\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ correction de l'interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (7 points)\\
\begin{footnotesize}
On souhaite déterminer l'ensemble des nombres réels $x$ tels que  :
$$ -3x^2+7x-2\geq 0$$
Pour cela il faut répondre aux questions suivantes :
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize $x=0$ est-il solution de l'inéquation ?  \textit{Justifier}.}\\
Pour $x=0$ :
$-3x^2+7x-2=-3\times 0^2+7\times 0-2=-2$ n'est pas positif ou nul. Par conséquent $0$ n'est pas solution de l'inéquation.
\item {\footnotesize $x=1$ est-il solution de l'inéquation ? \textit{Justifier}.}\\
Si $x=1$ alors $-3x^2+7x-2=-3\times 1^2+7\times 1-1=-3+7-1=3$ qui est un nombre positif ou nul par conséquent $1$ est solution de l'inéquation.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout nombre $x$ on a :
$$ (3x-1)(2-x)=-3x^2+7x-2$$
\end{footnotesize}
Pour tout nombre réel $x$ on a :
$$ (3x-1)(2-x)=6x-3x^2-2+x=-3x^2+7x-2$$
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $3x-1$.}
\\
$3x-1\geq 0\Longleftrightarrow 3x\geq 1\Longleftrightarrow x\geq \dfrac{1}{3}$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1}{3}}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{3x-1}&&\tx{-}&\tx{0}&&\tx{+}&&\cr
\tx{2-x}&&&\tx{+}&&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{(3x-1)(2-x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $2-x$.}\\
$2-x\geq 0\Longleftrightarrow 2\geq x\Longleftrightarrow x\leq 2$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\item {\footnotesize En déduire le tableau de signe du produit $(3x-1)(2-x)$.}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1}{3}}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{3x-1}&&\tx{-}&\tx{0}&&\tx{+}&&\cr
\tx{2-x}&&&\tx{+}&&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\item {\footnotesize Déduire de ce dernier tableau de signe les solutions de l'inéquation $-3x^2+7x-2\geq 0$.}
$-3x^2+7x-2\geq 0$ équivaut à $(3x-1)(2-x)\geq 0$. Or d'après le tableau de signe précédent cette expression est positive ou nulle lorsque :
$$ x\in \left[\dfrac{1}{3};2\right]$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (3 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : 
$$ f(x)=2x-1$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer les images de $0$, $5$, $-\dfrac{1}{3}$.}\\
$f(0)=2\times 0-1=-1$. L'image de $0$ est $-1$.\\
$f(5)=2\times 5 -1=9$. L'image de $5$ est $9$.\\
$f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=2\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)-1=-\dfrac{2}{3}-1=-\dfrac{5}{3}$. L'image de $-\dfrac{1}{3}$ est $-\dfrac{5}{3}$.
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents des nombres réels $-1$ ; $5$ et $\dfrac{1}{2}$.}\\
On cherche $x$ tel que $f(x)=-1$ c'est-à-dire tel que :
$$ 2x-1=-1\Longleftrightarrow 2x=0\Longleftrightarrow x=0$$
L'unique antécédent de $-1$ est $0$.
\\
On cherche $x$ tel que $f(x)=5$ c'est-à-dire tel que :
$$ 2x-1=5\Longleftrightarrow 2x=6\Longleftrightarrow x=3$$
L'unique antécédent de $5$ est $3$.
On cherche $x$ tel que $f(x)=\dfrac{1}{2}$ c'est-à-dire tel que :
$$ 2x-1=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow 2x=1,5\Longleftrightarrow x=0,75$$
L'unique antécédent de $\dfrac{1}{2}$ est $0,75$.
\end{enumerate}
}
\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (7 points)\\
\begin{footnotesize}
On souhaite déterminer l'ensemble des nombres réels $x$ tels que  :
$$-6x^2+7x-1\geq 0$$
Pour cela il faut répondre aux questions suivantes :
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize $x=0$ est-il solution de l'inéquation ?  \textit{Justifier}.}\\
Pour $x=0$ :
$-6x^2+7x-1=-6\times 0^2+7\times 0-1=-1$ n'est pas positif ou nul. Par conséquent $0$ n'est pas solution de l'inéquation.
\item {\footnotesize $x=1$ est-il solution de l'inéquation ? \textit{Justifier}.}\\
Si $x=0,5$ alors $-6x^2+7x-1=-6\times (0,5)^2+7\times (0,5)-1=-6\times 0,25+3,5-1=-1,5+3,5-1=1$ qui est un nombre positif ou nul par conséquent $0,5$ est solution de l'inéquation.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout nombre $x$ on a :
$$ (6x-1)(1-x)=-6x^2+7x-1$$
\end{footnotesize}
Pour tout nombre réel $x$ on a :
$$ (6x-1)(1-x)=6x-6x^2-1+x=-6x^2+7x-1$$
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $6x-1$.}
\\
$6x-1\geq 0\Longleftrightarrow 6x\geq 1\Longleftrightarrow x\geq \dfrac{1}{6}$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{dfrac{1}{6}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{6x-1}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $1-x$.}\\
$1-x\geq 0\Longleftrightarrow 1\geq x\Longleftrightarrow x\leq 1$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{1-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\item {\footnotesize En déduire le tableau de signe du produit $(6x-1)(1-x)$.}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1}{6}}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{6x-1}&&\tx{-}&\tx{0}&&\tx{+}&&\cr
\tx{1-x}&&&\tx{+}&&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{(6x-1)(1-x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\item {\footnotesize Déduire de ce dernier tableau de signe les solutions de l'inéquation $-6x^2+7x-1\geq 0$.}
$-6x^2+7x-1\geq 0$ équivaut à $(6x-1)(1-x)\geq 0$. Or d'après le tableau de signe précédent cette expression est positive ou nulle lorsque :
$$ x\in \left[\dfrac{1}{6};1\right]$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (3 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : 
$$ f(x)=-2x+1$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer les images de $0$, $5$, $-\dfrac{1}{3}$.}
\\
$f(0)=-2\times 0+1=1$. L'image de $0$ est $1$.\\
$f(5)=-2\times 5 +1=-9$. L'image de $5$ est $-9$.\\
$f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-2\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)+1=\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}$. L'image de $-\dfrac{1}{3}$ est $\dfrac{5}{3}$.
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents des nombres réels $-1$ ; $5$ et $\dfrac{1}{2}$.}
On cherche $x$ tel que $f(x)=-1$ c'est-à-dire tel que :
$$ -2x+1=-1\Longleftrightarrow -2x=-2\Longleftrightarrow x=1$$
L'unique antécédent de $-1$ est $1$.
\\
On cherche $x$ tel que $f(x)=5$ c'est-à-dire tel que :
$$ -2x+1=5\Longleftrightarrow -2x=4\Longleftrightarrow x=-2$$
L'unique antécédent de $5$ est $-2$.
On cherche $x$ tel que $f(x)=\dfrac{1}{2}$ c'est-à-dire tel que :
$$ -2x+1=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow -2x=-0,5\Longleftrightarrow x=0,25$$
L'unique antécédent de $\dfrac{1}{2}$ est $0,25$.
\end{enumerate}
}



\end{document}
