\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}8$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
$$ f(x)=2x^2+x-2\qquad \text{;} \qquad g(x)=\dfrac{4}{3-2x}\qquad \text{et} \qquad h(x)=\sqrt{2x-1}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Est-il possible de calculer l'image de $0$ par la fonction $f$ ? Si oui le faire.}\\
Il est possible de calculer l'image de n'importe quel nombre réel par $f$ et :
$$ f(0)=2\times 0^2+0-2=-2$$
\item {\footnotesize De même est-il possible de calculer l'image de $0$ par $g$, puis par $h$ ? Dans le cas où c'est possible calculer l'image de $0$.}\\
Comme $3-2\times 0=2\neq 0$ on peut calculer l'image de $0$ par $g$ et on a :
$$ g(0)=\dfrac{4}{3}$$
Enfin $2\times 0-1=-1<0$ et la racine carrée d'un nombre réel négatif n'existe pas il n'est donc pas possible de calculer l'image de $0$ par $h$.
\item {\footnotesize Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.}\\
L'expression de $f(x)$ ne comporte ni racine carrée ni quotient par conséquent $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ :
$$ \mathscr D_f=\R$$
\item {\footnotesize Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $g$.}\\
On ne peut pas diviser par $0$, $g$ est donc définie pour $x$ vérifiant $3-2x\neq 0\Longleftrightarrow x\neq 1,5$.
\\
L'ensemble de définition de $g$ est :
$$ \mathscr D_g=\left]-\infty;1,5\right[\cup \left]1,5;+\infty\right[$$
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de l'expression $2x-1$.}\\
$2x-1\geq 0\Longleftrightarrow 2x\geq 1\Longleftrightarrow x\geq 0,5$
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0,5}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2x-1}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\item {\footnotesize En déduire l'ensemble de définition de la fonction $h$.}\\
$h$ est définie lorsque $2x-1\geq 0\Longleftrightarrow x\geq 0,5$, par conséquent :
$$ \mathscr D_h=[0,5;+\infty[$$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
$$ f(x)=2+x\qquad \text{et} \qquad g(x)=x^2-4$$
On note $\mathscr C_f$ (respectivement $\mathscr C_g$) la représentation graphique de la fonction $f$ respectivement de $g$) dans un repère que l'on a tracé :
\end{footnotesize}\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{interro8.eps}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer l'image de $-2$ puis celle de $3$ par les fonctions $f$ et $g$.}\\
$f(-2)=2-2=0$, $f(3)=2+3=5$ puis $g(-2)=(-2)^2-4=0$ et enfin $g(3)=3^2-4=5$.
\item {\footnotesize Lire graphiquement les coordonnées des points d'intersections des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$. Que constate-t-on ?}\\
$\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ont deux points d'intersection $A$ et $B$ qui ont pour coordonnées :
$$ A(-2;0)\qquad \text{et} \qquad B(3;5)$$
On constate que les ordonnées des points $A$ et $B$ correspondent aux images des réels $-2$ et $3$ calculer à la question précédente.
\item {\footnotesize Dire si les affirmations sont vraies ou fausses (\textit{On justifiera  soit par le calcul soit à l'aide du graphique - Méthode libre.}}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize \textbf{Affirmation 1} : $f(x)\geq 0$ dès que $x\geq -2$.}\\
$f(x)\geq 0\Longleftrightarrow 2+x\geq 0\Longleftrightarrow x\geq -2$.
\\
\textbf{Affirmation Vraie.}
\item {\footnotesize \textbf{Affirmation 2} : La fonction $g$ est une fonction affine.}\\
Sa représentation graphique n'est pas une droite donc $g$ n'est pas une fonction affine.
\\
\textbf{Affirmation Fausse.}
\item \textbf{Affirmation 3} : {\footnotesize $f(x)\geq g(x)$ lorsque $x\in [-2;3]$.}\\
Pour $x\in [-2;3]$ la courbe de $f$ est en dessus de la courbe de $f$ donc les images $g(x)$ sont supérieures ou égales aux images $f(x)$ par conséquent on a $f(x)\geq g(x)$.
\\
\textbf{Affirmation Vraie.}
\item {\footnotesize \textbf{Affirmation 4} : $g(x)>0$ lorsque $x\in [-1;1]$.}
$g(0)<0$ il est donc impossible d'avoir $g(x)>0$ pour tout $x\in [-1;1]$.
\\
\textbf{Affirmation Fausse}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}8$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
$$ f(x)=2-2x^2+3x\qquad \text{;} \qquad g(x)=-\dfrac{4}{x}\qquad \text{et} \qquad h(x)=\sqrt{3-x}$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Est-il possible de calculer l'image de $0$ par la fonction $f$ ? Si oui le faire.}
\\
Il est possible de calculer l'image de n'importe quel nombre réel par $f$ et :
$$ f(0)=2-2\times 0^2+3\times 0=-2$$
\item {\footnotesize De même est-il possible de calculer l'image de $0$ par $g$, puis par $h$ ? Dans le cas où c'est possible calculer l'image de $0$.}
\\
Comme $4\times 0= 0$ on ne peut pas calculer l'image de $0$ par $g$ puisque diviser par $0$ n'est pas possible.
Enfin $3-0=3>0$ donc il est donc  possible de calculer l'image de $0$ par $h$ et $h(0)=\sqrt{3}$
\item {\footnotesize Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.}\\
L'expression de $f(x)$ ne comporte ni racine carrée ni quotient par conséquent $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ :
$$ \mathscr D_f=\R$$
\item {\footnotesize Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $g$.}\\
On ne peut pas diviser par $0$, $g$ est donc définie pour $x\neq 0$
\\
L'ensemble de définition de $g$ est :
$$ \mathscr D_g=\left]-\infty;0\right[\cup \left]0;+\infty\right[$$
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de l'expression $3-x$.}\\
$3-x\geq 0\Longleftrightarrow 3\geq x\Longleftrightarrow x\leq 3$
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{3}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{3-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\item {\footnotesize En déduire l'ensemble de définition de la fonction $h$.}
$h$ est définie lorsque $3-x\geq 0$, par conséquent :
$$ \mathscr D_h=]-\infty;3]$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
$$ f(x)=2+x\qquad \text{et} \qquad g(x)=4-x^2$$
On note $\mathscr C_f$ (respectivement $\mathscr C_g$) la représentation graphique de la fonction $f$ respectivement de $g$) dans un repère que l'on a tracé :
\end{footnotesize}\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{interro8b.eps}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer l'image de $-2$ puis celle de $1$ par les fonctions $f$ et $g$.}
\\
$f(-2)=2-2=0$ et $f(1)=2+1=3$ puis $g(-2)=4-(-2)^2=0$ et $g(1)=4-1^2=3$.
\item {\footnotesize Lire graphiquement les coordonnées des points d'intersections des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$. Que constate-t-on ?}\\
$\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ont deux points d'intersection $A$ et $B$ qui ont pour coordonnées :
$$ A(-2;0)\qquad \text{et} \qquad B(1;3)$$
On constate que les ordonnées des points $A$ et $B$ correspondent aux images des réels $-2$ et $3$ calculer à la question précédente.
\item {\footnotesize Dire si les affirmations sont vraies ou fausses (\textit{On justifiera  soit par le calcul soit à l'aide du graphique - Méthode libre.}}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize \textbf{Affirmation 1} : $f(x)\geq 0$ dès que $x\geq -2$.}\\
$f(x)\geq 0\Longleftrightarrow 2+x\geq 0\Longleftrightarrow x\geq -2$.
\\
\textbf{Affirmation Vraie.}
\item {\footnotesize \textbf{Affirmation 2} : La fonction $g$ est une fonction affine.}\\
Sa représentation graphique n'est pas une droite donc $g$ n'est pas une fonction affine.
\\
\textbf{Affirmation Fausse.}
\item {\footnotesize \textbf{Affirmation 3} : $f(x)\geq g(x)$ lorsque $x\in [-2;1]$.}
$f(0)=2$ et $g(0)=4$ donc $f(0)<g(0)$ par conséquent pour tout $x\in [-2;1]$ on a pas $f(x)\geq g(x)$.\\
\textbf{Affirmation Fausse.}
\item \textbf{Affirmation 4} :{\footnotesize  $g(x)>0$ lorsque $x\in [-1;1]$.}\\
$\mathscr C_g$ est au dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $[-1;1]$ par conséquent on a bien $g(x)>0$.\\
\textbf{Affirmation Vraie.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\end{document}
