\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{(4 points)}\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}  x^2-a \qquad \qquad \text{si } x\leq 2\\ \sqrt{x^2-3} \qquad \qquad \text{si } x>2\end{array} \right.$$
$a$ désigne un nombre réel.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize En décomposant la fonction $f$ démontrer qu'elle est continue sur l'intervalle $]2;+\infty[$.}\\
Notons $g$ la fonction racine carrée (donc définie et continue sur $\R^+$) par $g(x)=\sqrt{x}$ et $h$ la fonction polynôme (donc définie et continue sur $\R$) par $h(x)=x^2-3$.
\\
Sur l'intervalle $]2;+\infty[$ $f(x)=g\circ h(x)$, $f$ est donc la composée de deux fonctions continues, on en déduit qu'elle est continue sur $]2:+\infty[$. 
\item {\footnotesize Justifier que la fonction $f$ est continue sur $]-\infty;2[$}\\
Sur l'intervalle $]-\infty;2[$ $f$ est une fonction polynôme par conséquent $f$ est continue sur $]-\infty;2[$.
\item {\footnotesize Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $2$.}\\
$f$ est continue  en $2$ si et seulement si :
$$ \lim\limits_{x\to 2} f(x)=f(2)\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=f(2)$$
Or, $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=f(2)=4-a$ et $\lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=\sqrt{4-3}=1$. Par conséquent $f$ est continue en $2$ si et seulement si :
$$ 4-a=1\Longleftrightarrow a=3$$
\textbf{Conclusion} : $f$ est continue sur $\R$ si et seulement si $a=3$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{(6 points)}\\
On considère la fonciton $P$ définie sur $\R$ par :
$$ P(x)=x^3-2x^2+x-4$$
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les limites de $P$ en $+\infty$ et en $-\infty$. }\\
Pour tout $x\neq 0$ on a :
$$ P(x)=x^3\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{4}{x^3}\right)$$
$$\lim\limits_{x\to \pm \infty } 1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{4}{x^3}=1$$
Et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ donc par produit :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}P(x)=+\infty$$
De même puisque $\lim\limits_{x\to -\infty} x^3=-\infty$ on a par produit :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty}P(x)=-\infty$$
\begin{footnotesize}
Que peut-on en déduire ?
\end{footnotesize}
\\
On peut en déduire que la représentation graphique de $P$ n'admet pas d'asymptote horizontale en $\pm \infty$.
\item {\footnotesize Calculer $P'(x)$ et dresser le tableau de variation \textbf{complet} de $P$ sur $\R$.}\\
Pour tout $x\in \R$, $P$ est une fonction polynôme donc $P$ est dérivable sur $\R$ et on a pour tout $x\in \R$ :
$$ P'(x)=3x^2-4x+1$$
$\Delta=b^2-4ac=16-12=4$ donc $P'$ admet deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-2}{6}=\dfrac{1}{3}\qquad \text{et} \qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+2}{6}=1$$
d'où :

$P(1)=-4$ et $P\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{27}-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{3}-4=\dfrac{1-6+9-108}{27}=-\dfrac{104}{27}$
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\dfrac{1}{3}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$1$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$P'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$P(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$-\dfrac{104}{27}$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-4$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Expliquer pourquoi l'équation $P(x)=0$ n'admet pas de solution dans l'intervalle $]-\infty;1]$.}
$P$ est croissante sur $\left]-\infty; \dfrac{1}{3}\right]$ et décroissante sur $\left[\dfrac{1}{3};1\right]$, $P$ admet donc un maximum en $\dfrac{1}{3}$ qui est $-\dfrac{104}{27}$ on en déduit que :
$$ \forall x\leq 1, P(x)\leq -\dfrac{104}{27}<0$$
L'équation $P(x)=0$ n'admet donc aucune solution sur l'intervalle $]-\infty;1]$.
\item {\footnotesize Démontrer que l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$. On note $\alpha$ cette solution.}\\
Sur l'intervalle $[1;+\infty[$ on a :
\begin{itemize}
\item $P$ est une fonction polynôme donc $P$ est continue sur $\R$.
\item $P$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$
\item Sur $[1;+\infty[$ $P$ est à valeurs dans $[-4;+\infty[$ et $0\in [-4;+\infty[$.
\end{itemize}
D'après le corollaire du TVI l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1;+\infty[$.
\\
On déduit de la question précédente que l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$.
\item {\footnotesize A l'aide de la calculatrice déterminer $\alpha$ à $10^{-1}$ près.}\\
$P(2,3)<0$ et $P(2,4)>0$ donc $\alpha \simeq 2,3$.
\item {\footnotesize Déterminer le tableau de signe de la fonction $P$.}\\
Sur l'intervalle $]-\infty;1]$ $P(x)<0$ et sur l'intervalle $[1;+\infty[$ $P$ est une fonction strictement croissante qui s'annule en $\alpha$, par conséquent :
\begin{itemize}
\item $P<0$ sur $]\infty; \alpha[$.
\item $P(x)=0$ pour $x=\alpha$.
\item $P>0$ sur $]\alpha ;+\infty[$
\end{itemize}
d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\alpha}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{P(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{\hfill \textbf{(4 points)}\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}  x^2-a \qquad \qquad \text{si } x\leq 2\\ \dfrac{2}{x^2-3} \qquad \qquad \text{si } x>2\end{array} \right.$$
$a$ désigne un nombre réel.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize En décomposant la fonction $f$ démontrer qu'elle est continue sur l'intervalle $]2;+\infty[$.}\\
Notons $g$ la fonction inverse (donc définie et continue sur $\R^+$) par $g(x)=\dfrac{1}{x}$ et $h$ la fonction polynôme (donc définie et continue sur $\R$) par $h(x)=x^2-3$.
\\
Sur l'intervalle $]2;+\infty[$ $f(x)=2g\circ h(x)$, $f$ est donc la composée de deux fonctions continues (à un coefficient multiplicatif près), on en déduit qu'elle est continue sur $]2:+\infty[$. 
\item {\footnotesize Justifier que la fonction $f$ est continue sur $]-\infty;2[$}\\
Sur l'intervalle $]-\infty;2[$ $f$ est une fonction polynôme par conséquent $f$ est continue sur $]-\infty;2[$.
\item {\footnotesize Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $2$.}\\
$f$ est continue  en $2$ si et seulement si :
$$ \lim\limits_{x\to 2} f(x)=f(2)\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=f(2)$$
Or, $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=f(2)=4-a$ et $\lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=\dfrac{2}{4-3}=2$. Par conséquent $f$ est continue en $2$ si et seulement si :
$$ 4-a=2\Longleftrightarrow a=2$$
\textbf{Conclusion} : $f$ est continue sur $\R$ si et seulement si $a=2$.
\end{enumerate}
}

\begin{exoi}\hfill \textbf{(6 points)}\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonciton $P$ définie sur $\R$ par :
$$ P(x)=-x^3+4x^2-4x+2$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les limites de $P$ en $+\infty$ et en $-\infty$.}\\
Pour tout $x\neq 0$ on a :
$$ P(x)=x^3\left(-1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}\right)$$
$$\lim\limits_{x\to \pm \infty } -1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}=-1$$
Et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ donc par produit :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}P(x)=-\infty$$
De même puisque $\lim\limits_{x\to -\infty} x^3=-\infty$ on a par produit :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty}P(x)=+\infty$$
{\footnotesize Que peut-on en déduire ?}\\
On en déduit que la représentation graphique de $P$ n'admet pas d'asymptote horizontale en $\pm \infty$.
\item {\footnotesize Calculer $P'(x)$ et dresser le tableau de variation \textbf{complet} de $P$ sur $\R$.}\\
$P$ est une fonciton polynôme donc $P$ est dérivable sur $\R$ et on a pour tout $x\in \R$ :
$$ P'(x)=-3x^2+8x-4$$
$\Delta=b^2-4ac=64-48=16$. $P'$ admet deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8-4}{-6}=2\qquad \text{et} \qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8+4}{-6}=\dfrac{2}{3}$$
$P(2)=-8+16-8+2=2$ et $P\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{8}{27}+\dfrac{16}{9}-\dfrac{8}{3}+2=\dfrac{-8+48-72+54}{27}=\dfrac{22}{27}$\\
d'où :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\dfrac{2}{3}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$2$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$P'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$P(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$\dfrac{22}{27}$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$2$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Expliquer pourquoi l'équation $P(x)=0$ n'admet pas de solution dans l'intervalle $]-\infty;2]$.}
\\
$P$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right]$ puis strictement croissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{2}{3};2\right]$ donc $P$ admet un minimum en $\dfrac{2}{3}$, ainsi :
$$ \forall x\leq 2, P(x)\geq \dfrac{22}{27}>0 $$
Par conséquent $P(x)\neq 0$ pour tout $x\leq 2$ et l'équation $P(x)=0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle $]-\infty;2]$.
\item {\footnotesize Démontrer que l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$. On note $\alpha$ cette solution.}\\
Sur l'intervalle $[2;+\infty[$ on a :
\begin{itemize}
\item $P$ est une fonction polynôme donc $P$ est continue sur $\R$.
\item $P$ est strictement décroissante sur $[2;+\infty[$
\item Sur $[2;+\infty[$ $P$ est à valeurs dans $]-\infty;2]$ et $0\in ]-\infty;2]$.
\end{itemize}
D'après le corollaire du TVI l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[2;+\infty[$.
\\
On déduit de la question précédente que l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$.
\item {\footnotesize A l'aide de la calculatrice déterminer $\alpha$ à $10^{-1}$ près.}\\
$P(2,8)>0$ et $P(2,9)<0$ donc $\alpha \simeq 2,8$.
\item {\footnotesize Déterminer le tableau de signe de la fonction $P$.}\\
Sur l'intervalle $]-\infty;2]$ $P(x)>0$ et sur l'intervalle $[2;+\infty[$ $P$ est une fonction strictement décroissante qui s'annule en $\alpha$, par conséquent :
\begin{itemize}
\item $P>0$ sur $]\infty; \alpha[$.
\item $P(x)=0$ pour $x=\alpha$.
\item $P<0$ sur $]\alpha ;+\infty[$
\end{itemize}
d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\alpha}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{P(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}
