\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\medskip
 
 
 \Exoi{\hfill (10 points)\\
 \begin{footnotesize}
 On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par :
\[f (x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}.\]
 \end{footnotesize}
\partieBac{Etude d'une fonction auxiliaire.}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère la fonction $N$ définie pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par $$ N(x)=(1+x)^2-1+\ln(1+x)$$
Calculer les limites de $N$ en $-1$ et en $+\infty$.
\end{footnotesize}
\\
$\lim\limits_{x\to +\infty} (1+x)^2=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} 1+x=+\infty$. De plus on sait que $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln X=+\infty$, par conséquent :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} (1+x)^2-1+\ln(1+x)=+\infty$$
De plus :
$$ \lim\limits_{x\to -1} (1+x)^2-1 =0-1=-1$$
et $ \lim\limits_{x\to -1^+} 1+x=0^+$, puis on sait que $\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X=-\infty$ on en déduit par composition que $\lim\limits_{x\to -1^+} \ln(1+x)=-\infty$ puis somme que :
$$ \lim\limits_{x\to -1} N(x)=-\infty$$
\item {\footnotesize Calculer $N'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $N$  sur $]-1;+\infty[$.}
\\
La fonction $N$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonction dérivable, de plus pour $x>-1$ on a :
$$ N'(x)=2(1+x)\times 1 -0 + \dfrac{(1+x)'}{1+x}=2+2x+\dfrac{1}{1+x}$$
Si $x>-1$ alors $x+1>0$ donc $\dfrac{1}{x+1}>0$. De plus si $x>-1$ alors $x+1>0$ et donc $2(x+1)>0 \Longleftrightarrow 2x+2>0$. La somme de deux nombres strictement positif étant strictement positive on obtient  :
$$ 2+2x+\dfrac{1}{1+x}>0\Longleftrightarrow N'(x)>0$$
On en déduit que $N$ est une fonction strictement croissante sur $]-1;+\infty[$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-1}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{N'(x)}&&&\tx{+}&&\cr
\tx{N(x)}&\txb{-\infty}&&\fm&&\txh{+\infty}\cr
}$$
\item {\footnotesize Montrer que l'équation $N(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-1;+\infty[$. Vérifier que $\alpha=0$.}
\\
$N$ est une fonction continue sur $]-1;+\infty[$ (puisque dérivable sur cet intervalle), $N$ est strictement croissante sur cet intervalle et est à valeurs dans $]-\infty;+\infty[$, ce dernier intervalle contient $0$ donc l'équation $N(x)=0$ admet d'après une conséquence du TVI une unique solution dans l'intervalle $]-1;+\infty[$. De plus :
$$ N(0)=1-1+\ln 1=0$$
L'unique solution de l'équation $N(x)=0$ est donc $x=0$, ainsi $\alpha=0$.
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de la fonction $N$.}\\
Puisque la fonction $N$ est strictement croissante sur $]-1;+\infty[$ et que $N(0)=0$ il vient que $N(x)<0\Longleftrightarrow -1<x<0$ et $N(x)>0\Longleftrightarrow x>0$, par conséquent :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-1}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{N(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\end{enumerate}
\partieBac{Etude de la  fonction $f$.}
\begin{enumerate}
\item  \begin{footnotesize}
On note  $g(x)=\dfrac{\ln(1+x}{1+x}$, Calculer $g'(x)$ pour $x>-1$ puis montrer que pour tout $x>-1$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{N(x)}{(1+x)^2}$$
\end{footnotesize}
Pour $x>-1$ on a :
$$ g'(x)=\dfrac{(\ln(1+x)'\times (1+x)-\ln(1+x)\times 1}{(1+x)^2}=\dfrac{\frac{1}{1+x}\times (1+x)-\ln(1+x)}{(1+x)^2}=\dfrac{1-\ln(1+x)}{(1+x)^2}$$
Par conséquent $$ f'(x)=1-g'(x)=1-\dfrac{1-\ln(1+x)}{(1+x)^2}=\dfrac{(1+x)^2}{(1+x^2)}-\dfrac{1-\ln(1+x)}{(1+x)^2}=\dfrac{1+x^2-1+\ln(1+x)}{(1+x)^2}$$
\item {\footnotesize En déduire le tableau de signe de $f'$ et le tableau de variation de $f$.}
\\
Le dénominteur de $f'$ est un carré donc pour $x>-1$ on a $(1+x)^2>0$, ainsi $f'$ est du signe du numérateur qui vaut $N(x)$. On connait le signe de $N(x)$ on en déduit :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-1}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{N(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&&\fd&\txb{f(0)=0}&\fm&\cr
}$$
\item  \begin{footnotesize}
Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x$.
Calculer les coordonnées du point d'intersection de la réprésentation graphique  $\mathcal{C_f}$ de la fonction $f$ et de la droite $\mathcal{D}$.
\end{footnotesize}
\\
On résout, pour $x>-1$,  $$f(x)=x\Longleftrightarrow x-\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}=x\Longleftrightarrow -\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}=0\Longleftrightarrow \dfrac{\ln(1+x)}{1+x}=0 \Longleftrightarrow \ln(1+x)=0\Longleftrightarrow 1+x=e^0 \Longleftrightarrow x=1-1=0$$
Le point d'intersection de la réprésentation graphique  $\mathcal{C_f}$ de la fonction $f$ et de la droite $\mathcal{D}$ a pour coordonnées $(0,0)$.
\end{enumerate}
\partieBac{Etude d'une suite}
 textbf{On admet que cette suite converge vers un réel $\ell>-1$.}
	\begin{enumerate}
	   \item {\footnotesize Pour montrer qu'une suite est convergente que démontre-t-on \og habituellement \fg{}.}
	   \\
	   Il est fréquent que l'on démontre que la suite est strictement croissante et majorée, ou alors qu'elle est strictement décroissante et minorée. Une telle chose, une fois démontrée prouve en effet que la suite est convergente.
		\item {\footnotesize Déterminer la valeur de $\ell$.}
		\\
		On a $u_{n+1}=f(u_n)$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell$, par passage à la limite comme $f$ est une fonction continue sur l'intervalle $]-1;+\infty[$ on a :
		$$ \ell=f(\ell)$$
		Or, l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $x=0$ donc $\ell$ qui est solution de cette équation vaut $0$, ce qui permet de conclure que  :$$\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$$
\end{enumerate}}



\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{\hfill (10 points)\\
{\footnotesize Soit $f$ et $g$ les fonction d\'efinies sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x-1)$ et $g(x)=\dfrac{x-2}{x-1}$. On note respectivement $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ leur courbe repr\'esentative dans le plan muni d'un rep\`ere orthonormal (unit\'e graphique : 2 cm).\newline}
\textbf{Partie A : \'Etude du sens de variation de $f$ et de celui de $g$}
\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ et $g'(x)$}
 Les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur l'intervalle $]1;+\infty[$ et :
 $$ f'(x)=\dfrac{(x-1)'}{x-1}=\dfrac{1}{x-1} \qquad \text{et} \qquad g'(x)=\dfrac{1\times (x-1)-(x-2)\times 1}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1-x+2}{(x-1)^2}=\dfrac{1}{(x-1)^2}$$
 \item {\footnotesize \'Etudier le sens de variation de chacune des fonctions $f$ et $g$; dresser leur tableau de variations complet.}
 \\
  Si $x>1$ alors $x-1>0$ donc $f'(x)>0$ et $f$ est strictement croissante sur $]1;+\infty[$.
\\
Si $x>1$ alors $(x-1)^2>0$ donc $g'(x)>0$ et $g$ est aussi strictement croissante sur $]1;+\infty[$.
\\
Comme $\lim\limits_{x\to +\infty} x-1=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln X=+\infty$, par composition on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x-1)=+\infty$$
De même comme $\lim\limits_{x\to 1^+} x-1=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln X=-\infty$, par composition on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to 1^+} \ln (x-1)=-\infty$$
\\
On a $\lim\limits_{x\to 1^+}x-2=-1$ et $\lim\limits_{x\to 1^+} x-1=0^+$, on obtient par quotient :
$$ \lim\limits_{x\to 1^+} g(x)=-\infty$$
En $+\infty$ il faut transformer l'écriture de $g(x)$ :
$$ \forall x\neq 1 : \qquad g(x)=\dfrac{x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\dfrac{2-\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x}}$$
Et on a :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}1-\dfrac{2}{x}=1\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to +\infty}1-\frac{1}{x}=1$$
Par quotient on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=1$$
On obtient alors :
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{1}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&\doubletraitmilieu&&\tx{+}&&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&&\fm&&\txh{+\infty}\cr
}$$
et :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{1}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g'(x)}&\doubletraitmilieu&&\tx{+}&&\cr
\tx{g(x)}&\txb{-\infty}&&\fm&&\txh{1}\cr
}$$
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : \'Etude des positions relatives de $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ }\newline
{\footnotesize On consid\`ere la fonction $d$, d\'efinie sur $]1;+\infty[ $ par $d(x)=f(x)-g(x)$.}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Calculer $d'(x)$}
 \\
 $f$ et $g$ étant dérivable sur $]1;+\infty[$ leur différence $d$ est dérivable sur $]1;+\infty[$ et on a pour $x>1$ :
 $$ d'(x)=f'(x)-g'(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1-1}{(x-1)^2}=\dfrac{x-2}{(x-1)^2}$$
 \item {\footnotesize \'Etudier le sens de variation de $d$ et donner son tableau de variations}
 $(x-1)^2>0$ sur $]1;+\infty[$ donc $d'$ est du signe de $x-2$ d'où :
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{1}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x-2}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{d(x)}&&\fd&\txb{0}&\fm&\cr
}$$
\item {\footnotesize Calculer $d(2)$}
\\
$d(2)=f(2)-g(2)=\ln 1 -  \dfrac{0}{1}=0-0=0$.
\begin{footnotesize}
\subitem En d\'eduire le signe de $d(x)$, lorsque $x\in]1;+\infty[$
\end{footnotesize}
$d$ est strictement croissante sur $]1;2]$ et strictement croissante sur $[2;+\infty[$, $d$ admet donc un minimum en $2$ qui est $d(2)=0$, par conséquent :
$$ \forall x\in ]1;+\infty[,\qquad d(x)\geq 0$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize En utilisant les r\'esultats pr\'ec\'edents :}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ ont un seul point commun, not\'e $A$, dont on donnera les coordonn\'ees}
\\
On cherche à résoudre $f(x)=g(x)\Longleftrightarrow f(x)-g(x)=0\Longleftrightarrow d(x)=0$, or d'après le tableau de variation $d(x)=0\Longleftrightarrow x=2$, donc $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ont un unique point commun qui a pour abscisse $2$ et pour ordonnée :
$$ f(2)=\ln(2-1)=\ln 1=0$$
L'unique point commun de $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ a pour coordonnée $A(2;0)$.
 \item {\footnotesize Montrer que $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ admettent au point $A$ la m\^eme tangente $\mathcal T$, dont on donnera l'\'equation r\'eduite}
 \\
 L'équation de la tangente en $a$ est :
 $$ y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
 Ici $a=2$ et $f'(2)=\dfrac{1}{2-1}=1$ et $f(2)=\ln(2-1)=0$. Par conséquent l'équation de la tangente à la courbe $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $2$ est :
 $$ y=x-2$$
 De plus $g'(2)=\dfrac{1}{(2-1)^2}=1$ et $g(2)=\dfrac{2-2}{2-1}=0$ donc l'équation de la tangente à la courbe $\mathscr C_g$ au point d'abscisse $2$ est :
 $$ y=x-2$$
 $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ont donc une même tangente au point d'abscisse $2$.
\item {\footnotesize \'etudier la position de $\mathcal C_f$ par rapport \`a  $\mathcal C_g$ }
\\
On a démontré que pour tout $x>1$, $d(x)\geq 0\Longleftrightarrow f(x)-g(x)\geq 0\Longleftrightarrow f(x)\geq g(x)$ et si de plus $x\neq 2$ on a $f(x)>g(x)$. On en déduit que si $x=2$ les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ sont confondues et sinon $\mathscr C_f$ est au dessus de $\mathscr C_g$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}
