\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_0=3 \qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=3u_n+2$$
Démontrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N,\quad  u_n=4\times 3^n-1$$
\end{footnotesize}
Soit la propriété $\mathscr P$ définie au rang $n$ par :
$$ \mathscr P(n) : u_n=4\times 3^n-1$$
Démontrons la par récurrence.
\begin{itemize}
\item \textit{\textbf{Initialisation}} : $u_0=3$ et $4\times 3^0-1=4-1=3$, ainsi $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textit{\textbf{Hérédité}} : On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que :
$$ u_n=4\times 3^n-1$$
Montrons que $u_{n+1}=4\times 3^{n+1}-1$.\\
Puisque $u_{n+1}=3u_n+2$ on a :
$$u_{n+1}=3(4\times 3^n-1)+2=4\times 3^{n+1}-3+2=4\times 3^{n+1}-1$$
Ainsi dès lors que $\mathscr P(n)$ est vraie $\mathscr P(n+1)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$ et est héréditaire. On en déduit que :
$$  \forall n\in\N,\quad  u_n=4\times 3^n-1$$ 
\end{itemize}}



\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Traduire par une phrase en français la \og phrase mathématique \fg{} suivante :
$$ \forall A>0, \exists N \in \N, \forall n\geq N \text{ on ait : } \sqrt{n}>A$$
\end{footnotesize}
\\
Pour tout réel $A$ strictement positif,  il existe un entier naturel $N$ tel que quelque soit l'entier $n$ supérieur ou égal à $N$ on ait la racine carrée de cet entier $n$ strictement supérieur au réel $A$.
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\sqrt{n}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Pour $A=10$, déterminer le plus petit entier naturel $N$ tel que $u_N>A$}\\
On cherche le plus petit entier $N$ tel que :
$$ u_N>10\Longleftrightarrow \sqrt{N}>10\Longleftrightarrow N>100$$
Le plus petit de ces entiers est donc $N=101$.
\item {\footnotesize Même question pour $A=1500$.}
\\
On cherche le plus petit entier $N$ tel que :
$$ u_N>1500\Longleftrightarrow \sqrt{N}>1500\Longleftrightarrow N>1500^2\Longleftrightarrow N>250000$$
Le plus petit de ces entiers est donc $N=250001$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_0=8\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N, \quad u_n > 1$$
\end{footnotesize}
Montrons par récurrence la propriété $\mathscr P$ définie au rang $n$ par :
$$ u_n>1$$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : 
\\
Puisque $u_0=8>1$ la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier $n$ tel que $u_n>1$ et montrons alors que $u_{n+1}>1$ :
\\
On a :
$$ u_n>1\Longleftrightarrow u_n+1>2\Longleftrightarrow \sqrt{u_n+1}>\sqrt{2}\Longleftrightarrow u_{n+1}>\sqrt{2}$$
Or $\sqrt{2}>1$ donc $u_{n+1}>1$.\\
Ainsi dès lors que $\mathscr P(n)$ est vraie $\mathscr P(n+1)$ est vraie.
\item \textit{\textbf{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire on en déduit que :
$$ \forall n\in\N, \quad u_n > 1$$
\end{itemize}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N, \quad u_{n+1}<u_n$$
\end{footnotesize}
Montrons par récurrence la propriété $\mathscr P$  définie au rang $n$ par :
$$u_{n+1}<u_n $$
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ il s'agit de vérifier que $u_{0+1}<u_0\Longleftrightarrow u_1<u_0$
\\
Or, $u_1=\sqrt{8+1}=3$ et on a bien $u_1<u_0$, la propriété $\mathscr P$ est donc vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Supposons qu'il existe un entier $n$ tel que $u_{n+1}<u_n$ et montrons que dans ce cas $u_{n+2}<u_{n+1}$.
\\
On a donc :
$$ u_{n+1}<u_n\Longleftrightarrow u_{n+1}+1<u_n+1\Longleftrightarrow \sqrt{u_{n+1}+1}<\sqrt{u_n+1}\Longleftrightarrow u_{n+2}<u_{n+1}$$
Ici on peut considérer la racine carrée de $u_n+1$ pour tout $n$ puisque d'après la question $1.$ $u_n>1>0$\\
Ainsi dès lors que $\mathscr P(n)$ est vraie $\mathscr P(n+1)$ est vraie.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée pour $n=0$ et est héréditaire, on en déduit que $$ \forall n\in\N, \quad u_{n+1}<u_n$$
On vient de démontrer que la suite $u$ est strictement décroissante.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Traduire par une phrase en français la \og phrase mathématique \fg{} suivante :
$$ \forall A>0, \exists N \in \N, \forall n\geq N \text{ on ait : } n^2>A$$
\end{footnotesize}
Pour tout réel $A$ strictement positif, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à l'entier $N$ on ait le carré de $n$ strictement supérieur à $A$.
\item \begin{footnotesize}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=n^2$$
 Pour $A=150$, déterminer le plus petit entier naturel $N$ tel que $u_N>A$
\end{footnotesize}
\\
On cherche le plus petit entier $N$ tel que :
$$ u_n>150\Longleftrightarrow n^2>150\Longleftrightarrow n>\sqrt{150}\simeq 12$$
Ainsi le plus petit entier naturel qui convient est $N=13$.
\end{enumerate}
}
\end{document}
