\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (10 points)\\}
\begin{footnotesize}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :
\end{footnotesize}\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{2-x}$ pour $x\neq 2$.
\item $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ pour $x\neq 0$.
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.}\\
On transforme l'expression $f(x)$ (because FI) :\\
Pour tout $x\neq 0$ :
$$ f(x)=\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x\left(\dfrac{2}{x}-1\right)}=x\dfrac{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{2}{x}-1}$$
On a :
$$ \lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{2}{x}-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$$
Et $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$ donc par produit on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$$
De même comme $\lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty$ on a par produit :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$$
\item {\footnotesize Peut-on en déduire l'existence d'une asymptote pour la représentation graphique $\mathscr C_f$  en $\pm \infty$  ?}\\
Les limites en $\pm \infty$ de $f$ valent $\pm \infty$ on ne peut donc pas en déduire l'existence d'asymptote horizontale.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout $x > 0$ on a :
$$ -\dfrac{1}{x}\leq g(x)\leq \dfrac{1}{x}$$ 
\end{footnotesize}
$$ \forall x>0, \qquad -1\leq \sin x \leq 1\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{x}\leq \dfrac{\sin x}{x}\leq \dfrac{1}{x}$$
\begin{footnotesize}
 En déduire la limite de $g$ en $+\infty$.\\
 \end{footnotesize}
On a $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{x}=0= \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}$ donc d'après le théorème des gendarmes on a :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$$
  {\footnotesize Peut-on en déduire l'existence d'une asymptote pour la représentation graphique $\mathscr C_g$  en $+ \infty$  ?}\\
  Du résultat précédent on déduit que $\mathscr C_g$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$.
 \item {\footnotesize Déterminer, en vous inspirant de la question précédente, la limite de $g$ en $-\infty$ et en déduire l'existence d'une asymptote à $\mathscr C_g$ en $-\infty$ que l'on précisera.}
 \\
 On refait la même chose mais pour $x<0$, ce qui donne :
 $$ \forall x<0, \qquad -1\leq \sin x \leq 1\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{x}\geq \dfrac{\sin x}{x}\geq \dfrac{1}{x}$$
 On a $\lim\limits_{x\to -\infty} -\dfrac{1}{x}=0= \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{x}$ donc d'après le théorème des gendarmes on a :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=0$$
  On en déduit que $\mathscr C_g$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $-\infty$.
 \item \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Etablir le tableau de signe de $2-x$.}\\
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
 \item {\footnotesize En déduire les limites de $f$ en $2^+$ puis en $2^-$ ; en déduire l'existence d'asymptote à $\mathscr C_f$ que l'on précisera.}
 \\
 D'après le tableau de signe précédent lorsque $x>2$ on a $2-x<0$ par conséquent :
 $$ \lim\limits_{x\to 2^+} 2-x=0^-$$
 De plus $\lim\limits_{x\to 2^+} x^2-x+1=4-2+1=3$, par quotient on obtient alors :
 $$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=-\infty $$
 De même, lorsque $x<2$ on a $2-x>0$ donc :
  $$ \lim\limits_{x\to 2^-} 2-x=0^+$$
 De plus $\lim\limits_{x\to 2^-} x^2-x+1=4-2+1=3$, par quotient on obtient alors :
 $$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=+\infty $$
On en déduit l'existence d'une asymptote verticale d'équation $x=2$.
\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Pour tout $x\neq 2$ calculer $f'(x)$.}\\
 Pour tout $x\neq 2$ $f$ est dérivable et on a :
 $$ f'(x)=\dfrac{(2x-1)(2-x)-(-1)\times (x^2-x+1)}{(2-x)^2}=\dfrac{4x-2x^2-2+x+x^2-x+1}{(2-x)^2}=\dfrac{-x^2+4x-1}{(2-x)^2}$$
 \item {\footnotesize Etudier le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$.}\\
 Pour tout $x\neq 2$, $(2-x)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x^2+4x-1$, polynôme dont nous allons dresser le tableau de signe.\\
 $\Delta = 16-4=12$, ce polynôme admet deux racines :
 $$ x_1=\dfrac{-4+\sqrt{12}}{-2}=2-\sqrt{3}\qquad \text{et}\qquad x_2=2+\sqrt{3}$$
 On obtient alors le tableau de signe de $f'$ :
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{2-\sqrt{3}}&&\tx{2}&&\tx{2+\sqrt{3}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\doubletraitmilieu&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
 \item {\footnotesize Dresser le tableau de variation complet de $f$ sur $]-\infty; 2[\cup ]2;+\infty[$.}
 \\
 On déduit du tableau de signe de la dérivée :
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{2-\sqrt{3}}&&\tx{2}&&\tx{2+\sqrt{3}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\doubletraitmilieu&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&\fd&\txb{f(2-\sqrt{3})}&\fm&\doubletraitmilieu&\fm&\txh{f(2+\sqrt{3})}&\fd&\txb{-\infty}\cr
}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}




\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (10 points)\\}
\begin{footnotesize}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :
\end{footnotesize}\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $f(x)=\dfrac{-x^2+x+1}{x-1}$ pour $x\neq 1$.
\item $g(x)=\dfrac{\cos x+1}{x}$ pour $x\neq 0$.
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.}\\
On transforme l'expression $f(x)$ (because FI) :\\
Pour tout $x\neq 0$ :
$$ f(x)=\dfrac{x^2\left(-1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}=x\dfrac{-1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{1}{x}}$$
On a :
$$ \lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{-1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{-1}{1}=-1$$
Et $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$ donc par produit on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$$
De même comme $\lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty$ on a par produit :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$$
\item {\footnotesize Peut-on en déduire l'existence d'une asymptote pour la représentation graphique $\mathscr C_f$  en $\pm \infty$  ?}\\
Les limites en $\pm \infty$ de $f$ valent $\pm \infty$ on ne peut donc pas en déduire l'existence d'asymptote horizontale.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout $x > 0$ on a :
$$ 0\leq g(x)\leq \dfrac{2}{x}$$ 
\end{footnotesize}
$$ \forall x>0, \qquad -1\leq \cos x \leq 1\Longleftrightarrow 0\leq \cos x+1\leq 2\Longleftrightarrow 0\leq \dfrac{\cos x +1}{x}\leq \dfrac{2}{x}$$
\begin{footnotesize}
 En déduire la limite de $g$ en $+\infty$.\\
 \end{footnotesize}
On a $\lim\limits_{x\to +\infty} 0=0= \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x}$ donc d'après le théorème des gendarmes on a :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$$
  {\footnotesize Peut-on en déduire l'existence d'une asymptote pour la représentation graphique $\mathscr C_g$  en $+ \infty$  ?}\\
  Du résultat précédent on déduit que $\mathscr C_g$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$.
 \item {\footnotesize Déterminer, en vous inspirant de la question précédente, la limite de $g$ en $-\infty$ et en déduire l'existence d'une asymptote à $\mathscr C_g$ en $-\infty$ que l'on précisera.}
 \\
 On refait la même chose mais pour $x<0$, ce qui donne :
 $$ \forall x<0, \qquad -1\leq \cos x \leq 1\Longleftrightarrow 0\leq \cos x+1\leq 2\Longleftrightarrow 0\geq \dfrac{\cos x +1}{x}\geq \dfrac{2}{x}$$
 On a $\lim\limits_{x\to -\infty} 0=0= \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2}{x}$ donc d'après le théorème des gendarmes on a :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=0$$
  On en déduit que $\mathscr C_g$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $-\infty$.
 \item \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Etablir le tableau de signe de $x-1$.}\\
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x-1}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
 \item {\footnotesize En déduire les limites de $f$ en $1^+$ puis en $1^-$ ; en déduire l'existence d'asymptote à $\mathscr C_f$ que l'on précisera.}
 \\
 D'après le tableau de signe précédent lorsque $x>1$ on a $x-1>0$ par conséquent :
 $$ \lim\limits_{x\to 1^+} x-1=0^+$$
 De plus $\lim\limits_{x\to 1^+} -x^2+x+1=-1+1+1=1$, par quotient on obtient alors :
 $$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)=+\infty $$
 De même, lorsque $x<1$ on a $x-1<0$ donc :
  $$ \lim\limits_{x\to 1^-} x-1=0^-$$
 De plus $\lim\limits_{x\to 1^-} -x^2+x+1=-1+1+1=1$, par quotient on obtient alors :
 $$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=-\infty $$
On en déduit l'existence d'une asymptote verticale d'équation $x=1$.
\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Pour tout $x\neq 1$ calculer $f'(x)$.}\\
 Pour tout $x\neq 1$ $f$ est dérivable et on a :
 $$ f'(x)=\dfrac{(-2x+1)(x-1)-1\times (-x^2+x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{-2x^2+2x+x-1+x^2-x-1}{(x-1)^2}=\dfrac{-x^2+2x-2}{(x-1)^2}$$
 \item {\footnotesize Etudier le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$.}\\
 Pour tout $x\neq 1$, $(x-1)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x^2+2x-2$, polynôme dont nous allons dresser le tableau de signe.\\
 $\Delta = 4-8=-4<0$, ce polynôme n'admet pas de racine donc il est de signe constant. Ici on a pour tout $x\neq 1$, $-x^2+x+1<0$.
 On obtient alors le tableau de signe de $f'$ :
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\doubletraitmilieu&\tx{-}&\cr
}$$
 \item {\footnotesize Dresser le tableau de variation complet de $f$ sur $]-\infty; 1[\cup ]1;+\infty[$.}
 \\
 On déduit du tableau de signe de la dérivée :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\doubletraitmilieu&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&\fd&\doubletraitmilieu&\fd&\txb{-\infty}\cr
}$$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{document}
