\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\begin{footnotesize}
\Exoi{\hfill (10 points)\\
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs: 35\,\% des plants proviennent de l'horticulteur H$_{1}$, 25\,\% de l'horticulteur H$_{2}$ et le reste de l'horticulteur H$_{3}$. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
\\
La livraison de l'horticulteur H$_{1}$ comporte 80\,\% de conifères alors que celle de l'horticulteur H$_{2}$ n'en comporte que 50\,\% et celle de l'horticulteur H$_{3}$ seulement 30\,\%.
\begin{enumerate}
\item 
Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. 
On envisage les évènements suivants :
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item $H_{1}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{1}$ \fg, 
\item $H_{2}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{2}$ \fg, 
\item $H_{3}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{3}$ \fg, 
\item $C$ : \og l'arbre choisi est un conifère \fg, 
\item $F$ : \og l'arbre choisi est un arbre feuillu \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation. 
		\item Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$_{3}$. 
		\item Justifier que la probabilité de l'événement $C$ est égale à $0,525$. 
		\item L'arbre choisi est un conifère. 
Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur $H_l$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard un échantillon de $10$~arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à  un tirage avec remise de $10$~arbres dans le stock.
 \\
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
		\item Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$~conifères? 
\\
On arrondira à  $10^{-3}$. 
		\item Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
	\\	 
On arrondira à  $10^{-3}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}
\end{footnotesize}

Puisque le choix de l'arbre se fait au hasard dans le stock de la jardinerie, on  assimile les proportions données à  des probabilités.

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item L'arbre pondéré traduisant cette situation est :
	\begin{center}
% Racine à  Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[circle]
\tikzstyle{feuille}=[circle]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{1}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {Stock};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$H_1$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$H_2$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$H_3$};
\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$F$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\begin{small}
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$0,35$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$0,8$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$0,2$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$0,25$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$0,5$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$0,5$};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$0,4$};
\draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {$0,3$};
\draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {$0,7$};
\end{small}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On cherche à  calculer la probabilité de l'intersection $H_3 \cap C$, donc : $P(H_3 \cap C) = P(H_3) \times P_{H_3}(C) = 0,4 \times 0,3$. On a donc $P(H_3 \cap C) = 0,12$.

\item Puisque la jardinerie ne se fournit qu'auprès de trois horticulteurs, les événements $H_1$, $H_2$ et $H_3$ forment une partition de l'univers. On peut donc appliquer la loi des probabilités totales, et on en déduit : 

$P(C) = P(H_1) \times P_{H_1}(C) +P(H_2) \times P_{H_2}(C) +P(H_3) \times P_{H_3}(C) = $

$0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 + 0,4 \times 0,3 =  0,525$.

\item On cherche cette fois à  calculer une probabilité conditionnelle : 

$P_C(H_1) = \dfrac{P(H_1 \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0,35 \times 0,8}{0,525} \approx  0,533$.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Nous avons un schéma de Bernoulli (l'arbre choisi est-il un conifère ?), avec une probabilité de succès de $0,525$ qui est répété 10 fois de fa	çon indépendante (puisque l'on suppose que les choix successifs peuvent être assimilés à  un tirage au sort avec remise), donc la variable aléatoire $X$ suit bien une loi binomiale de paramètres 10 et $0,525$.
		
		\item La probabilité demandée ici est celle de l'événement $X =5$, et donc : $P(X = 5) = \displaystyle{\binom{10}{5}} \times 0,525^5 \times (1 - 0,525)^5$
		Finalement $P(X=5) \approx 0,243$.
		
		\item Cette fois, la probabilité demandée est celle de $X \leqslant  8$, qui est l'événement contraire de la réunion des événements disjoints $X = 9$ et $X = 10$. On a alors : 		 
		$P(X \leqslant 8) = 1 - P(X = 9) - P(X =10) \approx 0,984$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



%\vfill
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
%\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
%\begin{minipage}{17cm}
%\begin{center}
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%\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}9$ }}
%\end{center}
%\vspace{-3mm}
%\end{minipage}
%}
%\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
%\begin{center}
%\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
%\end{center}
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%\Exoi{\hfill (10 points)\\
%Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs: 35\,\% des plants proviennent de l'horticulteur H$_{1}$, 25\,\% de l'horticulteur H$_{2}$ et le reste de l'horticulteur H$_{3}$. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
%\\
%La livraison de l'horticulteur H$_{1}$ comporte 80\,\% de conifères alors que celle de l'horticulteur H$_{2}$ n'en comporte que 50\,\% et celle de l'horticulteur H$_{3}$ seulement 30\,\%.
%\begin{enumerate}
%\item 
%Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. 
%On envisage les évènements suivants :
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item $H_{1}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{1}$ \fg, 
%\item $H_{2}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{2}$ \fg, 
%\item $H_{3}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{3}$ \fg, 
%\item $C$ : \og l'arbre choisi est un conifère \fg, 
%\item $F$ : \og l'arbre choisi est un arbre feuillu \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%\medskip
%	\begin{enumerate}
%		\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation. 
%		\item Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$_{3}$. 
%		\item Justifier que la probabilité de l'événement $C$ est égale à $0,525$. 
%		\item L'arbre choisi est un conifère. 
%Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur $H_l$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
%	\end{enumerate}
%\item On choisit au hasard un échantillon de $10$~arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à  un tirage avec remise de $10$~arbres dans le stock.
% \\
%On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
%		\item Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$~conifères? 
%\\
%On arrondira à  $10^{-3}$. 
%		\item Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
%	\\	 
%On arrondira à  $10^{-3}$.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate}}


\end{document}
