\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Représenter, avec des couleurs, sur des droites différentes l'ensemble des nombres réels $x$ vérifiant :}
\begin{enumerate}
\item $0<x\leq \sqrt{2}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.73,-2.24)(3.98,2.41)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=false,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.73,-2.24)(3.98,2.41)
\psline[linecolor=blue](0,0)(1.41,0)
\psline[linecolor=blue](0,0.5)(-0.2,0.5)
\psline[linecolor=blue](0,-0.5)(0,0.5)
\psline[linecolor=blue](0,-0.5)(-0.2,-0.5)
\psline[linecolor=blue](1.41,-0.5)(1.21,-0.5)
\psline[linecolor=blue](1.41,0.5)(1.21,0.5)
\psline[linecolor=blue](1.41,-0.5)(1.41,0.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\item $x\geq \dfrac{7}{3}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.74,-1.06)(5.2,2.41)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=false,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.74,-1.06)(5.2,2.41)
\psline[linecolor=blue](2.53,0.5)(2.33,0.5)
\psline[linecolor=blue](2.33,-0.5)(2.33,0.5)
\psline[linecolor=blue](2.33,-0.5)(2.53,-0.5)
\psplot[linecolor=blue]{2.33}{5.2}{(-0-0*x)/1.6}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Recopier et compléter par $\in$ ou $\notin$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $1 \in [0;\sqrt{2}]$.
\item $-\pi \notin ]-2;-1[$.
\item $6\in \left[\dfrac{7}{3};+\infty\right[$.
\item $-3\in \left]-\infty;-3,5\right]$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Si $x\in [3;4]$ et $y\in ]5;6]$, donner un intervalle auquel appartient les nombres suivants :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $8<x+y\leq 10$
\item $-3\leq x-y<-1$
\item $15<xy\leq 24$
\item $\dfrac{1}{2}\leq \dfrac{x}{y}<\dfrac{4}{5}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé on donne $A(-5;0)$, $B(-\sqrt{3};5\sqrt{3}+1)$, $C(5;2)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer les coordonnées du milieu $K$ de $[AC]$.}\\
$$ x_K=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-5+5}{2}=0\qquad \text{et}\qquad y_K=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{0+2}{2}=1$$
On conclut que :
$$ K(0;1)$$
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que : $$AB=BC=\sqrt{104}$$
En déduire la nature du triangle $ABC$.
\end{footnotesize}
\\
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-\sqrt{3}+5)^2+(5\sqrt{3}+1)^2}=\sqrt{3-10\sqrt{3}+25+75+10\sqrt{3}+1}=\sqrt{104}$$
De même :
$$ BC=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}=\sqrt{(-\sqrt{3}-5)^2+(5\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{3+10\sqrt{3}+25+75-10\sqrt{3}+1}=\sqrt{104}$$
On a bien :
$$ AB=BC=\sqrt{104}$$
Le triangle $ABC$ est isocèle en $B$. \\
Calculons $AC$ :
$$ AC=\sqrt{(5+5)^2+2^2}=\sqrt{29}$$
Le triangle $ABC$ n'est pas donc pas équilatéral, et comme $AC$ n'est pas le plus grand côté il ne peut-être rectangle.
\item {\footnotesize Calculer l'aire du triangle $ABC$ (\textit{Justifier}).}\\
$$ \mathscr A(ABC)=\dfrac{base \times hauteur}{2}=\dfrac{AC\times BK}{2}$$
Calculons $BK$ : 
$$ BK=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(1-5\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{3+75}=\sqrt{78}$$
Par conséquent :
$$ \mathscr A(ABC)=\dfrac{\sqrt{29}\times \sqrt{78}}{2}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction del'interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Représenter, avec des couleurs, sur des droites différentes l'ensemble des nombres réels $x$ vérifiant :}
\begin{enumerate}
 \item $-\sqrt{3}\leq x<2$.
 \begin{center}
 \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.62,-2.24)(3.1,2.41)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=false,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.62,-2.24)(3.1,2.41)
\psline[linecolor=blue](-1.73,0)(2,0)
\psline[linecolor=blue](-1.73,0.5)(-1.93,0.5)
\psline[linecolor=blue](-1.73,-0.5)(-1.73,0.5)
\psline[linecolor=blue](-1.73,-0.5)(-1.93,-0.5)
\psline[linecolor=blue](2,-0.5)(1.8,-0.5)
\psline[linecolor=blue](2,0.5)(1.8,0.5)
\psline[linecolor=blue](2,-0.5)(2,0.5)
\end{pspicture*}
 \end{center}
\item $x\geq -\dfrac{7}{3}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.3,-1.06)(2.64,2.41)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=false,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.3,-1.06)(2.64,2.41)
\psline[linecolor=blue](-2.13,0.5)(-2.33,0.5)
\psline[linecolor=blue](-2.33,-0.5)(-2.33,0.5)
\psline[linecolor=blue](-2.33,-0.5)(-2.13,-0.5)
\psplot[linecolor=blue]{-2.33}{2.64}{(-0-0*x)/6.26}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Recopier et compléter par $\in$ ou $\notin$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $1\notin [\sqrt{2};\sqrt{3}]$.
\item $-\pi \notin ]1;3[$.
\item $6\in \left[\dfrac{7}{3};+\infty\right[$.
\item $-5\in \left]-\infty;-5\right]$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Si $x\in [1;2]$ et $y\in ]4;5]$, donner un intervalle auquel appartient les nombres suivants :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $5<x+y\leq 7$
\item $-4\leq x-y<-2$
\item $4<xy\leq 10$
\item $\dfrac{1}{5}\leq\dfrac{x}{y}<\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé on donne $A(-5;0)$, $B(-\sqrt{3};5\sqrt{3}+1)$, $C(5;2)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer les coordonnées du milieu $K$ de $[AC]$.}\\
$$ x_K=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-5+5}{2}=0\qquad \text{et}\qquad y_K=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{0+2}{2}=1$$
On conclut que :
$$ K(0;1)$$
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que : $$AB=BC=\sqrt{104}$$
En déduire la nature du triangle $ABC$.
\end{footnotesize}
\\
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-\sqrt{3}+5)^2+(5\sqrt{3}+1)^2}=\sqrt{3-10\sqrt{3}+25+75+10\sqrt{3}+1}=\sqrt{104}$$
De même :
$$ BC=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}=\sqrt{(-\sqrt{3}-5)^2+(5\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{3+10\sqrt{3}+25+75-10\sqrt{3}+1}=\sqrt{104}$$
On a bien :
$$ AB=BC=\sqrt{104}$$
Le triangle $ABC$ est isocèle en $B$. \\
Calculons $AC$ :
$$ AC=\sqrt{(5+5)^2+2^2}=\sqrt{29}$$
Le triangle $ABC$ n'est pas donc pas équilatéral, et comme $AC$ n'est pas le plus grand côté il ne peut-être rectangle.
\item {\footnotesize Calculer l'aire du triangle $ABC$ (\textit{Justifier}).}\\
$$ \mathscr A(ABC)=\dfrac{base \times hauteur}{2}=\dfrac{AC\times BK}{2}$$
Calculons $BK$ : 
$$ BK=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(1-5\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{3+75}=\sqrt{78}$$
Par conséquent :
$$ \mathscr A(ABC)=\dfrac{\sqrt{29}\times \sqrt{78}}{2}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}




\end{document}
