\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}18$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\medskip
 
 
 \Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
  On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\R$ par :
 $$ f(x)=xe^{-x}$$
 \end{footnotesize} \partieBac{}
 \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Interpréter graphiquement.}
 \\
 Pour tout $x\in \R$ on a :
 $$ f(x)=\dfrac{x}{e^x}$$
 Or, $\lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0^+$, par quotient on obtient :
 $$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$$
 De plus on sait d'après le cours que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{\frac{e^x}{x}}=0$ ce qui implique que :
 $$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$$
 On en déduit que $\mathscr C_f$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ d'équation $y=0$.
 \item 
  \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ est du signe de $1-x$.}
 \\
 En tant que produit de fonction dérivable sur $\R$, $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
 $$ f'(x)=e^{-x}+x\times (-e^{-x})=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$$
 Puisque pour tout réel $x$ on sait que $e^x>0$, il suit que $e^{-x}>0,\qquad \forall
  x\in \R$. Le signe de $f'(x)$ dépends donc uniquement du signe de $1-x$.
 \item {\footnotesize En déduire le tableau de variation complet de $f$. }\\
$1-x>0\Longleftrightarrow 1>x$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{\dfrac{1}{e}}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
  \end{enumerate}
 \item {\footnotesize Etudier le signe de $f(x)$ lorsque $x\in \R$.}\\
 $f(x)=\dfrac{x}{e^x}$, or $e^x>0$ pour tout réel $x$, par conséquent le signe de $f(x)$ dépends de celui de $x$ d'où :
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
 \end{enumerate}
 \pagebreak
 \partieBac{}
 \begin{footnotesize}
 Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
 \\
Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 9$.
 \\
On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-après). 
 \end{footnotesize}\begin{multicols}{2}
\newrgbcolor{fftttt}{1 0.2 0.2}
\newrgbcolor{qqweqq}{0 0.43137 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=10.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.27494,-0.1)(10.43069,0.42262)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=0.05,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.27494,-0.03096)(10.43069,0.42262)
\pspolygon[linecolor=qqweqq,fillcolor=qqweqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,0)(1,0.36788)(3,0.36788)(3,0)
\pspolygon[linecolor=qqweqq,fillcolor=qqweqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](3,0)(3,0.14936)(5,0.14936)(5,0)
\pspolygon[linecolor=qqweqq,fillcolor=qqweqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](5,0)(5,0.03369)(7,0.03369)(7,0)
\pspolygon[linecolor=qqweqq,fillcolor=qqweqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](7,0)(7,0.00638)(9,0.00638)(9,0)
\psline[linewidth=1.6pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=fftttt](9,-0.03096)(9,0.42262)
\psline[linewidth=1.6pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=fftttt](1,-0.03096)(1,0.42262)
\psline(3.748,0.53577)(8.11577,0.53577)
\psplot[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=200]{-1.2749383718909384}{10.430691487769197}{x*EXP(-x)}
\psline(-1.03471,0.4597)(9.88472,0.4597)
\psline(3.79168,0.49869)(8.15945,0.49869)
\rput[lt](-1.01287,0.55669){\parbox{5.08048 cm}{\textbf{\blue{The Area is:  1.11463 \textbackslash \textbackslash  a = 1 \textbackslash \textbackslash  b = 9}}}}
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200]{1.0}{9.0}{x*EXP(-x)}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](3.748,0.53577)
%\rput[bl](1.23653,0.35415){$g$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\textbf{Algorithme :}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,8cm}$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\
\hspace{0,8cm}$U$ est un nombre réel\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,8cm} $U:=0$ et $n:=4$\\
\textbf{Traitement}\\ 
Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
\hspace{0,8cm}  $U:= U + 2 f\left(1 + 2k\right)$\\ 
Fin pour\\ 
\textbf{Affichage}\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $U$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{multicols}
\begin{enumerate}
 \item  {\footnotesize Qu'affiche l'algorithme, en déduire une valeur approchée de l'aire $\mathscr A$.}
 \\
 Pour $k=0$, $1+2k=1$ et donc  la variable $U$ vaut $0+2(1e^{-1})=2e^{-1}$.\\
 Pour $k=1$, $1+2k=3$ et donc la variable $U$ vaut $2e^{-1}+6e^{-3}$.
 \\
 Pour $k=2$, $1+2k=5$ et donc la variable $U$ vaut $2e^{-1}+6e^{-3}+10e^{-5}$.
 \\
 Enfin pour $k=3$, $1+2k=7$ et donc la variable $U$ vaut : $2e^{-1}+6e^{-3}+10e^{-5}+14e^{-7}$\\
 L'algorithme affiche donc le réel $2e^{-1}+6e^{-3}+10e^{-5}+14e^{-7}$ qui corresponds à l'aire des 4 rectangles verts et qui est une valeur approchée de $\mathscr A$. 
 \item {\footnotesize Modifier l'algorithme pour qu'il calcule une valeur approchée de l'aire $\mathscr A$ à l'aide de $n$ rectangles de même largeur. On précisera la largeur de ces rectangles en fonction de $n$.}
 \\
 Si on divise l'intervalle $[1;9]$ à l'aide de $n$ rectangles de même largeur alors chacun aura une largeur de $\dfrac{9-1}{n}=\dfrac{8}{n}$ ce pourquoi on réécrit l'algorithme de la manière suivante :
 \begin{center}
 \textbf{Algorithme :}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,8cm}$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\
\hspace{0,8cm}$U$ est un nombre réel\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,8cm} $U:=0$
\textbf{Traitement}\\ 
Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
\hspace{0,8cm}  $U:= U + \dfrac{8}{n} f\left(1 + \dfrac{8}{n} k\right)$\\ 
Fin pour\\ 
\textbf{Affichage}\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $U$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 \end{enumerate} 
 \partieBac{}
 \begin{enumerate}
 \item \begin{footnotesize}
 On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par :
 $$ F(x)=e^{-x}(-x-1)$$
 Calculer $F'(x)$. Que peut-on en déduire ?
 \end{footnotesize}
\\
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ comme produit de deux fonctions dérivables sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
$$ F'(x)=-e^{-x}(-x-1)+e^{-x}\times (-1)=xe^{-x}+e^{-x}-e^{-x}=xe^{-x}=f(x)$$
La fonction $F$ est donc une primitive de $f$.
 \item {\footnotesize En déduire la valeur exacte de $\mathscr A$.}\\
 D'après la partie A, on sait que $f(x)>0$ sur l'intervalle $[1;9]$ donc :
 $$ \mathscr A=\int_1^9 f(x) dx=[F(x)]_1^9=F(9)-F(1)=-10e^{-9}-(-2e^{-1})=2e^{-1}-10e^{-9} u.a$$
 \end{enumerate}
 }



\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}18$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



 \Exoi{\hfill (10 points)\\}
 On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\R$ par :
 $$ f(x)=x^2e^{-x}$$
 \partieBac{}
 \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Interpréter graphiquement.}
 \\
 Pour tout $x\in \R$ on a :
 $$ f(x)=\dfrac{x^2}{e^x}$$
 Or, $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0^+$, par quotient on obtient :
 $$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$$
 De plus on sait d'après le cours que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{\frac{e^x}{x^2}}=0$ ce qui implique que :
 $$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$$
 On en déduit que $\mathscr C_f$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ d'équation $y=0$.
 \item \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ est du signe de $2x-x^2$.}\\
 En tant que produit de fonction dérivable sur $\R$, $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
 $$ f'(x)=2xe^{-x}+x^2\times (-e^{-x})=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)$$
 Puisque pour tout réel $x$ on sait que $e^x>0$, il suit que $e^{-x}>0,\qquad \forall
  x\in \R$. Le signe de $f'(x)$ dépends donc uniquement du signe de $2x-x^2$.
 \item {\footnotesize En déduire le tableau de variation complet de $f$. }\\
 $2x-x^2=0\Longleftrightarrow x(2-x)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou} \qquad x=2$ d'où :
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2x-x^2}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txh{+\infty}&\fd&\txb{0}&\fm&\txh{4e^{-2}}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
 \end{enumerate}
 \item {\footnotesize Etudier le signe de $f(x)$ lorsque $x\in \R$.}\\
 $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$ et $x^2>0$ pour tout réel $x\neq 0$ donc $f(x)>0$ pour tout réel $x\neq 0$, enfin $f(0)=0$.
 \end{enumerate}
 \pagebreak
 \partieBac{}
 \begin{footnotesize}
 Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
 \\
Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 9$.
 \\
On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-après). 
 \end{footnotesize}
\begin{multicols}{2}
\newrgbcolor{fftttt}{1 0.2 0.2}
\newrgbcolor{qqweqq}{0 0.43137 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=8.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.60091,-0.07448)(11.28634,0.54923)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.60091,-0.07448)(11.28634,0.54923)
\pspolygon[linecolor=qqweqq,fillcolor=qqweqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,0)(1,0.44808)(3,0.44808)(3,0)
\pspolygon[linecolor=qqweqq,fillcolor=qqweqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](3,0)(3,0.16845)(5,0.16845)(5,0)
\pspolygon[linecolor=qqweqq,fillcolor=qqweqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](5,0)(5,0.04468)(7,0.04468)(7,0)
\pspolygon[linecolor=qqweqq,fillcolor=qqweqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](7,0)(7,0.01)(9,0.01)(9,0)
\psline[linewidth=1.6pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=fftttt](9,-0.07448)(9,0.54923)
\psline[linewidth=1.6pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=fftttt](1,-0.07448)(1,0.54923)
\psline(3.89765,0.69428)(8.80708,0.69428)
\psplot[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=100]{-1.600911700062835}{11.28633610793274}{x*x*EXP(-x)}
\psline(-1.47818,0.59758)(10.79539,0.59758)
\psline(3.94674,0.64714)(8.85617,0.64714)
\rput[lt](-1.45363,0.72087){\parbox{5.49239 cm}{\textbf{\blue{The Area is:  1.34242 \textbackslash \textbackslash  a = 1 \textbackslash \textbackslash  b = 9}}}}
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=100]{1.0}{9.0}{x*x*EXP(-x)}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](8.80708,0.69428)
%\rput[bl](8.53706,0.70758){$L2R = 1$}
\rput[bl](-0.3981,0.72571){$f$}
\psdots[dotstyle=*](-0.53406,0.59758)
%\rput[bl](-0.8154,0.61088){$n = 4$}
\psdots[dotstyle=*](3.94674,0.64714)
%\rput[bl](3.67672,0.66044){$F2T = 0$}
%\rput[bl](1.2711,0.36188){$g$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\textbf{Algorithme :}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,8cm}$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\
\hspace{0,8cm}$U$ est un nombre réel\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,8cm} $U:=0$ et $n:=4$\\
\textbf{Traitement}\\ 
Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
\hspace{0,8cm}  $U:= U + 2 f\left(3 +2k\right)$\\ 
Fin pour\\ 
\textbf{Affichage}\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $U$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{multicols}
\begin{enumerate}
 \item  {\footnotesize Qu'affiche l'algorithme, en déduire une valeur approchée de l'aire $\mathscr A$.}
  \\
 Pour $k=0$, $3+2k=3$ et donc  la variable $U$ vaut $0+2(9e^{-3})=18e^{-3}$.\\
 Pour $k=1$, $3+2k=5$ et donc la variable $U$ vaut $18e^{-1}+2\times 25e^{-5}$.
 \\
 Pour $k=2$, $3+2k=7$ et donc la variable $U$ vaut $18e^{-3}+50e^{-5}+2\times 49e^{-7}$.
 \\
 Enfin pour $k=3$, $3+2k=9$ et donc la variable $U$ vaut : $18e^{-3}+50e^{-5}+98e^{-7}+162e^{-9}$\\
 L'algorithme affiche donc le réel $18e^{-3}+50e^{-5}+98e^{-7}+162e^{-9}$ qui corresponds à l'aire des 4 rectangles verts et qui est une valeur approchée de $\mathscr A$. 
 \item {\footnotesize Modifier l'algorithme pour qu'il calcule une valeur approchée de l'aire $\mathscr A$ à l'aide de $n$ rectangle de même largeur. On précisera la largeur de ces rectangles en fonction de $n$.}
 \\
 Si on divise l'intervalle $[1;9]$ à l'aide de $n$ rectangles de même largeur alors chacun aura une largeur de $\dfrac{9-1}{n}=\dfrac{8}{n}$ ce pourquoi on réécrit l'algorithme de la manière suivante :
 \begin{center}
 \textbf{Algorithme :}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,8cm}$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\
\hspace{0,8cm}$U$ est un nombre réel\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,8cm} $U:=0$
\textbf{Traitement}\\ 
Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
\hspace{0,8cm}  $U:= U + \dfrac{8}{n} f\left(3 + \dfrac{8}{n} k\right)$\\ 
Fin pour\\ 
\textbf{Affichage}\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $U$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 \end{enumerate} 
 \partieBac{}
 \begin{enumerate}
 \item \begin{footnotesize}
 On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par :
 $$ F(x)=e^{-x}(-x^2-2x-2)$$
 Calculer $F'(x)$. Que peut-on en déduire ?
 \end{footnotesize}
$F$ est dérivable sur $\R$ comme produit de deux fonctions dérivables sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
$$ F'(x)=-e^{-x}(-x^2-2x-2)+e^{-x}(-2x-2)=x^2e^{-x}+2xe^{-x}+2e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}=x^2e^{-x}=f(x)$$
On en déduit que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
 \item {\footnotesize En déduire la valeur exacte de $\mathscr A$.}\\
 D'après la partie $A$, $f(x)>0$ pour $x\in [1;9]$ par conséquent :
 $$ \mathscr A=\int_1^9 f(x)dx=[F(x)]_1^9=F(9)-F(1)=e^{-9}(-81-18-2)-e^{-1}(-1-2-2)=5e^{-1}-101e^{-9} u.a$$ 
 \end{enumerate}
% }



\end{document}
