\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}16$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\medskip
 
 
 \Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
 Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 	$$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 1\\
u_{n+1}&=&u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
\end{array}\right.$$
\end{footnotesize}\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Construire, en utilisant la droite d'équation $y=x$ et la courbe d'équation $y=x-\ln(x^2+1)$,   les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sur l'axe des abscisses.}
\item {\footnotesize Que peut-on conjecturer pour la suite $(u_n)_{n\in \N}$ ?}
\\
$(u_n)$ semble être une suite décroissante et minorée, par conséquent elle doit converger.
\end{enumerate}
\partieBac{}
\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] 
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$. }
$$ f(x)=x\Longleftrightarrow x-\ln(x^2+1)=x \Longleftrightarrow -\ln(x^2+1)=0\Longleftrightarrow \ln(x^2+1)=0\Longleftrightarrow x^2+1=e^0 \Longleftrightarrow x^2+1=1 \Longleftrightarrow x^2=0 \Longleftrightarrow x=0$$
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour $x\in [0;1]$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}$$
Dresser le tableau de variation complet de $f$ sur $[0;1]$ et déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
\end{footnotesize}
\\
Sur $[0;1]$ la fonction $f$ est dérivable et on obtient :
$$ f'(x)=1-\dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1}=1-\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}$$
$x^2+1\geq 1$ donc $f'(x)$ est du signe de $(x-1)^2$ qui est positif ou nul (en $x=1$) puisqu'il s'agit d'un carré.
\\
Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$. On a donc :
$$ 0\leq x \leq 1 \Longrightarrow f(0)\leq f(x)\leq f(1)$$
Or, $f(0)=0-\ln(1)=0$ et $f(1)=1-\ln 2<1$, par conséquent $f(x)\in [0;1]$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;1]$.
\end{enumerate}
\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$. }
\\
Notons $\mathscr P(n) : 0\leq u_n\leq 1$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : pour $n=0$ :
$$ u_0=1\qquad \text{et} \qquad 0\leq u_0\leq 1$$
donc la propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons qu'il existe un entier $n$ tel que $0\leq u_n\leq 1$ et montrons que $0\leq u_{n+1} \leq 1$.\\
et donc $f(u_n)\in [0;1]$ d'après la question 2 de la partie B. Par conséquent on vient de démontrer que $u_{n+1}\in [0;1]$.
\item \textit{Conclusion} : La propriété $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc elle est vraie pour tout $n\in \N$.
\end{itemize}
\item {\footnotesize Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. }
On a :
$$ u_{n+1}-u_n=u_n-\ln(u_n^2+1)-u_n=-\ln(u_n^2+1)$$
Comme $u_n^2>0$ il vient que $u_n^2+1>1$, par conséquent :
$$ \ln(u_n^2+1)>\ln 1\Longleftrightarrow  \ln(u_n^2+1)>0\Longleftrightarrow  -\ln(u_n^2+1)<0\Longleftrightarrow  u_{n+1}-u_n<0 \Longleftrightarrow  u_{n+1}<u_n$$
La suite $(u_n)$ est donc strictement décroissante.
\item {\footnotesize Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Déterminer sa limite. }
\\
La suite $(u_n)$ est strictement décroissante d'après la question précédente et est minorée par $0$ (on l'a déjà démontré), par conséquent elle converge vers un réel $\ell \geq 0$ qui vérifie (puisque $u_{n+1}=f(u_n)$ et car $f$ est continue sur $[0;1]$) :
$$ \ell =f(\ell)  $$
Or, l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $x=0$ d'après la première question de la partie $B$. $\ell$ étant solution de cette équation il vient que :
$$\ell =0 \Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$$
\end{enumerate} 
}

\begin{center}
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\end{center}


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%
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%\uput[-90](1,0){ $u_0$}
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%\uput[-90](0.30685,0){ $u_1$}
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%\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
%\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
%\begin{minipage}{17cm}
%\begin{center}
%\vspace{1mm}
%\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}16$ }}
%\end{center}
%\vspace{-3mm}
%\end{minipage}
%}
%\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
%\begin{center}
%\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
%\end{center}
%

\end{document}
