$$
\end{itemize}}


\Expl{Si $z=3-4i$, alors $|z|=5$. Si $z=9i$ alors $|z|=9$. }

\Exoi{On donne $z_A=-1+4i$ et $z_B=2-i$. Notons $A$ l'image de $z_A$ et $B$ l'image de $z_B$ ; calculer la distance $AB$.}

\begin{prop}\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $|z|\geq 0$ pour tout nombre complexe $z$
\item $|z|=0\Longleftrightarrow z=0$
\item Si $z=x+iy$ alors $|z|\geq max(|x|,|y|)$
\item $|zz'|=|z||z'|$
\item $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\item $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{prop}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item $|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0$
\item $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$
\item $x\leq \sqrt{x^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|$ et de même $y\leq \sqrt{y^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|$
\item $$|zz'|^2=zz'\overline{zz'}=zz'\overline{z}\overline{z'}=z \overline{z} z' \overline{z'}= |z|^2|z'|^2$$
Comme un module est positif on obtient : $|zz'|=|z||z'|$
\item $$ \left|\dfrac{z}{z'}\right|^2=\dfrac{z}{z'}\overline{\dfrac{z}{z'} }=\dfrac{z \overline{z} }{z' \overline{z'} }=\dfrac{|z|^2}{|z'|^2}$$
Comme un module est positif on obtient : $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\item Pour comprendre l'inégalité triangulaire il suffit d'observer cette figure :
\end{enumerate}
\begin{multicols}{2}
On a bien $OP\leq OM+OM'$\\
et donc $|z+z'|\leq |z|+|z'|$
 \begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{complexe.2}
\end{center}
\end{multicols}
\underline{Démonstration plus rigoureuse} :
Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de chaque membre.
Or
$$|z+z'|^2=(z+z')(\overline{z+z'})=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})=|z|^2+(z\overline{z'}
+\overline{z}z')+|z'|^2$$
D'autre part $$(|z|+|z'|)^2=|z|^2+2|zz'|+|z'|^2$$
Il s'agit donc de comparer les \og doubles produits \fg.\\
Or, $z\overline{z'}+\overline{z'}z=z\overline{z'}+\overline{z\overline{z'}}=2\Re(zz')\leq  2|zz'|$ d'après une propriété ci-dessus. Donc 
$$|z+z'|^2=|z|^2+(z\overline{z'}
+\overline{z}z')+|z'|^2\leq|z|^2+2|zz'|+|z'|^2=(|z|+|z'|)^2$$
}

\Exoi{Soient $A(0;4)$, $B(3;0)$ et $C(6;8)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?}

\Applic{Soient $u$ et $v$ deux nombres complexes distincts et de même module $r$, montrer que $ \dfrac{u+v}{u-v}$ est un imaginaire pur. On a :
$$ \overline{\left(\dfrac{u+v}{u-v}\right)}=\dfrac{\overline{u}+\overline{v} }{\overline{u}-\overline{v} }=\dfrac{uv \overline{u}+uv \overline{v}  }{uv \overline{u}-uv \overline{v}}=\dfrac{|u|^2v+u|v|^2}{|u|^2-u|v|^2}= \dfrac{r^2v+ur^2}{r^2-ur^2}=-\dfrac{u+v}{u-v}$$
Ce qui prouve que $ \dfrac{u+v}{u-v}$ est un imaginaire pur. }

\subsection{Argument d'un nombre complexe}
\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{complexe.5}
\end{center}

\Cadre[Rappel sur le coordonnées polaires : ]{
\textit{On se place dans un plan $\mathcal P$ avec un repère orthonormal direct $\left(O ; \vect{e_1}, \vect{e_2}\right)$. Soit $M$ un point du plan $\mathcal P$ distinct de l'origine $O$. \\
Les coordonnées polaires du point $M$ sont les couples $(r ; \theta)$ tel que $r=OM$ et $\theta$ est une mesure de l'angle orienté $(\vect{e_1}, \vect{OM})$.
On se souvient que $r$ est défini de façon unique mais que $\theta$ n'est défini qu'à l'addition d'un multiple entier de $2 \pi$ près. \\
Le lien entre les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes $(x;y)$ de $M$ est défini par les égalités : $x=r \cos \theta$ et $y=r \sin \theta$. \\
Et réciproquement $r=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\cos \theta = \dfrac{x}{r}$, $\sin \theta = \dfrac{y}{r}$. \\
Ainsi l'affixe du point $M$ est alors $r \cos \theta+i r \sin \theta=r (\cos \theta + i \sin \theta)$.}}
\end{multicols}
\begin{defi}$z$ est un nombre complexe non nul d'image $M$, $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels). On appelle argument  de $z\neq 0$ toute mesure, en radians,  de l'angle $(\overrightarrow{e_1} \ ; \ \overrightarrow{OM})$. On note $\theta=arg(z)$ \end{defi}

\Rq{Un nombre complexe possède une infinité d'arguments ! En effet si $\theta$ est un argument de $z$, tout autre argument est de la forme $\theta+2k\pi$ ($k\in\Z$). L'unique argument appartenant à l'intervalle $]-\pi;\pi]$ s'appelle l'argument principal.\\
On notera par exemple $arg(z)=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$ ou $arg(z)=\dfrac{\pi}{4}$ modulo $2\pi$ pour signifier que $arg(z)$ peut-être égal à $ \dfrac{\pi}{4}$ mais aussi à n'importe lequel des nombres $ \dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ où $k\in\Z$. }

\Att{Le nombre complexe $z=0$ ne possède pas d'argument car, dans ce cas, l'angle $(\overrightarrow{e_1} \ ; \ \overrightarrow{OM})$ ne se défini pas.}

\Exoi{Déterminer un argument des nombres complexes suivants : $i$, $1$, $-1$, $-i$ et $1+i$.}

\Rq{\begin{itemize}
\item Si $z\in \R^+$ alors $arg(z)=0[2\pi]$, si $z\in\R^-$ dans ce cas $arg(z)=\pi[2\pi]$
\item De la même manière un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement positive a un argument égal à $ \dfrac{\pi}{2}[2\pi]$ et un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement négative a un argument égal à $-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$. Par conséquent :
$$ z\in i\R\Longleftrightarrow z=0 \text{ ou }arg(z)=\dfrac{\pi}{2}[\pi]$$
\end{itemize}}

\begin{prop}Tout complexe $z$ non nul peut s'écrire sous la forme, dite trigonométrique, $r (\cos \theta + i \sin \theta)$ avec $r>0$ (réel) et $\theta \in \R$. \\
Le réel $r$ est égal à $|z|$, et tout réel $\theta$ convenable est appelé argument du complexe $z$, noté $\arg(z)$.\\
Le complexe $0$ n'a pas d'argument.\end{prop}

\Rq{\begin{enumerate}
\item Le nombre complexe nul n'a pas de forme trigonométrique (puisque pas d'argument).
\item Un nombre complexe possède une infinité d'arguments ! En effet si $\theta$ est un argument de $z$, tout autre argument est de la forme $\theta+2k\pi$ ($k\in\Z$). L'unique argument appartenant à l'intervalle $]-\pi;\pi]$ s'appelle l'argument principal.\\
On notera par exemple $\arg(z)=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]$ ou $\arg(z)=\dfrac{\pi}{4}$ modulo $2\pi$ pour signifier que $\arg(z)$ peut-être égal à $ \dfrac{\pi}{4}$ mais aussi à n'importe lequel des nombres $ \dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ où $k\in\Z$. 
\item L'argument d'un nombre complexe n'étant pas unique, il en va de même de la forme trigonométrique, contrairement à la forme algébrique.
\item On remarquera enfin que deux nombres complexes non nuls sont égaux ssi ils ont même module et même argument principal.
\end{enumerate}}

%\Rq{Le nombre complexe nul n'a pas de forme trigonométrique (puisque pas d'argument)}

%\Exop{Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants : $i$, $1$, $-1$, $-i$ et $1+i$.}

\Exoi{Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants : $i$, $1$, $-1$, $-i$ et $1+i$.}

\Exoi{Déterminer une forme trigonométrique de $z=-2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right] $}
%\Rq{L'argument d'un nombre complexe n'étant pas unique, il en va de même de la forme trigonométrique, contrairement à la forme algébrique.}
\begin{prop}Soient $z,z' \in \C$, $z \neq 0$ et $z' \neq 0$.
\begin{enumerate}
\item \textit{Conjugué : } $\arg(\overline{z})=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item \textit{Opposé : } $\arg(-z)=arg(z)+\pi\,[2\pi]$
\item $\arg(-\overline{z})=\pi-\arg(z)\,[2\pi]$
\item \textit{Produit : } $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')\,[2\pi]$
\item \textit{Inverse : } $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item \textit{Quotient : } $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$
\item \textit{Puissance : } $\forall n\in \mathbb Z$, $\arg(z^n)=n\times \arg(z)\,[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{prop}

\Dem{Les trois premières propriétés se déduisent immédiatement de la figure suivante :
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5) 
\psaxes{->}(0,0)(1,1) 
\psline{->}(-3,-2)(3,2) 
\psline{->}(3,-2)(-3,2) 
\psline(-3.5,0)(3.5,0) 
\psline(0,-2.5)(0,2.5) 
\pspolygon[linestyle=dashed](3,-2)(3,2)(-3,2)(-3,-2) 
\rput(-0.15,-0.3){$O$} 
\rput(0.72,-0.25){$ \overrightarrow{e_1} $} 
\rput(-0.3,0.5){$ \overrightarrow{e_2} $} 
\rput(3.5,2.3){$M_1(z)$} 
\rput(3.5,-2.3){$M_4(\overline{z})$} 
\rput(-3.5,-2.3){$M_3(-z)$} 
\rput(-3.5,2.3){$M_2(-\overline{z})$} 
\rput(3.3,-0.3){$\textcolor{red}{x}$}
\rput(-0.3,2.3){$\textcolor{blue}{y}$} 
\rput(-3.3,-0.3){$\textcolor{red}{-x}$} 
\rput(-0.3,-2.3){$\textcolor{blue}{-y}$} 
\end{pspicture} 
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[4] Soit $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$,  alors 
$$zz'=rr'[(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta')]$$ 
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition (vu en première), vous en déduisez que 
$$zz'=z=rr'(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta'))$$
Ainsi, nous arrivons au résultat capital : $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') [2\pi]$
\item[5] $arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=arg\left(z\times\dfrac{1}{z'}\right)=arg(z)-arg(z')[2\pi]$\\
En effet $0=arg(1)=arg(\dfrac{1}{z}\times z)=arg(\dfrac{1}{z}+arg(z)$
\item[6] $\forall n\in \mathbb N$, $arg(z^n)=arg(z^{n-1})+ arg(z)=arg(z^{n-2})+ 2arg(z)= \dots=n\times arg(z)[2\pi]$
\\
Si $n<0$, alors $$ arg(z^n)=arg\left(\dfrac{1}{z^{-n}}\right)=-narg\left(\dfrac{1}{z}\right)=n arg(z)[2\pi]$$
Si $n=0$, c'est trivial.
\end{enumerate}
}

\Rq{\textbf{Pour multiplier deux nombres complexes non nuls, on multiplie les modules et on additionne les arguments. Pour diviser deux nombres complexes non nuls, on divise les modules et on soustrait les arguments}}

\Exoi{Déterminer une forme trigonométrique de $z=-2 \sqrt{3}+2i$ puis de $z'=3-4i$, en déduire une forme trigonométrique de $zz'$ et de $ \dfrac{z}{z'}$  }

\Exoi{Soit $z=3\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$ et $z'=2\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$. Calculer $zz'$}

\subsection{Forme Exponentielle}
Nous allons voir maintenant une troisième façon, fort commode, de noter les nombres complexes. \\
Soit $z$ un nombre complexe de module $r$ et d'argument $\theta$, alors on a vu que :$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$
Il s'agit ici de la forme trigonométrique d'un nombre complexe, on choisit d'adopter la notation suivante :
\begin{defi}Pour tout réel $\theta$ on note :
$$e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin\theta$$ (formule d'Euler, important mathématicien suisse).
 \end{defi}
Ainsi on obtient : $$ z=re^{i\theta}$$
Cette notation présente de nombreux avantages, en plus d'alléger la notation trigonométrique, si l'on considère deux nombres complexes $z$ et $z'$ de module $r$ et $r'$ et d'argument $\theta$ et $\theta'$, alors on a vu que le module de $zz'$ est $rr'$ et l'argument de $zz'$ est $\theta+\theta'$. Observons le calcul suivant :
$$ zz'=re^{i\theta}r'e^{i\theta'}=rr'e^{i\theta+i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}$$
On retrouve le module et l'argument du nombre complexe $zz'$ en utilisant les règles de calculs sur les puissances.

\Rq{\begin{enumerate}
\item $e^{i\theta}$ désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\theta$ : $|e^{i\theta}|=1$ et $arg(e^{i\theta})=\theta[2\pi]$
\item Tout nombre complexe $z$ d'argument $\theta$ et de module $r$ s'écrit $z=re^{i\theta}$, Cette écriture est appelée \textbf{forme exponentielle}, comme la forme trigonométrique elle n'est pas unique.
\end{enumerate}
}

\Expl{%\begin{multicols}{2}
$e^{i0}=\cos 0+i\sin 0=1$ %\\
\hspace*{25mm} 
$e^{i \dfrac{\pi}{2} }=\cos \dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}=i$ \\
%\columnbreak \\
\hspace*{25mm} 
$e^{i2\pi}=\cos 2\pi+i\sin2\pi=1$ %\\
\hspace*{25mm} 
$e^{-i \dfrac{\pi}{2} }=\cos \dfrac{-\pi}{2}+i\sin \dfrac{-\pi}{2}=-i$ \\
\hspace*{25mm} 
$e^{i\pi}=\cos \pi+i\sin\pi=-1$ donnant la fameuse identité d'Euler $e^{i\pi}+1=0$ qui lie tous les nombres fondamentaux de l'analyse : $e$, $i$, $\pi$, $1$ et $0$ (on la retrouve sous forme $e^{i\pi}=-1$ au plafond de la salle des mathématiques du Palais de la découverte, Paris 75008).
%\end{multicols}}
}

\Rq{Le conjugué de $e^{i\theta}$ est $ \overline{e^{i\theta}}=\cos \theta-i\sin\theta=\cos \theta+i\sin(-\theta)=\cos\left(-\theta\right)+i\sin(-\theta)= e^{-i\theta}$}

Une simple transcription des propriétés vues sur les arguments donne alors :
\begin{prop}$\forall \theta$ et $\theta'$ de $\R$ on a :
$$ e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\qquad \qquad \dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}\qquad \qquad \left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}\text{ pour }n\in\Z$$\end{prop}

\Exoi{Soit $z=3e^{i \frac{3\pi}{4} }$ et $z'=5e^{i \frac{\pi}{12} }$, donner une forme exponentielle de $zz'$ et de $ \dfrac{z}{z'}$ }

\Exoi{\begin{enumerate}
\item On note $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}-i$. Déterminer les formes exponentielles de $z_1$ et $z_2$
\item En déduire la forme exponentielle du nombre complexe $z=\dfrac{z_1^4}{z_2^3}$
\item Calculer $(1+i)^{14}$
\end{enumerate}}

\underline{Enigme} \footnote{Réponse : La relation $\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$ n'est valable que si $n\in\Z$} : Trouver l'erreur dans le calcul suivant :
\begin{eqnarray*}
& e^{i2\pi}=1\\
\Longleftrightarrow & \left(e^{i2\pi}\right)^x=1^x=1\\
\Longleftrightarrow & e^{i2\pi x}=1\\
\text{ pour $x=\dfrac{1}{4}$ on obtient : }& e^{i \dfrac{\pi}{2}}=1\\
\text{ d'où : }& i=1\\
\end{eqnarray*}

%\subsection{Toutes les manières d'écrire un nombre complexe}
\Rq{
Retrouvons les formulons d'additions du cosinus et du sinus pour $a,b \in \R$ : \\
$\begin{array}{r @{\,\Longleftrightarrow\,} l}
e^{i(a+b)}=e^{i a} \, e^{i b} 
& \cos(a+b)+i\sin(a+b)=(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b)) \\
& \cos(a+b)+i\sin(a+b)=\cos(a)\cos(b)+i\cos(a)\sin(b)+i\sin(a)\cos(b)+i^2\sin(a)\sin(b) \\
& \cos(a+b)+i\sin(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)+i(\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)) \\
& \left\lbrace
	\begin{array}{l}
	\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) \\
	\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)
	\end{array}
	\right.
\end{array}$ \\
On en déduit : \\
$\begin{array}{r @{\,=\,} l}
\cos(a-b) & \cos(a+(-b)) \\
& \cos(a)\cos(-b)-\sin(a)\sin(-b) \\
& \cos(a)\cos(b)-\sin(a)(-\sin(b)) \\
& \cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)
\end{array}$ \\
et : \\
$\begin{array}{r @{\,=\,} l}
\sin(a-b) & \sin(a+(-b)) \\
& \sin(a)\cos(-b)+\sin(-b)\cos(a) \\
& \sin(a)\cos(b)+(-\sin(b))\cos(a) \\
& \sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a) 
\end{array}$ \\
\textit{Autre rédaction des formules de soustractions :} \\
$\begin{array}{r @{\,\Longleftrightarrow\,} l}
e^{i(a-b)} = e^{i a}\,e^{-i b} 
& e^{i(a-b)} = e^{i a}\,\overline{e^{i b}} \\
& \cos(a-b)+i\sin(a-b)=(\cos(a)+i\sin(a)) \overline{(\cos(b)+i\sin(b))} \\
& \cos(a-b)+i\sin(a-b)=(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)-i\sin(b)) \\
& \cos(a-b)+i\sin(a-b)=\cos(a)\cos(b)-i\cos(a)\sin(b)+i\sin(a)\cos(b)-i^2\sin(a)\sin(b) \\
& \cos(a-b)+i\sin(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)+i(\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)) \\
& \left\lbrace
	\begin{array}{l}
	\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b) \\
	\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)
	\end{array}
	\right.
\end{array}$ \\
\textit{\textbf{Attention :}} Ceci ne consiste pas une démonstration des formules d'addition du cosinus et du sinus car pour démontrer $e^{i(a+b)}=e^{i a}\times e^{i b}$, on a utilisé ces formules.}
\pagebreak

\subsection{Interprétation géométrique}

\subsubsection{Calculs de distances}

Rappelons que si $z_A=x_A+iy_A$ et $z_B=x_B+iy_B$ sont les affixes respectives de deux points $A$ et $B$ alors
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=|z_{\overrightarrow{AB}}|=\mid z_B-z_A\mid $$

\Expl{Déterminons l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que :
$$ \mid z-2\mid=\mid z+i\mid$$
Pour cela considérons les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=2$ et $z_B=-i$, on a alors :
$$ \mid z-2\mid=\mid z+i\mid\Longleftrightarrow \mid z-z_A\mid=\mid z-z_B\mid\Longleftrightarrow AM=BM $$
L'ensemble recherché est donc la médiatrice du segment $[AB]$}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telles que :
$$ \mid z-3i\mid=2$$
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telles que :
$$ \mid z-2\mid=\mid 2z+i\mid$$
\end{enumerate}}

\Sol{\begin{enumerate}
\item En considérant le point $C$ d'affixe $z_C=3i$ on obtient :
$$  \mid z-3i\mid=2\Longleftrightarrow  \mid z-z_C\mid=2\Longleftrightarrow CM=2$$
L'ensemble recherché est donc le cercle de centre $C$ et de rayon $2$.
\item En considérant les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=2$ et $z_B=-\dfrac{i}{2}$ on obtient :
$$ \mid z-2\mid=\mid 2z+i\mid \Longleftrightarrow  \mid z-2\mid=\mid 2\left(z-z_B\right)\mid\Longleftrightarrow\mid z-z_A\mid=2\mid z-z_B\mid\Longleftrightarrow MA=2MB$$
Pour conclure on utilisera la méthode générale rappelée ci-après.
\end{enumerate}}

\subsubsection{Calculs d'angles}

\begin{theo}Si $A$ et $B$ sont deux points distincts du plan complexe d'affixes respectives $z$ et $z'$ alors :
$$ \left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{AB}\right)= arg(z'-z)[2\pi]$$
\end{theo}


\Dem{Soit $M(z'')$ le point tel que : $ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$.\\
Ainsi : $$ \left(e_1; \overrightarrow{AB}\right)=\left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OM}\right)=arg(z'') [2\pi]$$
De plus $$ z''=z_{\overrightarrow{OM} }=z_{ \overrightarrow{AB} }=z'-z$$
Par conséquent $ \left(e_1; \overrightarrow{AB}\right)=arg(z'-z) [2\pi]$}

\Expl{On donne $A(1)$ et $B(2,i \sqrt{3})$. Déterminer une mesure de l'angle $\left(e_1;\overrightarrow{AB}\right)$. \\
On a : $$ b-a=1+i \sqrt{3}=2\left(\dfrac{1}{2}+i \dfrac{\sqrt{3} }{2}\right)=2e^{i \frac{\pi}{3} } $$
d'où : $$ \left(e_1;\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$$ }

\begin{theo}Si $A$, $B$, $C$  et $D$ sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives $a$, $b$, $c$ et $d$ alors :
$$ \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)[2\pi]$$\end{theo}

\Dem{Les affixes des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{CD}$ sont respectivement $b-a$ et $d-c$.\\
D'après le résultat précédent :
$$ arg(b-a)=\left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{AB}\right)[2\pi]\qquad \text{et}\qquad arg(d-c)=\left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{DC}\right)[2\pi]$$ 
Or, d'après la relation de Chasles sur les angles :
$$  \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)= \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{e_1}\right)+ \left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{CD}\right)[2\pi]=\left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{CD}\right)-\left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{AB}\right)[2\pi]$$
Et d'après les propriétés des arguments :
 $$ arg(d-c)-arg(b-a)=arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)[2\pi]$$
 Au final : $$ \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)[2\pi]$$
 }
 

\begin{coro}$A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ et $D(d)$ étant $4$ points du plan, deux à deux distincts, on a :
\begin{enumerate} 
\item 
$$ (AB) \perp (CD)\Longleftrightarrow \dfrac{d-c}{b-a}\in i\R$$
\item $$ (AB) // (CD)\Longleftrightarrow \dfrac{d-c}{b-a}\in\R $$
\end{enumerate}
\end{coro}

\Dem{\begin{enumerate}
\item On a :
\begin{eqnarray*}
& (AB) \perp (CD) \\
\Longleftrightarrow & \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)= \dfrac{\pi}{2}[\pi]\\
\Longleftrightarrow & arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)= \dfrac{\pi}{2}[\pi]\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{d-c}{b-a}\in i\R\\
\end{eqnarray*}
\item On a :
\begin{eqnarray*}
& (AB) //(CD) \\
\Longleftrightarrow & \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)= 0 [\pi]\\
\Longleftrightarrow & arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)= 0 [\pi]\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{d-c}{b-a}\in \R\\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate} }

\Rq{En particulier si $A\neq C$ on a :
$$ \dfrac{b-c}{a-c}\text{ est un imaginaire pur }\Longleftrightarrow \text{ les points }A, B\text{ et }C \text{ sont alignés}$$}
\Expl{On donne $A(5+3i)$ et $B(5-8i)$. Le triangle $OAB$ est-il rectangle en $O$ ?
\\
D'après ce qui précède :
$$ (\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB})=arg\left(\dfrac{b}{a}\right)[2\pi] $$
Or $$ \dfrac{b}{a}=\dfrac{5-8i}{5+3i}=\dfrac{1-55i}{34}\notin i\R$$
Donc les droites $(OA)$ et $(OB)$ ne sont pas perpendiculaires}


\subsubsection{Caractérisation des principaux objets géométriques}
\paragraph{Le cercle}

Le cercle de centre $A$ est de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à la distance $r$ de $A$, par conséquent :

\begin{prop}[caractérisation d'un cercle]$$ M(z)\in\mathscr C(A,r)\Longleftrightarrow \mid z-z_A\mid=r$$\end{prop}

\begin{prop}
Dans le plan complexe, on considère le cercle $\mathscr C$ de centre $\Omega(\omega)$ et de rayon $r$ et un point
$M$ d'affixe $z$. Alors : 
$$M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow z=\omega + re^{i\theta} \quad \textrm{avec} \theta \in[0;2\pi[$$
\end{prop}

\Dem{
On sait que $M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow M\Omega = r \Longleftrightarrow |z-\omega | = r$.\\
On appelle $\theta$ la mesure principal $\left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{\Omega M} \right)$. Alors :
$M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow z-\omega  = re^{i\theta}$.\\
}

\Rq{Cette égalité est appelée équation paramétrique du cercle $\mathscr C$.
}

\Expl{L'ensemble des points d'affixes $z=4i+2+3e^{i\theta}$ avec $\theta \in[0;2\pi[$ représente 
le cercle de centre $\Omega(4i+2)$ et de rayon $3$.
}
\paragraph{Triangle Isocèle}

$ABC$ est un isocèle de sommet principal $A$ si et seulement si $AB=AC$ donc :
\begin{prop}[Triangle Isocèle]$ABC$ est isocèle de sommet principal $A$ $ \Longleftrightarrow \mid z_B-z_A\mid=\mid z_C-z_A\mid \Longleftrightarrow \mid \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\mid=1  $ \end{prop}

\paragraph{Triangle rectangle}
On peut encore parler distance grâce au théorème de Pythagore 
$$|z_C-z_B|^2=|z_B-z_A|^2+|z_C-z_A|^2$$

ou angle droit : mais c'est l'angle géométrique qui nous intéresse, donc
nous travaillerons modulo $\pi$ 
$$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{e_1}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right)=-\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right)=-arg(z_{\overrightarrow{AB}})+arg(z_{\overrightarrow{AC}})=arg\left(\frac{z_{\overrightarrow{AC}}}{z_{\overrightarrow{AB}}}\right)=arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) $$ 

\begin{prop}  $$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\pi}{2}\,[\pi]\Longleftrightarrow
  arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\frac{\pi}{2}\,[\pi]$$\end{prop}

 \paragraph{Interprétation graphique du quotient $ \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} $}
 
 
Il             suffit            de             remarquer            que
$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{z_{\overrightarrow{AC}}}{z_{\overrightarrow{AB}}}$.     Donc     vous
utiliserez le fait que 
\begin{itemize} 
\item $arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC})-(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$
\item $\left|\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\frac{AC}{AB}$
\end{itemize}



Dans  d'autres  cas,  vous  serez confrontés  à  l'interprétation  d'une
égalité du style $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\lambda$ qui se traduit par 
$z_{\overrightarrow{AC}}=\lambda z_{\overrightarrow{AB}}$, donc 
\begin{itemize} 
\item si  $\lambda\in\R$, alors $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$  et donc $A$,  $B$ et
  $C$ sont alignés.  
\item  si  $\lambda\in  i\R$, $z_{\overrightarrow{AC}}=\pm|\lambda|iz_{\overrightarrow{AB}}$  et  donc
  $arg\left(z_{\overrightarrow{AC}}\right)=\pm\frac{\pi}{2}+arg\left(z_{\overrightarrow{AC}}\right)\,[2\pi]$
  c'est à dire $(AC)\bot(AB)$ 
\item si $\lambda=\pm i$, alors le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$ 
\item si $\lambda=e^{\pm i\pi/3}$, alors le triangle ABC est équilatéral

\end{itemize}

\pagebreak

\subsection{Formules de Moivre. Formules d'Euler (Hors Programme)}
\begin{theo}
$\forall \theta\in\R$ et $\forall n\in\Z$ on a :\\
\textbf{Formules de Moivre} : 
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i \sin n\theta \qquad \qquad  (\cos\theta-i\sin\theta)^n=\cos n\theta-i \sin n\theta$$
\textbf{Formules d'Euler} : 
$$\cos \theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\qquad \qquad \qquad \sin \theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$\end{theo}

\Dem{Utilisons les formes exponentielles : 
$$ (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}=\cos n\theta+i \sin n\theta$$
ce qui prouve la première formule de Moivre.
$$ (\cos\theta-i\sin\theta)^n= (\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))^n=\left(e^{-i\theta}\right)^n=e^{-in\theta}=\cos n\theta-i \sin n\theta $$
ce qui prouve la deuxième formule de Moivre.
$$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta +\cos (-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos \theta+i\sin\theta+\cos\theta-i\sin\theta=2\cos \theta$$
d'où la première formule d'Euler.
$$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta -\cos (-\theta)-i\sin(-\theta)=\cos \theta+i\sin\theta-\cos\theta+i\sin\theta=2i\sin \theta$$
d'où la deuxième formule d'Euler.}

\Applic{\begin{enumerate}
\item Linéariser\footnote{Linéariser signifie : obtenir une expression sans exposant} $\sin^3 \theta$ et $\cos^4\theta$
\item Calculer $\cos3\theta$ en fonction de $\cos \theta$ et $\sin 3\theta$ en fonction de $\sin \theta$
\item Démontrer que : $$ x^2-2x\cos\theta +1=\left(x-e^{i\theta}\right)\left(x-e^{-i\theta}\right)$$
\item Calculer, pour tout $t\in\R$ : $$ \re\left({\dfrac{1}{e^{it}-1} }\right)\qquad \text{et}\qquad\re\left({\dfrac{e^{it}}{e^{it}-1} }\right)$$
\item Démontrer que pour tout $\theta\neq \dfrac{\pi}{2}[2\pi]$ : $$ e^{2i\theta}=\dfrac{1+i\tan\theta}{1-i\tan\theta}$$
\item Calculer $S=\sum\limits_{k=0}^{n}e^{ikt}$. En déduire que pour tout $x\in\R$ :
$$ \sin[(2n+1)x]=\sin x\left(2S=\sum\limits_{k=0}^{n}\cos(2kx)-1\right)$$ 
\item On pose $S=\cos p+\cos q$ et $S'=\sin p +\sin q$. Démontrer que $$ S+iS'=2e^{i \frac{p+q}{2} }\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$$
En déduire des expressions de $S$ et $S'$ sous forme de produits. Procéder de même avec $T=\cos p-\cos q$ et $T'=\sin p - \sin q$ 
\end{enumerate}}
\newpage
\Sol{
\begin{enumerate}
\item On a :$$\sin^3\theta=\left(\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^3=\dfrac{e^{3i\theta}-3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}-e^{-3i\theta}}{-8i}=\dfrac{2i\sin 3\theta-6i\sin\theta}{-8i}=-\dfrac{1}{4}\sin 3\theta+\dfrac{3}{4}\sin\theta$$ 
$$\cos^4\theta= \left( \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^4=\dfrac{e^{4i\theta}+4e^{2i\theta}+6+4e^{-2i\theta}+e^{-4i\theta}}{16}=\dfrac{2\cos 4\theta+8\cos 2\theta+6}{16}=\dfrac{1}{8}\cos 4\theta +\dfrac{1}{2}\cos 2\theta+\dfrac{3}{8}$$
\item D'après la formule de Moivre : 
\begin{eqnarray*}
& (\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos 3\theta+i \sin 3\theta \\
\Longleftrightarrow & \cos^3\theta+3i\cos^2\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta=\cos 3\theta+i \sin 3\theta \\
\end{eqnarray*}
En identifiant partie réelle et imaginaire :
$$ \cos3\theta= \cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$
$$ \sin3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta=3(1-\sin^2\theta)\sin\theta-\sin^3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$
\item On développe :
$$ \left(x-e^{i\theta}\right)\left(x-e^{-i\theta}\right)=x^2-\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)x+1=x^2-2x\cos\theta+1$$
\item Pour tout $t\in\R$ on a :
$$ \dfrac{1}{e^{it}-1}=\dfrac{1}{e^{it/2}\left(e^{it/2}-e^{-it/2}\right)}=\dfrac{1}{2ie^{it/2}\sin\left(\frac{t}{2} \right)}=\dfrac{-ie^{-it/2}}{2\sin\left(\frac{t}{2} \right)}=\dfrac{-i\left(\cos \frac{t}{2}-i\sin \frac{t}{2} \right)}{2\sin\left(\frac{t}{2} \right)} =-\dfrac{cos\left(\frac{t}{2}\right)+\sin\left(\frac{t}{2}\right) }{2\sin\left(\frac{t}{2}\right) }$$
Par conséquent : $$ \re\left({\dfrac{1}{e^{it}-1} }\right)=-\dfrac{1}{2} $$
Comme : $$ \dfrac{e^{it}}{e^{it}-1}=\dfrac{1}{1-e^{-it}}$$
on a :$$\re\left({\dfrac{e^{it}}{e^{it}-1} }\right)=\re\left({\dfrac{1}{1-e^{-it}} }\right) =-\re\left({\dfrac{1}{e^{-it}-1} }\right)=\dfrac{1}{2}$$
\item Pour tout $\theta\neq \dfrac{\pi}{2}[2\pi]$, on a :
$$\dfrac{1+i\tan\theta}{1-i\tan\theta}=\dfrac{1+i \frac{\sin\theta}{\cos\theta} }{1-i \frac{\sin\theta}{\cos\theta}}=\dfrac{\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta} }{\frac{\cos\theta-i\sin\theta}{\cos\theta} }=\dfrac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta-i\sin\theta}=\dfrac{e^{i\theta}}{e^{-i\theta}}=e^{2i\theta}$$
\end{enumerate}}
\Sol[suite]{
\begin{enumerate}
\item[6] Pour tout $t\in\R-2\pi\Z$, on a :
$$ S=\sum\limits_{k=0}^{n}e^{ikt}=\dfrac{e^{i(n+1)t-1}}{e^{it}-1}=e^{int}\dfrac{\sin\left(\dfrac{n+1}{2}t\right) }{\sin\left(\dfrac{t}{2}\right) }$$
L'égalité est évidente dans le cas où $t\in 2\pi\Z$\\
Posons $x=\dfrac{t}{2}$, ainsi pour $x\in\R-\pi\Z$ :
$$ \re({\sum\limits_{k=0}^{n}e^{2ikx}})=\cos(nx)\dfrac{\sin[(n+1)x]}{\sin x}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sin[(2n+1)x]-\sin(-x)}{\sin x}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sin[(2n+1)x]}{\sin x}+\dfrac{1}{2}$$
d'où $$ \dfrac{\sin[(2n+1)x]}{\sin x}=2\sum\limits_{k=0}^{n}\cos 2kx-1$$
d'où le résultat.
\item[7] On a : $$ S+iS'=e^{ip}+e^{iq}=e^{i \frac{p+q}{2} }\left(e^{i \frac{p-q}{2}}+e^{-i \frac{p-q}{2} } \right)=2e^{i \frac{p+q}{2} }\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$$
d'où :$$\cos p+\cos q=2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$$
$$ \sin p+ \sin q=2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$$
De même $T+iT'=e^{ip}-e^{iq}=e^{i \frac{p+q}{2} }\left(e^{i \frac{p-q}{2}}-e^{-i \frac{p-q}{2} } \right)=2ie^{i \frac{p+q}{2} }\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$\\
d'où :$$\cos p-\cos q=-2\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)$$
$$ \sin p-\sin q=2\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)$$
\end{enumerate}
}
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%%\section{Nombres complexes et géométrie}
%%\subsection{Calculs de distances}
%%\subsection{Calculs d'angles}
%%\subsection{Interprétation géométrique d'un quotient}
%%\subsection{Caractérisation d'un cercle et d'une médiatrice}
%%\subsection{Forme complexe de transformations du plan}
%%\subsection{Nombre complexe et barycentre}
%%\subsection{Quelques lieux géométriques}
%

\end{document}