\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro



\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=2n+n\times (-1)^n$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer, à l'aide du théorème de comparaison, la limite de la suite $u$.}\\
On a : $$ -1\leq (-1)^n\leq 1$$
De ce simple constat on tire que :
$$ -n\leq n\times (-1)^n\leq n$$
d'où l'encadrement de $u_n$ :
$$ 2n-n\leq 2n+n\times (-1)^n\leq 2n+n(-1)^n\Longleftrightarrow n\leq u_n\leq 2n+n(-1)^n$$
Enfin comme $\lim\limits_{n\to+\infty} n=+\infty$ on a, d'après le théorème de comparaison :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$$
\item {\footnotesize La suite est-elle monotone ? (\textit{on justifiera cette réponse}).}
\\
$u_0=0$, $u_1=2-1=1$, $u_2=6$, $u_3=3$. Le calcul de ces termes suffit à justifier que la suite n'est pas monotone.
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier $n$,
$$ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$. Que peut-on conjecturer sur la suite $u$ ?}\\
$u_1=3$, $u_2=\sqrt{17}$ et $u_3=\sqrt{4\sqrt{17}+5}$.
\\
En utilisant une calculatrice et en lisant un peu les questions suivantes il est probable que cette suite soit croissante, majorée par $5$ et donc converge vers on espère $5$.
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer, par récurrence la propriété $\mathscr P$ définie au rang $n$ par :
$$ \mathscr P(n) : 0<u_n < 5$$
\end{footnotesize}
\\
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ :
\\
$u_0=1$ et $1$ est effectivement un nombre strictement positif et un nombre strictement inférieur à $5$.
\\$\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $0<u_n<5$ et montrons que $0<u_{n+1}<5$.\\
On a :
\begin{eqnarray*}
& & 0<u_n<5 \\
& \Longleftrightarrow & 0<4u_n<20\\
& \Longleftrightarrow & 5<4u_n+5<25\\
& \Longleftrightarrow & \sqrt{5}<\sqrt{4u_n+5}<5\qquad \text{car la fonction racine carré est strictement croissante sur }[5;+\infty[\\
& \Longleftrightarrow & 0<\sqrt{5}<u_{n+1}<5\\
\end{eqnarray*}
Ainsi dès que $\mathscr P(n)$ est vraie, $\mathscr P(n+1)$ est vraie. La propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc :
$$ \forall n\in\N,\quad 0<u_n<5$$
\end{itemize}
\item {\footnotesize Montrer, par récurrence que la suite $u$ est strictement croissante.}\\
Notons $C$ pour croissante la propriété définie au rang $n$ par :
$$ C(n) : u_{n}<u_{n+1}$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ :
\\
On a : $u_0=1$ et $u_1=3$, on a bien $u_0<u_1$ donc $\mathscr C(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $u_{n}<u_{n+1}$, montrons que $u_{n+1}<u_{n+2}$
On a :
\begin{eqnarray*}
& & u_{n}<u_{n+1} \\
& \Longleftrightarrow & 4u_{n}<4u_{n+1}\\
& \Longleftrightarrow & 4u_{n}+5<4u_{n+1}+5\\
& \Longleftrightarrow & \sqrt{4u_{n}+5}<\sqrt{4u_{n+1}+5} \qquad \text{car la fonction racine carré est strictement croissante sur }[0;+\infty[\\
& \Longleftrightarrow & u_{n+1}<u_{n+2}\\
\end{eqnarray*}
Ainsi dès que $\mathscr C(n)$ est vraie, $\mathscr C(n+1)$ est vraie. La propriété $\mathscr C$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr C$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc $u$ est une suite strictement croissante.
\item {\footnotesize En déduire que $u$ converge.}\\
$ u$ est une suite strictement croissante et majorée par $5$, donc $u$ converge vers un réel pour l'instant inconnu.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \textbf{Bonus} : {\footnotesize Déterminer la limite $\ell$ de la suite $u$.}\\
$u$ converge vers $\ell$ donc :
$$  u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5}  \Longrightarrow u_{n+1}^2=4u_n+5\Longrightarrow\ell^2=4\ell +5\Longrightarrow \ell^2-4\ell-5=0$$
$\Delta=b^2-4ac=16+20>0$, d'où deux solutions :
$$ \ell_1=\dfrac{4+\sqrt{36}}{2}=5\qquad \text{ou}\qquad \ell_2=\dfrac{4-\sqrt{36}}{2}=-1$$
Puisque $u_n>0$ on a :
$$\lim\limits_{n\to+\infty}=5 $$
\end{enumerate}
}

\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\dfrac{n+\cos n}{n+3}\qquad \text{et}\qquad w_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer, à l'aide du théorème des gendarmes, la limite de la suite $u$.}\\
On a :
\begin{eqnarray*}
& & -1\leq \cos n\leq 1 \\
& \Longleftrightarrow & n-1\leq n+\cos n\leq 1+n \\
& \Longleftrightarrow & \dfrac{n-1}{n+3}\leq\dfrac{n+\cos n}{n+3} \leq \dfrac{n+1}{n+3}\\
& \Longleftrightarrow & \dfrac{n-1}{n+3}\leq u_n\leq \dfrac{n+1}{n+3}\\
\end{eqnarray*}
\\
Or :
$$ \dfrac{n-1}{n+3}=\dfrac{n\left(1-\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{3}{n}\right)}=\dfrac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}$$
ce qui converge vers $ \dfrac{1}{1}=1$.\\
De même :
$$  \dfrac{n+1}{n+3}=\dfrac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{3}{n}\right)}=\dfrac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}$$
ce qui converge vers $ \dfrac{1}{1}=1$.
\\
Au final :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{n-1}{n+3}=1=\lim\limits_{n\to+\infty}  \dfrac{n+1}{n+3}$$
donc d'après le théorème des gendarmes on a :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}  u_n=1 $$
\item {\footnotesize Déterminer, à l'aide du théorème des gendarmes, la limite de la suite $w$.}\\
On a :
\begin{eqnarray*}
& & -1\leq  (-1)^n\leq 1 \\
& \Longleftrightarrow & \dfrac{-1}{n+1}\leq \dfrac{(-1)^n}{n+1}\leq \dfrac{1}{n+1} \\
& \Longleftrightarrow &\dfrac{-1}{n+1}\leq w_n \leq \dfrac{1}{n+1}\\
\end{eqnarray*}
Comme :
$$\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{-1}{n+1}=0=\lim\limits_{n\to+\infty}  \dfrac{1}{n+1}$$
d'après le théorème des gendarmes on a :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}  w_n=0 $$
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie par $u_0=-2$ et pour tout entier $n$,
$$ u_{n+1}=1+\dfrac{1}{2}u_n$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que la suite $u$ est strictement croissante.}\\
\\
Notons $C$ pour croissante la propriété définie au rang $n$ par :
$$ C(n) : u_{n}<u_{n+1}$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ :
\\
On a : $u_0=-2$ et $u_1=1-2\times \dfrac{1}{2}=0$, on a bien $u_0<u_1$ donc $\mathscr C(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $u_{n}<u_{n+1}$, montrons que $u_{n+1}<u_{n+2}$
On a :
\begin{eqnarray*}
& & u_{n}<u_{n+1} \\
& \Longleftrightarrow & \dfrac{1}{2} u_{n}< \dfrac{1}{2} u_{n+1}\\
& \Longleftrightarrow & 1+\dfrac{1}{2} u_{n}<\dfrac{1}{2} u_{n+1}+1\\
& \Longleftrightarrow & u_{n+1}<u_{n+2}\\
\end{eqnarray*}
Ainsi dès que $\mathscr C(n)$ est vraie, $\mathscr C(n+1)$ est vraie. La propriété $\mathscr C$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr C$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc $u$ est une suite strictement croissante.
\item {\footnotesize En déduire que $u$ converge.}\\
$ u$ est une suite strictement croissante et majorée par $5$, donc $u$ converge vers un réel pour l'instant inconnu.
\end{itemize}
\item  \begin{footnotesize}
Montrer, par récurrence,  la propriété $\mathscr P$ définie au rang $n$ par :
$$ \mathscr P(n) : u_n < 2$$
\end{footnotesize}
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ on a $u_0=-2$ qui est bien inférieur strictement à $2$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $u_n<2$ et montrons que $u_{n+1}<2$.\\
$$ u_n<2\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}u_n<1\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}u_n+1<2\Longleftrightarrow u_{n+1}<2$$
Ainsi dès que $\mathscr P(n)$ est vraie, $\mathscr P(n+1)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ on a $u_n<2$.
\end{itemize}
\item {\footnotesize En déduire que $u$ converge.}\\
$u$ est croissante et majorée par $2$ d'après les questions qui précèdent donc $u$ converge.
\item {\footnotesize Déterminer la limite $\ell$ de la suite $u$.}\\
En notant $\ell$ la limite on a, par passage à la limite :
$$ u_{n+1}=1+\dfrac{1}{2}u_n\Longleftrightarrow \ell =1+\dfrac{1}{2}\ell\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}\ell=1\Longleftrightarrow \ell =2$$
\end{enumerate}
}


\end{document}
