\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{(7 points)}\\
\begin{footnotesize}
On se propose de démontrer que $\sin x\leq x$ lorsque $x$ est positif et $\sin x\geq x$ lorsque $x$ est négatif.
Pour cela on va étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sin x-x$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que la fonction $f$ est impaire. Quelle symétrie en déduit-on pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$ ?}
\\
Pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f(-x)=\sin(-x)-(-x)=-\sin x+x=-f(x)$$
Par conséquent $f$ est impaire ce qui implique que sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\item {\footnotesize Calculer $f(0)$ et déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.}\\
$f(0)=\sin 0-0=0$.\\
De plus pour tout $x\in \R$ on a :
$$ -1\leq \sin x \leq 1\Longleftrightarrow -1-x\leq f(x)\leq 1-x$$
Puisque $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-x=-\infty$ donc par comparaison :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$$
\item {\footnotesize On se contente pour la suite d'étudier la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in [0;+\infty[$.}\\
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme somme de deux fonctions dérivables sur $\R$ et on a pour tout $x\in [0;+\infty[$ :
$$ f'(x)=\cos x-1$$
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout $x\in [0;+\infty[$ on a :
$$ f'(x)\leq 0$$
\end{footnotesize}
Puisque pour tout $x\in [0;+\infty[$ $-1\leq \cos x\leq 1$ on en déduit que :
$$ -2\leq f'(x)\leq 0$$
Ainsi pour tout $x\in \R^+$ on a $f'(x)\leq 0$. \\
De plus $f'(x)=0\Longleftrightarrow \cos x=1\Longleftrightarrow x=2k\pi$ avec $k\in \N$. Ainsi la dérivée s'annule en une infinité de valeurs isolés.
\item{\footnotesize  En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$.}
D'après la question précédente $f'(x)\leq 0$ pour $x\geq 0$, 
de plus $f'(x)=0\Longleftrightarrow \cos x=1\Longleftrightarrow x=2k\pi$ avec $k\in \N$. Ainsi la dérivée s'annule en une infinité de valeurs isolés, ceci implique que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R^+$.
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&\txh{0}&\fd&\txb{-\infty}\cr
}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déduire de la symétrie de la courbe le tableau de variation de $f$ sur $\R$.}\\
La fonction $f$ étant impaire on obtient sur $\R$ :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&\fd&\txb{-\infty}\cr
}$$
\item {\footnotesize Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$. Déterminer $\alpha$.}\\
La fonction $f$ étant continue sur $\R$ et strictement décroissante sur $\R$. De plus $\lim\limits_{x\to +\infty}<0<\lim\limits_{x\to +\infty}$ on déduit du théorème des valeurs intermédiaires que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$. De plus on sait que $0$ est solution donc :
$$ \alpha =0$$
\item {\footnotesize Conclure.}\\
Du fait que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$ et que $f(0)=0$ on déduit son tableau de signe :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
Ainsi pour $x\leq 0$ on a $f(x)\geq 0\Longleftrightarrow \sin x -x\geq 0\Longleftrightarrow \sin x\geq x$ et pour $x\geq 0$ on a $f(x)\leq 0\Longleftrightarrow \sin x-x\leq 0\Longleftrightarrow \sin x\leq x$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill \textbf{(3 points)}\\
\begin{footnotesize}
Pour chacune des fonctions $f$ proposées, préciser l'intervalle $I$ sur lequel $f$ est dérivable puis calculer $f'(x)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $ f(x)=\sqrt{x^2-1}$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty[$.}\\
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ donc $f$ n'est pas dérivable en $1$, de plus $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$ en tant que composée de fonction dérivable donc pour tout $x>1$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$$
\item {\footnotesize $f(x)=\sin(3x+1)$ définie sur $\R$.}\\
En tant que composée de fonction dérivable sur $\R$, $f$ est dérivable sur $\R$ on a donc pour tout nombre réel $x$ :
$$ f'(x)=3\cos(3x+1)$$
\item {\footnotesize $f(x)= \dfrac{x^3-1}{x+1}$ définie sur $\R\textbackslash \{-1\}$}\\
La fonction $f$ est le quotient de deux fonctions dérivables sur $\R$ donc $f$ est dérivable sur son ensemble de définition on a pour tout $x\neq -1$ :
$$ f'(x)=\dfrac{3x^2-(x^3-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{-x^3+3x^2+1}{(x+1)^2}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill \textbf{(7 points)}\\
\begin{footnotesize}
On se propose de démontrer que $\sin x\leq x$ lorsque $x$ est positif et $\sin x\geq x$ lorsque $x$ est négatif.
Pour cela on va étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sin x-x$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que la fonction $f$ est impaire. Quelle symétrie en déduit-on pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$ ?}
\\
Pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f(-x)=\sin(-x)-(-x)=-\sin x+x=-f(x)$$
Par conséquent $f$ est impaire ce qui implique que sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\item {\footnotesize Calculer $f(0)$ et déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.}\\
$f(0)=\sin 0-0=0$.\\
De plus pour tout $x\in \R$ on a :
$$ -1\leq \sin x \leq 1\Longleftrightarrow -1-x\leq f(x)\leq 1-x$$
Puisque $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-x=-\infty$ donc par comparaison :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$$
\item {\footnotesize On se contente pour la suite d'étudier la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in [0;+\infty[$.}\\
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme somme de deux fonctions dérivables sur $\R$ et on a pour tout $x\in [0;+\infty[$ :
$$ f'(x)=\cos x-1$$
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout $x\in [0;+\infty[$ on a :
$$ f'(x)\leq 0$$
\end{footnotesize}
Puisque pour tout $x\in [0;+\infty[$ $-1\leq \cos x\leq 1$ on en déduit que :
$$ -2\leq f'(x)\leq 0$$
Ainsi pour tout $x\in \R^+$ on a $f'(x)\leq 0$. \\
De plus $f'(x)=0\Longleftrightarrow \cos x=1\Longleftrightarrow x=2k\pi$ avec $k\in \N$. Ainsi la dérivée s'annule en une infinité de valeurs isolés.
\item{\footnotesize  En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$.}
D'après la question précédente $f'(x)\leq 0$ pour $x\geq 0$, 
de plus $f'(x)=0\Longleftrightarrow \cos x=1\Longleftrightarrow x=2k\pi$ avec $k\in \N$. Ainsi la dérivée s'annule en une infinité de valeurs isolés, ceci implique que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R^+$.
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&\txh{0}&\fd&\txb{-\infty}\cr
}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déduire de la symétrie de la courbe le tableau de variation de $f$ sur $\R$.}\\
La fonction $f$ étant impaire on obtient sur $\R$ :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&\fd&\txb{-\infty}\cr
}$$
\item {\footnotesize Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$. Déterminer $\alpha$.}\\
La fonction $f$ étant continue sur $\R$ et strictement décroissante sur $\R$. De plus $\lim\limits_{x\to +\infty}<0<\lim\limits_{x\to +\infty}$ on déduit du théorème des valeurs intermédiaires que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$. De plus on sait que $0$ est solution donc :
$$ \alpha =0$$
\item {\footnotesize Conclure.}\\
Du fait que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$ et que $f(0)=0$ on déduit son tableau de signe :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
Ainsi pour $x\leq 0$ on a $f(x)\geq 0\Longleftrightarrow \sin x -x\geq 0\Longleftrightarrow \sin x\geq x$ et pour $x\geq 0$ on a $f(x)\leq 0\Longleftrightarrow \sin x-x\leq 0\Longleftrightarrow \sin x\leq x$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{(3 points)}\\
\begin{footnotesize}
Pour chacune des fonctions $f$ proposées, préciser l'intervalle $I$ sur lequel $f$ est dérivable puis calculer $f'(x)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $ f(x)=\sqrt{x^3-1}$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty[$.}\\
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ par conséquent la fonction $f$ n'est pas dérivable pour $x=1$, elle est en revanche dérivable sur $]1;+\infty[$ comme composée de deux fonctions dérivables et on a pour tout $x>1$  :
$$ f'(x)=\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3-1}}$$
\item {\footnotesize $f(x)=\cos(1-2x)$ définie sur $\R$.}\\
En tant que composée de deux fonctions dérivables sur $\R$ $f$ est dérivable sur $\R$ et on a pour tout $x\in \R$ :
$$ f'(x)=-2\sin(1-2x)$$
\item {\footnotesize $f(x)= \dfrac{x-1}{x^3+1}$ définie sur $\R\textbackslash \{-1\}$}\\
Ce quotient de deux fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur son ensemble de définition donc sur $\R\textbackslash \{-1\}$ et on a pour $x\neq -1$ :
$$ f'(x)=\dfrac{(x^3+1)-(x-1)3x^2}{(x^3+1)^2}=\dfrac{x^3+1-3x^3+3x^2}{(x^3+1)^2}=\dfrac{-2x^3+3x^2+1}{(x^3+1)^2}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}
