\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}19$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\medskip
 
 
 \begin{exoi}\hfill (4 points)\\
 On considère le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous de côté $a$.
 \begin{center}
 \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.34,0.76)(3.04,6.18)
\psline(-2.76,1.04)(1.22,1.02)
\psline(2.56,1.72)(1.22,1.02)
\psline(-2.76,1.04)(-2.74,5.02)
\psline(-2.74,5.02)(1.24,5)
\psline(1.24,5)(2.58,5.7)
\psline(2.58,5.7)(-1.4,5.72)
\psline(-1.4,5.72)(-2.74,5.02)
\psline(1.24,5)(1.22,1.02)
\psline(2.56,1.72)(2.58,5.7)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2.56,1.72)(-1.42,1.74)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-1.42,1.74)(-2.76,1.04)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-1.4,5.72)(-1.42,1.74)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.76,1.04)
\rput[bl](-2.69,1.07){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.22,1.02)
\rput[bl](1.28,1.05){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.56,1.72)
\rput[bl](2.63,1.75){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.42,1.74)
\rput[bl](-1.36,1.77){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.74,5.02)
\rput[bl](-2.68,5.05){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.24,5)
\rput[bl](1.31,5.04){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.58,5.7)
\rput[bl](2.64,5.74){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.4,5.72)
\rput[bl](-1.34,5.75){$H$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DG}$ d'au moins deux manières différentes.}
\\
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ donc :
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DG}=DC\times DG\times \cos\left(\overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DG}\right)$$
Or, en appliquant Pythagore dans le triangle rectangle $DCG$ on trouve que $DG=\sqrt{2}a$, d'où :
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DG}=\sqrt{2}a\times a\times \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}a^2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2 $$
Toujours en utilisant le fait que $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DG}$, le projeté orthogonal de $\overrightarrow{DG}$ sur $\overrightarrow{DC}$ est $\overrightarrow{DC}$, par conséquent :
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DC}=DC^2=a^2$$
\item {\footnotesize Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$.}\\
Puisque $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ on a :
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$$
\item {\footnotesize Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AG}$ en utilisant les résultats précédents.}\\
$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}$ donc :
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}\cdot \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}\right)=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DG}=0+a^2=a^2$$
\end{enumerate}
\end{exoi}
 


\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par 

\[f(x) = x \text{e}^{1-x}.\]
\end{footnotesize}
 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Vérifier que pour tout réel $x,\: f(x)= \text{e} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}$. }\\
Pour tout réel $x$ on a :
$$ f(x)=xe^{1-x}=xe\times e^{-x}=xe\times \dfrac{1}{e^x}=e\times \dfrac{x}{e^x}$$
\item {\footnotesize Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite. }\\
On sait d'après le cours que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$ par conséquent :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0 \Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} e\dfrac{x}{e^x}=0\times e=0 \Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$$
La représentation graphique de $f$ admet donc une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$.
\item {\footnotesize Déterminer la dérivée de la fonction $f$ puis etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$ et enfin dresser le tableau de variation.}
\\
$f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$ et on a :
$$f'(x)=(x)'e^{1-x}+x\left(e^{1-x}\right)'=e^{1-x}+x\times (1-x)'e^{1-x}=e^{1-x}-xe^{1-x}=e^{1-x}(1-x)$$
On sait que pour tout réel $x$ $e^{1-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$ d'où on déduit immédiatement :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{1-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&&\fm&\txh{1}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
\item {\footnotesize Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(x)=e^{1-x}(ax+b)$. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $F$ soient une primitive de $f$.}\\
$F$ est une primitive de $f$ si et seulement si $F'=f$ c'est-à-dire :
$$-e^{1-x}(ax+b)+ae^{1-x}=f(x) \Longleftrightarrow e^{1-x}(-ax-b+a)=xe^{1-x} \Longleftrightarrow -ax-b+a	=x \Longleftrightarrow 
\left\{ \begin{array}{l} a=-1\\
-b+a=0 \Leftrightarrow b=-1  \end{array} \right.
$$
$F$ est donc une primitive de $f$ si et seulement si :
$$ F(x)=e^{1-x}(-x-1)$$
\item {\footnotesize Calculer $\int_0^1 f(x) dx$. Interpréter graphiquement.}\\
$\int_0^1 f(x)dx=[F(x)]_0^1=F(1)-F(0)=e^{1-1}(-1-1)-e^{1-0}(-0-1)=-2+e=e-2$\\
Puisque $f(x)\geq 0$ lorsque $x\in [0;1]$ (cf tableau de variation), cet intégrale est l'aire du domaine délimité par la représentation graphique de $f$, l'axe des abscisses, celui des ordonnées et la droite d'équation $x=1$, exprimé en unité d'aire.
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}19$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



  \Exoi{\hfill (5 points)\\
 On considère le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous de côté $a$.
 \begin{center}
 \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.34,0.76)(3.04,6.18)
\psline(-2.76,1.04)(1.22,1.02)
\psline(2.56,1.72)(1.22,1.02)
\psline(-2.76,1.04)(-2.74,5.02)
\psline(-2.74,5.02)(1.24,5)
\psline(1.24,5)(2.58,5.7)
\psline(2.58,5.7)(-1.4,5.72)
\psline(-1.4,5.72)(-2.74,5.02)
\psline(1.24,5)(1.22,1.02)
\psline(2.56,1.72)(2.58,5.7)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2.56,1.72)(-1.42,1.74)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-1.42,1.74)(-2.76,1.04)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-1.4,5.72)(-1.42,1.74)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.76,1.04)
\rput[bl](-2.69,1.07){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.22,1.02)
\rput[bl](1.28,1.05){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.56,1.72)
\rput[bl](2.63,1.75){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.42,1.74)
\rput[bl](-1.36,1.77){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.74,5.02)
\rput[bl](-2.68,5.05){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.24,5)
\rput[bl](1.31,5.04){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.58,5.7)
\rput[bl](2.64,5.74){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.4,5.72)
\rput[bl](-1.34,5.75){$H$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DG}$ d'au moins deux manières différentes.}
\\
D'après Pythagore, dans le triangle $DCG$ rectangle en $C$ on trouve :
$$ DG=\sqrt{2}a$$
ce qui permet de déduire :
$$\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DG}=DC\times DG\times \cos \left(\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DG}\right)=\sqrt{2}a\times a \times \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}a^2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2 $$
En utilisant le fait que $\overrightarrow{DC}$ est le projeté orthogonal de $\overrightarrow{DG}$ sur $\overrightarrow{DC}$ on obtient :
$$ \overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DC}=DC^2=a^2$$
\item {\footnotesize Calculer $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{GF}$.}\\
$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}$ et $\overrightarrow{HG}\perp \overrightarrow{GF}$, par conséquent :
$$ \overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{GF}=\overrightarrow{HG}\cdot \overrightarrow{GF}=0$$
\item {\footnotesize Calculer $\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DF}$ en utilisant les résultats précédents.}
$$ \overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DC}\cdot \left(\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GF}\right)=\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DG}+\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{GF}=a^2+0=a^2$$
\end{enumerate}
 }
 


\begin{exoi}\hfill (points)\\
\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par 

\[f(x) = x \text{e}^{1-x^2}.\]
\end{footnotesize}
 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Vérifier que pour tout réel $x>0,\: f(x)= \dfrac{e}{x}\times \dfrac{x^2}{e^{x^2}}$. }
\\
Pour tout réel $x>0$ on a :
$$ f(x)=xe^{1-x^2}=xee^{-x^2}=xe\times \dfrac{1}{e^{x^2}}=e\times \dfrac{x}{e^{x^2}}=\dfrac{e}{x}\times \dfrac{x^2}{e^{x^2}}$$
\item {\footnotesize Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite. }\\
On sait d'après le cours que :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty \Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0$$
Or, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ donc par composition :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2}{e^{x^2}=0}$$
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e}{x}=0$ par conséquent, par produit :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$$
La représentation graphique de $f$ admet donc une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$.
\item {\footnotesize Déterminer la dérivée de la fonction $f$ puis étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$ et enfin dresser le tableau de variation.}
\\
La fonction $f$ est dérivable sur $\R^+$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R^+$ et on a :
$$ f'(x)=e^{1-x^2}+x\times -2x\times e^{1-x^2}=e^{1-x^2}\left(1-2x^2\right)$$
Or, pour tout réel $x$ on a $e^{1-x^2}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-2x^2$ qui est un polynôme de degré $2$ admet pour racine $\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc une seule racine sur l'intervalle $[0;+\infty[$ ce qui donne :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{1-2x^2}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{0}&\fm&\txh{1}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
\item {\footnotesize Déterminer une primitive de $f$ sur $[0;+\infty[$.}\\
Pour tout réel $x\geq 0$ :
$$ f(x)=\dfrac{-2xe^{1-x^2}}{-2}$$
ainsi $f$ est de la forme $u'e^{u}/(-2)$ donc une primitive de $f$ est de la forme $e^u/(-2)$ c'est-à-dire :
$$ F(x)=\dfrac{e^{1-x^2}}{-2}$$
\item {\footnotesize Calculer $\int_0^1 f(x) dx$. Interpréter graphiquement.}\\
$\int_0^1 f(x)dx=[F(x)]_0^1=F(1)-F(0)=\dfrac{e^{1-1}}{-2}-\dfrac{e^{1-0}}{-2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{e}{2}=\dfrac{e-1}{2}$.\\
Puisque $f(x)\geq 0$ sur $[0;1]$ cet intégrale est l'aire du domaine délimité par la représentation graphique de $f$, l'axe des ordonnées, celui des abscisses et la droite d'équation $x=1$ exprimé en unité d'aire.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}
