\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de  l'interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ on considère les points :
$$ A(1;3;0)\qquad B(2;5;1)\qquad \text{et}\qquad C(-3;4;2)$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $(ABC)$ est un plan.}\\
$(ABC)$ est un plan si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.\\
Or, $\overrightarrow{AB}(1;2;1)$ et $\overrightarrow{AC}(-4;1;2)$.\\
Pour passer de $z_{\overrightarrow{AB}}$ à $z_{\overrightarrow{AC}}$ on multiplie par $2$, en revanche pour passer de $y_{\overrightarrow{AB}}$ à $y_{\overrightarrow{AC}}$ on multiplie par $0,5$. Ce constat prouve qu'il n'existe pas de réel $t$ tel que $\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}$.\\
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires, par conséquent $(ABC)$ est un plan.
\item {\footnotesize Déterminer une représentation paramétrique du plan $(ABC)$}\\
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ forment un couple de vecteurs directeurs du plan $(ABC)$.
$$M(x;y;z)\in (ABC)\Longleftrightarrow \exists t\in\R \text{ et } \exists t'\in\R, \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+t'\overrightarrow{AC}$$
Par conséquent :
$$M(x;y;z)\in (ABC)\Longleftrightarrow \exists t\in\R \text{ et } \exists t'\in\R,  \left\{\begin{array}{l c l}
x-1&=& t-4t'\\
y-3&=& 2t+t'\\
z&=& t+2t'
\end{array}\right.,\quad t\in\R\text{ et }t'\in\R$$
Une représentation paramétrique du plan $(ABC)$ est donc :
$$ \left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t-4t'+1\\
y&=& 2t+t'+3\\
z&=& t+2t'
\end{array}\right.,\quad t\in\R\text{ et }t'\in\R$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est :
$$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 - t\\
y&=&- 2t \\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right.,\quad t\in\R$$
\end{footnotesize}
 \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Le point $N(-8;6;-7)$ appartient-il à $d$ ?}\\
Si $N\in d$ alors $-8=-2-t\Longleftrightarrow -6=-t\Longleftrightarrow t=6$.\\
Remplaçons $t$ par $6$ dans la représentation paramétrique de $d$.\\
$y=-12$ et $z=-1-6=-7$.\\
L'ordonnée de $N$ n'étant pas égale à $-12$ on conclut que $N\notin d$. 
\item {\footnotesize Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec u$ de $d$.}\\
D'après le cours, en lisant la représentation paramétrique de $d$, le vecteur $\vec u(-1;-2;-1)$ dirige la droite $d$.
\item {\footnotesize Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.}\\
Premièrement $\overrightarrow{AB}(1;2;1)$ dirige la droite $(AB)$, par conséquent :
$$ M(x;y;z)\in (AB)\Longleftrightarrow \exists t\in\R, \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow \exists t\in\R, \left\{\begin{array}{l c l}
x-1&=& t\\
y-3&=& 2t \\
z&=& t
\end{array}\right.$$
Une représentation paramétrique de $(AB)$ est alors :
$$ \left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t+1\\
y&=& 2t+3 \\
z&=& t
\end{array}\right.,\qquad t\in\R$$
\item {\footnotesize Etudier les positions relatives de $d$ et $(AB)$.}\\
$\vec u (-1;-2:-1)$ dirige $d$ et $\overrightarrow{AB}(1;2;1)$ dirige $(AB)$, de plus $\vec u=-\overrightarrow{AB}$ donc $\vec u$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, on en déduit que :
$$ d//(AB)$$
Vérifions si $A\in d$, $1=-2-t\Longleftrightarrow t=-3$. Dans ce cas $y=-2\times (-3)=6$, or $y_A\neq 6$ donc $A\notin d$.\\
On en déduit que $d$ et $(AB)$ sont strictement parallèles.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la sphère $\mathscr S$ de centre $C$ et de rayon $BC$.}\\
$BC=\sqrt{(-3-2)^2+(4-5)^2+(2-1)^2}=\sqrt{25+1+1}=\sqrt{27}$.\\
$$ M(x;y;z)\in\mathscr S\Longleftrightarrow CM=BC\Longleftrightarrow CM^2=BC^2\Longleftrightarrow (x+3)^2+(y-4)^2+(z-2)^2=27$$
Une équation cartésienne de la sphère $\mathscr S$ est donc :
$$ (x+3)^2+(y-4)^2+(z-2)^2=27$$
\end{enumerate}}



\pagebreak%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ on considère les points :
$$ A(1;-3;-1)\qquad B(2;-5;1)\qquad \text{et}\qquad C(3;4;-2)$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $(ABC)$ est un plan.}\\
$(ABC)$ est un plan si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.\\
Or, $\overrightarrow{AB}(1;-2;2)$ et $\overrightarrow{AC}(2;7;-1)$.\\
Pour passer de $x_{\overrightarrow{AB}}$ à $x_{\overrightarrow{AC}}$ on multiplie par $2$, en revanche pour passer de $z_{\overrightarrow{AB}}$ à $z_{\overrightarrow{AC}}$ on multiplie par $-0,5$. Ce constat prouve qu'il n'existe pas de réel $t$ tel que $\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}$.\\
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires, par conséquent $(ABC)$ est un plan.
\item {\footnotesize Déterminer une représentation paramétrique du plan $(ABC)$}\\
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ forment un couple de vecteurs directeurs du plan $(ABC)$.
$$M(x;y;z)\in (ABC)\Longleftrightarrow \exists t\in\R \text{ et } \exists t'\in\R, \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+t'\overrightarrow{AC}$$
Par conséquent :
$$M(x;y;z)\in (ABC)\Longleftrightarrow \exists t\in\R \text{ et } \exists t'\in\R,  \left\{\begin{array}{l c l}
x-1&=& t+2t'\\
y+3&=& -2t+7t'\\
z+1&=& 2t-t'
\end{array}\right.,\quad t\in\R\text{ et }t'\in\R$$
Une représentation paramétrique du plan $(ABC)$ est donc :
$$ \left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t+2t'-1\\
y&=& -2t+7t'-3\\
z&=& 2t-t'-1
\end{array}\right.,\quad t\in\R\text{ et }t'\in\R$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est :
$$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 - t\\
y&=& 2t \\
z&=&- 1 - 2t
\end{array}\right.,\quad t\in\R$$
\end{footnotesize}
 \begin{enumerate}
\item{\footnotesize  Le point $N(-4;4;-5)$ appartient-il à $d$ ?}
\\
Si $N\in d$ alors $-4=-2-t\Longleftrightarrow -2=-t\Longleftrightarrow t=2$.\\
Remplaçons $t$ par $2$ dans la représentation paramétrique de $d$.\\
$y=4$ et $z=-1-4=-5$.\\
Au final lorsque $t=2$ on retrouve les coordonnées de $N$ donc $N\in d$. 
\item {\footnotesize Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec u$ de $d$.}\\
D'après le cours, en lisant la représentation paramétrique de $d$, le vecteur $\vec u(-1;2;-2)$ dirige la droite $d$.
\item {\footnotesize Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.}\\
Premièrement $\overrightarrow{AB}(1;-2;2)$ dirige la droite $(AB)$, par conséquent :
$$ M(x;y;z)\in (AB)\Longleftrightarrow \exists t\in\R, \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow \exists t\in\R, \left\{\begin{array}{l c l}
x-1&=& t\\
y+3&=& -2t \\
z+1&=& 2t
\end{array}\right.$$
Une représentation paramétrique de $(AB)$ est alors :
$$ \left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t+1\\
y&=& -2t-3 \\
z&=& 2t-1
\end{array}\right.,\qquad t\in\R$$
\item {\footnotesize Etudier les positions relatives de $d$ et $(AB)$.}\\
$\vec u (-1;2:-2)$ dirige $d$ et $\overrightarrow{AB}(1;-2;2)$ dirige $(AB)$, de plus $\vec u=-\overrightarrow{AB}$ donc $\vec u$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, on en déduit que :
$$ d//(AB)$$
Montrons que $A\notin d$, $1=-2-t\Longleftrightarrow t=-3$. Dans ce cas $y=-2\times (-3)=6$, or $y_A\neq 6$ donc $A\notin d$.\\
On en déduit que $d$ et $(AB)$ sont strictement parallèles.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la sphère $\mathscr S$ de centre $C$ et de rayon $BC$.}\\
$BC=\sqrt{(3-2)^2+(4+5)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{1+81+9}=\sqrt{91}$.\\
$$ M(x;y;z)\in\mathscr S\Longleftrightarrow CM=BC\Longleftrightarrow CM^2=BC^2\Longleftrightarrow (x-3)^2+(y-4)^2+(z+2)^2=91$$
Une équation cartésienne de la sphère $\mathscr S$ est donc :
$$ (x-3)^2+(y-4)^2+(z+2)^2=91$$
\end{enumerate}}


\end{document}
