  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Correction du Bac Rose}
\newcommand{\Ch}{}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
%\pagestyle{empty}
%\begin{framed}
%\begin{center}
%\begin{LARGE}
% BACCALAUREAT GENERAL ROSE
%\end{LARGE}
%\end{center}
%\end{framed}
%
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.6]{rose.eps}
% \end{center}
%\vfill
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%\underline{SESSION 2014}
%\end{center}
%\end{Large}
%
%\vfill
%
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%\textbf{MATHEMATIQUES-NON SPECIALISTE}
%\end{center}
%\end{Large}
%
%\vfill
%
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%Série : \textbf{S}
%\end{center}
%\end{Large}
%
%\vfill
%
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7}.
%\end{center}
%\end{Large}
%
%\vfill
%
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%\textbf{Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.}
%\end{center}
%\end{Large}
%
%
%
%
%\begin{Large}
%\begin{center}
%L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
%\end{center}
%\end{Large}
%
%\vfill
%\begin{framed}
%\begin{large}
%\begin{center}
%Le candidat doit traiter tous les exercices. 
%\end{center}
%Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
%aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
%raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
%\end{large}
%\end{framed}
%
%\pagebreak
%\clearpage
%\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\fancypagestyle{styleLyc}{%
%\fancyhf{} 
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[C,L,R] {}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\lhead{Bac Blanc}
%\rhead{Avril 2014}


\quad
%\vspace{-17mm}
\vspace{-11mm}

\def\arete{3} 
\def\epaisseur{5} 
\def\rayon{3}
\newcommand{\ruban}{(0,0) 
	++(0:0.57735*\arete-0.57735*\epaisseur+2*\rayon) 
	++(-30:\epaisseur-1.73205*\rayon) 
	arc (60:0:\rayon)	-- ++(90:\epaisseur) 
	arc (0:60:\rayon)	-- ++(150:\arete) 
	arc (60:120:\rayon) -- ++(210:\epaisseur) 
	arc (120:60:\rayon) -- cycle}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[very thick,top color=white,bottom color=gray,scale=0.67] 
	\shadedraw \ruban; 
	\shadedraw [rotate=120] \ruban; 
	\shadedraw [rotate=-120] \ruban;
	\draw (-60:3.5) node[scale=3,rotate=30]{Correction}; 
	\draw (-60:5) node[scale=3,rotate=30]{Bac Rose}; 
	\draw (180:4) node[scale=2,rotate=-90]{Terminale}; 
	\draw (180:5) node[scale=2,rotate=-90]{Scientifique}; 
	%\clip (0,-6) rectangle (6,6); % pour croiser \shadedraw \ruban;
	\draw (60:5) node [gray,scale=2,rotate=-30]{Maths}; 
	\draw (60:4) node [gray,xscale=-2,yscale=2,rotate=30]{Maths}; 
	\draw (0.2,1.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS3}};
	\draw (0.2,0.4) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Obligatoire}};
	%\draw (0.2,-0.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{\&{}}};
	%\draw (0.2,-1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{SpÃ©cialitÃ©}};
	%\draw (-90:1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS1}};
	\draw (10:12.5) node[scale=0.67,rotate=90]{\textit{Lycée Jean Durand, Castelnaudary (Aude, France métropolitaine)}};
	\draw (0:-12.5) node[scale=0.5,rotate=90]{\quad };
\end{tikzpicture}
\end{center}



\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
 
On considère les points A$( -2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$.

\end{footnotesize}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.  }\\
		$\overrightarrow{AB}(1+2;2-0;-1-1)$ c'est à dire $\overrightarrow{AB}(3;2;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(0;2;1)$, par conséquent :
		$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\times 0+2\times 2+(-2)\times 1=2$$
		De plus :
		$$ AB=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}\qquad {et} \qquad AC=\sqrt{0^2+4+1}=\sqrt{5}$$
		\item {\footnotesize En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.}
		\\
		On sait que $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$ ce qui implique en utilisant les résultats de la question précédente que :
		$$ 2=\sqrt{17}\times \sqrt{5}\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right) \Longleftrightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{85}}$$
		On en déduit, à l'aide de la calculatrice que :
		$$ \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\simeq 77^\circ$$ 
		\item {\footnotesize En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.}
		\\
		Compte tenu du résultat précédent $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\neq 0[\pi]$ donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item {\footnotesize Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. }
\\
$A$ appartient au plan d'équation $2x-y+2z+2=0$ puisque :
$$ 2\times(-2)-0+2+2=-4+4=0$$
De même $B$ appartient au plan d'équation $2x-y+2z+2=0$ puisque :
$$ 2-2-2+2=0$$
Et enfin $C$ appartient au plan d'équation $2x-y+2z+2=0$ puisque :
$$ -4-2+4+2=0$$
Nous venons de démontrer que le plan d'équation $2x-y+2z+2=0$ contient les points $A$, $B$ et $C$. Or, ces trois points ne sont pas alignés donc ils forment un plan et le plan d'équation $2x-y+2z+2=0$ contient le plan $(ABC)$ ce qui implique que le plan $(ABC)$ admet pour équation $2x-y+2x+2=0$.
\item \begin{footnotesize}
Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et $x - 2y + 6z = 0$.

Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations
paramétriques est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2\\
y&=&- 1 +  3t\\
z&=&\phantom{- 1 + 3}t
\end{array}\right.,~t \in  \R$. 
\end{footnotesize}
\\
Le vecteur $\overrightarrow{n_1}(1;1;-3)$ est normal au plan $\mathscr P_1$ et le vecteur $\overrightarrow{n_2}(1;-2;6)$ est normal au plan $\mathscr P_2$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu'il n'existe pas de réel $k$ tel que $\vec{n_1}=k\vec{n_2}$, par conséquent les plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ sont sécants selon une droite.
Si $M(x;y;z)$ appartient à $\mathscr P_1\cap \mathscr P_2$ alors les coordonnées de $M$ vérifient simultanément les équations de $\mathscr P_1$ et de $\mathscr P_2$ :
$$ \left\{\begin{array}{l}
x + y - 3z + 3 = 0\\
x - 2y + 6z = 0
\end{array}\right.\Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}
y=-x +3z - 3 \\
x - 2(-x+3z-3) + 6z = 0
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
y=-x +3z - 3 \\
3x-6z+6-6z = 0
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
y= 3z - 1 \\
x=-2
\end{array}\right.$$
En posant $z=t$, les points communs aux plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ ont des coordonnées qui vérifient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{l}
x=-2\\
y=3t-1\\
z=t
\end{array}\right. \qquad t\in\R$$
qui donc une représentation paramétrique de la droite d'intersection des plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$.
\item {\footnotesize Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. }\\
$\mathscr D$ est dirigée par le vecteur $\vec{d}(0;3;1)$ et $(ABC)$ admet $\vec{n}(2;-1;2)$ pour vecteur normal.
$$ \vec{d}\cdot \vec{n}=0-3+2=-1\neq 0$$
Les vecteurs $\vec{d}$ et $\vec{n}$ ne sont pas orthogonaux ce qui prouve que la droite $\mathscr D$ et le plan $(ABC)$ ne sont pas parallèles, par conséquent $\mathscr D$ et $(ABC)$ sont sécants en un point $M(x;y;z)$. Les coordonnées de ce point $M$ vérifient la représentation paramétrique de $\mathscr D$ ainsi l'équation cartésienne de $(ABC)$, par conséquent on obtient :
$$2\times (-2)-(3t-1)+2t+2=0 \Longleftrightarrow -t-4+3=0 \Longleftrightarrow t =-1  $$
Les coordonnées du point d'intersection de la droite $\mathscr D$ et du plan $(ABC)$ sont obtenus pour $t=-1$ donc sont :
$$\left\{\begin{array}{l}
x=-2\\
y=3(-1)-1=-4\\
z=-1
\end{array}\right. \Longrightarrow \mathscr D\cap (ABC)=M(-2;-4;-1)$$
\item  {\footnotesize Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. }
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.}
		$$ M(x;y;z)\mathscr S \Longleftrightarrow \Omega M=3 \Longleftrightarrow \Omega M^2=9 \Longleftrightarrow (x-1)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=9$$
		Une équation cartésienne de la sphère $\mathscr S$ est donc :
		$$ (x-1)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=9$$
		\item {\footnotesize Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. }
		\\
		Si un point $M(x;y;z)$ est sur la droite $\mathscr D$ alors il existe un réel $t$ tel que $M(-2;3t-1;t)$ et si ce même point est sur la sphère $\mathscr S$ alors :
		$$(-2-1)^2+(3t-1+3)^2+(t-1)^2=9 \Longleftrightarrow (3t+2)^2+(t-1)^2=0 $$
		Cette égalité est possible si et seulement si les deux carrés sont nuls donc si et seulement si $t=-\dfrac{2}{3}$ et $t=1$ simultanément. $t$ ne peut valoir simultanément deux valeurs différentes, on en déduit qu'il n'existe aucun point de $\mathscr D$ sur la sphère $\mathscr S$ donc :
		$$ \mathscr D\cap \mathscr S=\emptyset$$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak


\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
En Syldavie s'organise pour l'été 2014 le grand championnat (GC) de danse sous marine en scaphandre d'au moins 150 kg. Compte tenu de l'importance de la compétition, organisée tous les 4 ans, de nombreuses industries fleurissent et prospèrent. En particulier, la compagnie S, est une entreprise spécialisée dans la fabrication de scaphandre. Pour être homologué par le comité organisateur du GC, les scaphandres doivent avoir une masse d'au moins $145$ kg.

La masse d'un scaphandre fabriqué par la machine de la compagnie S peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu=150$ et d'écart-type $\sigma=7$.
\end{footnotesize}

\partieBac{}

\textit{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $135$ & $140$ & $145$ & $150$ & $155$ & $160$ & $165$ \\ \hline
$p(X\leq x)$ & $0,016$& $ 0,077$& $0,238$ & $ 0,5$& $0,762$& $0,923$& $0,984$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $p(135\leq X\leq 165)$.}
$$ p(135\leq X\leq 165)=p(X\leq 165)-p(X\leq 135)\simeq 0,984-0,016\simeq 0,968$$
\item {\footnotesize Calculer la probabilité $p$ pour qu'un scaphandre choisi au hasard dans la production de la compagnie S soit homologué par le comité organisateur du GC.}
\\
Le comité organisateur homologue tout scaphandre dont la masse dépasse $145$ kg et :
$$ p(X\geq 145)=1-p(X\leq 145)\simeq 1-0,238\simeq 0,762$$
\item {\footnotesize La compagnie S trouve cette probabilité $p$ trop faible. Elle décide alors de modifier ses méthodes de production sans faire varier l'espérance $\mu$ mais en modifiant l'écart-type $\sigma$ afin que la probabilité $p\simeq 0,95$.}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que $\sigma$ doit vérifier :
$$ p\left(\dfrac{X-150}{\sigma}\leq -\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,05$$
\end{footnotesize}
\\
La compagnie S souhaite que $$p\simeq 0,95\Longleftrightarrow p(X\geq 145)\simeq 0,95\Longleftrightarrow 1-p(X\leq 145)\simeq 0,95\Longleftrightarrow 0,05\simeq p(X\leq 145) 
$$
C'est-à-dire cette chère compagnie S souhaite que $\sigma$ vérifie :
$$ 0,05\simeq p\left(\dfrac{X-150}{\sigma}\leq \dfrac{145-150}{\sigma}\right)\Longleftrightarrow  p\left(\dfrac{X-150}{\sigma}\leq \dfrac{-5}{\sigma}\right)\simeq 0,05$$
\item {\footnotesize En utilisant le résultat suivant : \textit{lorsque $Z\hookrightarrow \mathscr N(0,1)$ alors $p(Z\leq -1,645)\simeq 0,05$}, déterminer une valeur approchée de $\sigma$.}
\\
Puisque $X\hookrightarrow \mathscr N(150;\sigma^2)$ alors $\dfrac{X-150}{\sigma}\hookrightarrow \mathscr N(0;1)$, par conséquent pour que $ p\left(\dfrac{X-150}{\sigma}\leq \dfrac{-5}{\sigma}\right)\simeq 0,05$ il faut et suffit que $\dfrac{-5}{\sigma}\simeq -1,645 \Longleftrightarrow \sigma \simeq \dfrac{-5}{-1,645}\simeq 3$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partieBac{}

\begin{footnotesize}
La machine de la compagnie S a été modifiée afin que la probabilité $p$ de fabriquer un scaphandre homologué soit égale à $0,95$.

Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de $500$ scaphandres fabriqués.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil $0,95$ de la proportion de scaphandre homologué dans un échantillon de taille $500$.}
\\
Ici on suppose que $p=0,95$ et on a $n=500$ donc l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil $0,95$ est :
$$\left[0,95-1,96\dfrac{\sqrt{0,95\times 0,05}}{\sqrt{500}}; 0,95+1,96\dfrac{\sqrt{0,95\times 0,05}}{\sqrt{500}}\right] $$
 ce qui semble valoir approximativement :
 $$ I_{500}=[0,93;0,97]$$
\item \begin{footnotesize}
Parmi les $500$ scaphandres de l'échantillon, $460$ sont homologables par le comité organisateur du GC.
\\
Au regard de l'intervalle de fluctuation obtenu à la question précédente, la compagnie S peut-elle estimer que sa nouvelle machine fonctionne comme prévu ?
\end{footnotesize}

Tout d'abord observons que $n=500>30$ puis $np=500\times 0,95>5$ et enfin $n(1-p)=500\times 0,05>5$.\\
Dans environ $95\%$ des cas (sous l'hypothèse $p=0,95$) nous prévoyons que la fréquence obtenue soit comprise dans $I_{500}$. Cette fréquence vaut $f=460/500=0,92$.

$$ f\notin I_{500}$$

Nous ne prenons donc pas beaucoup de risque ($5\%$ environ) en remettant en question le travail des ingénieurs de la compagnie S. D'un autre côté ce risque est considérable...
\end{enumerate}
\partieBac{}

{\footnotesize Le comité organisateur du GC utilise une machine pour vérifier la conformité des scaphandres utilisés par les compétiteurs (elle doit vérifier le poids, mais encore d'autres critères complexes que nous évoquerons pas ici). Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette machine est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.}

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Le tournoi dure $30$ jours, déterminer la valeur approchée au millième de $\lambda$ afin que $p(T\geq 30)=0,97$.
\\
Dans la suite on prendra $\lambda=0,001$.
\end{footnotesize}

$T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ par conséquent :

$$ p(T\geq 30)=0,97 \Longleftrightarrow 1-p(0\leq T\leq 30)=0,97\Longleftrightarrow p(0\leq T\leq 30)=0,03\Longleftrightarrow \int_0^{30} \lambda e^{-\lambda t} dt =0,03$$
ce qui équivaut à :
$$ [-e^{-\lambda t}]_0^{30}=0,03\Longleftrightarrow -e^{-30\lambda}+1=0,03 \Longleftrightarrow e^{-30\lambda}=0,97 \Longleftrightarrow -30\lambda =\ln 0,97 \Longleftrightarrow \lambda
= \dfrac{\ln 0,97}{-30}\simeq 0,001$$
\item {\footnotesize Quelle est la probabilité que la machine fonctionne encore sans dérèglement après $50$ jours sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement après $20$ jours ?}

Puisque $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors pour tout $t\geq 0$ et pour tout $s\geq 0$ on a :
$$ p_{(X\geq s)} (X\geq t+s)=p(X\geq t)$$
ce qui donne :
$$ p_{(X\geq 20)} (X\geq 20+30)=p(X\geq 30)=0,97$$
\item {\footnotesize Quelle est l'espérance de $T$ ?}

Puisque $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors
$$E(T)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0,001}=1000 $$
En "moyenne" la machine fonctionne donc $1000$ jours.
\item {\footnotesize Déterminer $j$ tel que $p(T\geq j)=0,5$. Interpréter.}

On cherche $j$ tel que $$p(T\geq j)=0,5 \Longleftrightarrow p(0\leq T\leq j)=0,5 \Longleftrightarrow \int_0^j 0,001e^{-0,001t} dt =0,5 \Longleftrightarrow [-e^{-0,001t}]_0^j=0,5$$
ce qui équivaut à :
$$-e^{-0,001j}+1=0,5 \Longleftrightarrow e^{-0,001j}=0,5 \Longleftrightarrow -0,001j =\ln 0,5 \Longleftrightarrow j=\dfrac{\ln 0,5}{-0,001}\simeq 693 $$

La probabilité que la machine fonctionne plus de $693$ jours est d'environ $0,5$.
\end{enumerate}
\end{exoi}



\begin{exoi}\hfill (6 points)

\partieBac{}

\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \ln (x) + 1 - \dfrac{1}{x}.\]
\end{footnotesize}
 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.}

On sait que $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln x=+\infty$ et que $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-\dfrac{1}{x}=1$, par somme on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}  f(x)=+\infty$$
De plus on sait que $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-\infty$ et que $\lim\limits_{x\to 0^+}1-\dfrac{1}{x}=-\infty$, par somme on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to 0^+}=-\infty $$   
\item {\footnotesize Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ puis dresser son tableau de variation sur $]0~;~ +\infty[$.}

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonction de référence elle-même dérivable sur $]0;+\infty[$, de plus on a :
$$ \forall x>0,\qquad f'(x)=\dfrac{1}{x}+0- \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$$
Comme $x>0$ il suit que $\dfrac{1}{x}>0$ et $\dfrac{1}{x^2}>0$, ainsi $f'(x)>0$ pour tout $x>0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$. D'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&&\tx{+}&&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&&\fm&&\txh{+\infty}\cr
}$$
\item {\footnotesize Calculer $f(1)$ puis en déduire le signe de $f(x)$ lorsque $x$ décrit l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.}

$f(1)=0$, puisque $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ il suit que $x>1\Longrightarrow f(x)>f(1)=0$, puis que $x<1\Longrightarrow f(x)<0$. 
\item \begin{footnotesize}
Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

$F(x) = x \ln x - \ln x$ est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle. 
\end{footnotesize}

$F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x>0$ on a :
$$ F'(x)=(x')\ln x+ x(\ln x)'-\dfrac{1}{x}=\ln x + x\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}=\ln x+1-\dfrac{1}{x}=f(x) $$
Puisque $F'(x)=f(x)$ pour tout $x>0$, $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$.
\item {\footnotesize Démontrer que la fonction $F$ est strictement croissante sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$. }

$F'(x)=f(x)$ et pour $x>1$ on sait que $f(x)>0$, par conséquent $F$ est strictement croissante sur l'intervalle $]1;+\infty[$.
\item \begin{footnotesize}
Montrer que l'équation $F(x) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ admet une unique solution dans l'intervalle $]1~;~+\infty[$ qu'on  
note $\alpha$. 
\end{footnotesize}

$F(x)=x \ln x - \ln x=\ln x(x-1)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x=+\infty=\lim\limits_{x\to+\infty} x-1$ ainsi par produit $\lim\limits_{x\to+\infty}  F(x)=+\infty$. Notons que $F(1)=0$.

La fonction $F$ étant dérivable sur $]1~;~+\infty[$, elle est aussi continue sur $]1~;~+\infty[$.

La fonction $F$ est strictement croissante sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$.

D'après un corollaire du TVI la fonction prends toutes les valeurs de l'intervalle $[0;+\infty[$ exactement une fois, en particulier il existe un unique réel $\alpha$ tel que $F(x)=1-\dfrac{1}{e}$.
\item {\footnotesize Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. }

Puisque $F(1,9)<1-\dfrac{1}{e}$ et $F(2)>1-\dfrac{1}{e}$ il suit que :
$$ 1,9<\alpha<2$$
\end{enumerate}

 
\partieBac{}
 
\begin{footnotesize}
Soit $g$ et $h$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par : 
 
\[g(x) = \dfrac{1}{x}\quad  \text{et} \quad  h(x) = \ln (x) + 1.\] 

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$. 

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1)(5,3.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](0.3679,0){A}\uput[u](1,1){P}\uput[d](2.4,0){$t$}
\pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=white,linewidth=0.0pt]
{% 
\psplot{1}{2.4}{x ln 1  add} % courbe du haut
\psplot{2.4}{1}{1 x div}
}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.33}{5}{1 x div}
\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=green]{0.13}{5}{x ln 1  add}
\uput[u](4.2,0.3){$\mathcal{C}_{g}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.3679}{1}{1 x div}
\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=green]{1}{0.3679}{x ln 1  add}}
\psline[linestyle=dashed](2.4,0)(2.4,1.875)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=green]{1}{0.3679}{x ln 1  add}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.3679}{1}{1 x div}

\end{pspicture*}
\end{center}

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize A est le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{h}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A. }

$A(x;0)$ et $x$ est un réel tel que $$ h(x)=0\Longleftrightarrow \ln x +1=0 \Longleftrightarrow \ln x=-1\Longleftrightarrow x=e^{-1}$$

Il existe donc un unique point d'intersection entre $\mathscr C_h$ et l'axe des abscisses qui a pour coordonnées :
$$ A(e^{-1};0)$$
\item {\footnotesize P est le point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$. Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1). }

On a :
$$ g(x)=h(x) \Longleftrightarrow h(x)-g(x)=0 \Longleftrightarrow f(x)=0 \Longleftrightarrow x=1$$
De plus $g(1)=1$ donc l'unique point d'intersection de $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_h$ a pour coordonnées :
$$ P(1;1)$$
\item \begin{footnotesize}
On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{g}$, $\mathcal{C}_{h}$ et les droites d'équations respectives  
$x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$ (domaine grisé sur le graphique).
\end{footnotesize}
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Montrer que $\mathcal A=\int_{\frac{1}{e}}^1 -f(x) dx$.}
		
		Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{e};1\right]$ on sait que $f(x)\leq 0 \Longleftrightarrow h(x)-g(x)\leq 0 \Longleftrightarrow h(x)\leq g(x)$, par conséquent du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{g}$, $\mathcal{C}_{h}$ et les droites d'équations respectives  
$x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$ vaut :
$$ \mathscr A=\int_{\frac{1}{e}}^1 g(x)-h(x) dx=\int_{\frac{1}{e}}^1 -f(x)dx$$
		\item {\footnotesize En déduire que $\mathcal{A} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$. }
		
		$$ \mathscr A=\int_{\frac{1}{e}}^1 -f(x)dx=\left[-F(x)\right]_{\frac{1}{e}}^1=-F(1)+F\left(\frac{1}{e}\right)=F\left(\frac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e} \ln \dfrac{1}{e}-\ln\dfrac{1}{e}=\dfrac{-\ln e}{e}+\ln e=1-\dfrac{1}{e}$$
	\end{enumerate} 
\item \begin{footnotesize}
Soit $t$ un nombre réel de l'intervalle $]1~;~ +\infty[$. On note $\mathcal{B}_{t}$ l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives $x = 1,~ x = t$ et les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ (domaine hachuré sur le graphique).
 
On souhaite déterminer une valeur de $t$ telle que $\mathcal{A} = \mathcal{B}_{t}$.
\end{footnotesize}
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Montrer que $\mathcal{B}_{t} = t\ln (t) - \ln (t)$.}
		Sur l'intervalle $]1;+\infty[$, $f(x)>0\Longleftrightarrow h(x)-g(x)>0\Longleftrightarrow h(x)>g(x)$, par conséquent :
		$$ \mathscr B_t=\int_1^t f(x)dx=[F(x)]_1^t=F(t)-F(1)=F(t)=t\ln t-\ln t$$ 
		\item {\footnotesize Conclure.}
		
		On cherche $t>1$ tel que $\mathscr B_t=\mathscr A\Longleftrightarrow F(t)=1-\dfrac{1}{e}\Longleftrightarrow t=\alpha\simeq 2$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoi}



\begin{exoi}\hfill (4.5 points)\\
\begin{footnotesize}
\textit{Pour chacune des questions, quatre propositions sont données dont une seule est exacte. Indiquer, sans justification, pour chaque question la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte  rapporte $0,75$ point. Une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. En cas de total négatif la note est ramenée à $0$.}

On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=1$ et $u_{n+1}=1,1 u_n$.

On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $n$ est un  entier naturel.\\
 $A$ est un nombre entier.
 $u$ désigne un nombre réel.
 \\
}
{\textbf{Traitement :}\\
Saisir la valeur de $A$ \\
$n=0$\\
$u=1$\\
\While{$u \leq A$}
{$u$ prend la valeur $1,1 \times u$.\\
$n$ prend la valeur $n+1$.}
\\Afficher $n$.
}
}
\end{center}
\end{footnotesize}

\begin{enumerate}
\item L'algorithme précédent permet d'afficher la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n>A$. Réponse C.
\item $u_n=1,1^n$. On cherche le plus petit entier vérifiant :
$$ 1,1^n>100 \Longleftrightarrow \ln 1,1^n>\ln 100 \Longleftrightarrow n\ln 1,1>\ln 100 \Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln 1,1}{\ln 100}\Longrightarrow n>48$$
Lorsque l'utilisateur entre $A=100$ l'algorithme affiche $n=49$, réponse $D$.
\item 
[\textbf{D.}] Si $f$ est une fonction impaire définie sur $\R$ alors la suite définie pour $n\in \N$ par $u_n=\int_{-n}^n f(x)dx$ est nécessairement nulle (c'est-à-dire $u_n=0 \forall n\in \N$).  

Soit $A$ le point du plan complexe d'affixe $z_A=1-i$ et $B$ le point du plan complexe d'affixe $z_B=2-2\sqrt{3}i$.
\item  L'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $z$ vérifiant $ |z_M-1+i|=\left|z_M-2+2\sqrt{3}i\right|$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
\item On a $z_A=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\qquad $ \textbf{et} $\qquad arg(z_B)=-\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$.
\item Un argument du nombre complexe $\dfrac{z_A}{z_B}$ vaut $-\frac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)= \dfrac{\pi	}{12}$
\end{enumerate}
\end{exoi} 

\end{document}