\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé on donne $A(3;5)$, $B(1;1)$ et $C(5;-1)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $AB$ et $AC$.}
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(1-3)^2+(1-5)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$
$$ AC=\sqrt{(x_C-x_A	)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(-1-5)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$$
\item {\footnotesize Déterminer le périmètre du triangle $ABC$.}
$$ BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}=\sqrt{(5-1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$$
Le périmètre $\mathscr P$ du triangle $ABC$ vaut donc $ \mathscr P=AB+AC+BC=2\sqrt{20}+\sqrt{40}$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Déterminer les coordonnées de $D$}.\\
$B$ est donc le milieu de $[AD]$ par conséquent :
$$ x_B=\dfrac{x_A+x_D}{2}\qquad \text{et}\qquad  y_B=\dfrac{y_A+y_D}{2}$$
d'où :
$$ 1=\dfrac{3+x_D}{2}\qquad \text{et}\qquad 1=\dfrac{5+y_D}{2}$$
Au final $2=3+x_D$ donc $x_D=-1$ et $2=5+y_D$ donc $y_D=-3$.
$$D(-1;-3) $$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé on donne $A(-3;4)$, $B(0;6)$, $C(4;0)$ et $D(1;-2)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.\\}\\
\begin{footnotesize}
\textit{Pour cela on déterminer les coordonnées des milieux $I$ et $J$ des deux diagonales du quadrilatère $ABCD$.}
\end{footnotesize}\\
Notons $I$ le milieu de $[AC]$, il a pour coordonnées :
$$ x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-3+4}{2}=\dfrac{1}{2}\qquad \text{et}\qquad y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{4+0}{2}=2$$
$$ I\left(\dfrac{1}{2};2\right)$$
De même notons $J$ le milieu de $[BD]$ on obtient :
$$ x_J=\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}\qquad \text{et}\qquad y_J=\dfrac{y_B+y_D}{2}=\dfrac{6-2}{2}=2$$
$$ J\left(\dfrac{1}{2};2\right)$$
On constate que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leurs milieux, par conséquent $ABCD$ est un parallélogramme. 
\item {\footnotesize Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle.}
\\
Déterminons les longueurs des côtés $AB$, $AC$ et $BC$ :
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A	)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(0+3)^2+(6-4)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$$
$$ AC=\sqrt{(x_C-x_A	)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(4+3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$$
$$ BC=\sqrt{(x_B-x_C	)^2+(y_B-y_C)^2}=\sqrt{(0-4)^2+(6-0)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$$
On a enfin $AB^2+AC^2=13+52=65=BC^2$ par conséquent, d'après  pythagore, $ABC$ est rectangle en $A$.
\item \begin{footnotesize}
Que peut-on en déduire de plus sur $ABCD$
.
\end{footnotesize}
\\Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle, donc $ABCD$ est un rectangle.
\end{enumerate}}
%\pagebreak
\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé on donne $A(-3;5)$, $B(2;2)$ et $C(5;-1)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $AB$ et $AC$.}
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(2+3)^2+(2-5)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$$
$$ AC=\sqrt{(x_C-x_A	)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(5+3)^2+(-1-5)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}$$
\item {\footnotesize Déterminer le périmètre du triangle $ABC$}.
$$ BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}=\sqrt{(5-2)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$$
Le périmètre $\mathscr P$ du triangle $ABC$ vaut donc $ \mathscr P=AB+AC+BC=\sqrt{34}+\sqrt{100}+\sqrt{18}$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Déterminer les coordonnées de $D$.}\\
$B$ est donc le milieu de $[AD]$ par conséquent :
$$ x_B=\dfrac{x_A+x_D}{2}\qquad \text{et}\qquad  y_B=\dfrac{y_A+y_D}{2}$$
d'où :
$$ 2=\dfrac{-3+x_D}{2}\qquad \text{et}\qquad 2=\dfrac{5+y_D}{2}$$
Au final $4=-3+x_D$ donc $x_D=7$ et $4=5+y_D$ donc $y_D=-1$.
$$D(7;-1) $$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormé on donne $A(-3;4)$, $B(6;0)$, $C(4;0)$ et $D(-5;4)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.\\}
\begin{footnotesize}
\textit{Pour cela on déterminer les coordonnées des milieux $I$ et $J$ des deux diagonales du quadrilatère $ABCD$.}
\end{footnotesize}
\\
Notons $I$ le milieu de $[AC]$, il a pour coordonnées :
$$ x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-3+4}{2}=\dfrac{1}{2}\qquad \text{et}\qquad y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{4+0}{2}=2$$
$$ I\left(\dfrac{1}{2};2\right)$$
De même notons $J$ le milieu de $[BD]$ on obtient :
$$ x_J=\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{6-5}{2}=\dfrac{1}{2}\qquad \text{et}\qquad y_J=\dfrac{y_B+y_D}{2}=\dfrac{0+4}{2}=2$$
$$ J\left(\dfrac{1}{2};2\right)$$
On constate que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leurs milieux, par conséquent $ABCD$ est un parallélogramme. 
\item  {\footnotesize $ABC$ est-il un triangle rectangle ?}\\
Déterminons les longueurs des côtés $AB$, $AC$ et $BC$ :
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A	)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(6+3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}$$
$$ AC=\sqrt{(x_C-x_A	)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(4+3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$$
$$ BC=\sqrt{(x_B-x_C	)^2+(y_B-y_C)^2}=\sqrt{(6-4)^2+(0-0)^2}=\sqrt{4}=2$$
On a enfin $BC^2+AC^2=4+65=69<BC^2$=97 par conséquent, d'après  pythagore, $ABC$ n'est pas rectangle.
\item {\footnotesize Est-il possible que le parallélogramme $ABCD$ soit un carré ? un rectangle ? un losange ? \textit{Justifier votre réponse.}}
\\
$ABCD$ n'est ni un rectangle ni un carré puisque le triangle $ABC$ n'est pas rectangle. De plus $AB\neq BC$ donc ce n'est pas un losange non plus.
\end{enumerate}}




\end{document}
