\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro



\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Déterminer  la limite de chacune des suites ci-dessous :
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item $u_n=(2n+1)^2$
\\
On sait que $\lim\limits_{n\to +\infty} 2n+1=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} n^2=+\infty$ donc :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} (2n+1)^2=+\infty$$
\item $u_n=\dfrac{3}{2\sqrt{n}+5}$\\
Comme $$\lim\limits_{n\to +\infty} 2\sqrt{n}+5=+\infty$$ on a :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{3}{2\sqrt{n}+5}=0$$
\item $u_n=\dfrac{4n-1}{n+4}$ est une forme indéterminée ( de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$.
$$ \dfrac{4n-1}{n+4}=\dfrac{n\left(4-\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{4}{n}\right)}=\dfrac{4-\frac{1}{n}}{1+\frac{4}{n}}$$
Enfin comme $ \lim\limits_{n\to +\infty}  4-\frac{1}{n}=4$ et $ \lim\limits_{n\to +\infty}  1+\frac{4}{n}=1$ on peut conclure par quotient que :
$$  \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4$$
\item $u_n=\dfrac{2n^2-5n+3}{n+4}=\dfrac{n^2\left(2-\frac{5}{n}+\frac{3}{n}\right)}{n\left(1+\frac{4}{n}\right)}=n\dfrac{2-\frac{5}{n}+\frac{3}{n}}{1+\frac{4}{n}}$
\\
Or,  $ \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2-\frac{5}{n}+\frac{3}{n}}{1+\frac{4}{n}}=2$ et $ \lim\limits_{n\to +\infty}  n=+\infty$ par conséquent, par produit :
$$  \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$$
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$u_0=3\qquad \text{et}\qquad  u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+5$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_n=-7\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+10$$
\end{footnotesize}
Montrons la propriété $\mathscr P$ définie pour $n\in\N$ par :
$$ \mathscr P(n) : u_n=-7\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+10$$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : $u_0=3$ d'après l'énoncé et :
$$ -7\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^0+10=3=u_0$$
donc $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier $n\in\N$ tel que :
$$ u_n=-7\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+10$$
et montrons que :
$$ u_{n+1}=-7\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+10$$
D'après l'énoncé on a :
$$ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+5=\dfrac{1}{2}\left(-7\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+10\right)+5=-7\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+5+5=-7\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+10$$
Ainsi dès que $\mathscr P(n)$ est vraie $\mathscr P(n+1)$ est vraie, la propriété $\mathscr P$ est donc héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire par conséquent :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_n=-7\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+10$$
\end{itemize}
\item {\footnotesize En déduire que la limite $\ell$ de la suite $u$.}\\
Puisque $-1<\dfrac{1}{2}<1$ on a $\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$ et donc :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=10$$
\end{enumerate}
}

\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Déterminer  la limite de chacune des suites ci-dessous :
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item $u_n=(n-1)^2$ \\
Puisque $n^2\mapsto+\infty$ et $n-1\mapsto +\infty$ on en déduit : 
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} (n-1)^2=+\infty$$
\item $u_n=\dfrac{1}{5-2\sqrt{n}}$
\\
Puisque $\lim\limits_{n\to+\infty} 5-2\sqrt{n}=-\infty$ on en déduit que :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}  \dfrac{1}{5-2\sqrt{n}}=0$$
\item $u_n=\dfrac{5n^2+n}{2n^2+4}=\dfrac{n^2\left(5+\frac{1}{n}\right)}{n^2\left(2+\frac{4}{n^2}\right)}=\dfrac{5+\frac{1}{n}}{2+\frac{4}{n^2}}$
\\
Puisque $\lim\limits_{n\to+\infty} 5+\frac{1}{n}=5$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} 2+\frac{4}{n^2}=2$ le quotient a pour limite :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}  \dfrac{5+\frac{1}{n}}{2+\frac{4}{n^2}}=\dfrac{5}{2}$$
\item $u_n=\dfrac{2n^2-5n+3}{n^5+4}=\dfrac{n^2\left(2-\frac{5}{n}+\frac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(n^3+\frac{4}{n^2}\right)}=\dfrac{2-\frac{5}{n}+\dfrac{3}{n^2}}{n^3+\frac{4}{n^2}}$
\\
Puisque $\lim\limits_{n\to+\infty} 2-\dfrac{5}{n}+\dfrac{3}{n^2}=2$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} n^3+\dfrac{4}{n^2}=+\infty$ on a :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}  u_n=0$$
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$u_0=1\qquad \text{et}\qquad  u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+5$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_n=-\dfrac{17}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n+\dfrac{20}{3}$$
\end{footnotesize}
\\
Montrons la propriété $\mathscr P$ définie pour $n\in\N$ par :
$$ \mathscr P(n) : u_n=-\dfrac{17}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n+\dfrac{20}{3}$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ :
\\
$u_0=1$ d'après l'énoncé et $-\dfrac{17}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^0+\dfrac{20}{3} =1$ donc $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $  u_n=-\dfrac{17}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n+\dfrac{20}{3}$ et montrons que $$  u_{n+1}=-\dfrac{17}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}+\dfrac{20}{3}$$
D'après l'énoncé on a :
$$ u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+5=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{17}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n+\dfrac{20}{3}\right)+5=-\dfrac{17}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}+\dfrac{20}{12}+5=-\dfrac{17}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}+\dfrac{80}{12}=-\dfrac{17}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}+\dfrac{20}{3}$$
Ainsi dès que $\mathscr P(n)$ est vraie $\mathscr P(n+1)$ est vraie, la propriété est donc héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire par conséquent :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_n=-\dfrac{17}{3}\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n+\dfrac{20}{3}$$
\end{itemize}
\item {\footnotesize En déduire que la limite $\ell$ de la suite $u$.}
\\
Puisque $-1<\dfrac{1}{4}<1$ on a $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$ et donc :
$$ \ell =\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\dfrac{20}{3}$$
\end{enumerate}
}


\end{document}
