\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\medskip
 
 
 \Exoi{\hfill (4 points)\\
 \begin{enumerate}
 \item \begin{footnotesize}
 Montrer que pour tout réel $x$ on a :
 $$ \sqrt{x^2+1}-x>0\qquad \text{et} \qquad \sqrt{x^2+1}+x>0$$
 \end{footnotesize}
 \\
 Pour tout réel $x$ on a :
 $$ x^2+1>x^2\Longrightarrow \sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}$$
 Puisque $\sqrt{x^2}=|x|\geq \pm x$ on obtient :
 $$ \sqrt{x^2+1}>\pm x$$
 ce qui donne :
 $$ \sqrt{x^2+1}>x\qquad \text{et} \qquad \sqrt{x^2+1}>-x$$
 On conclut alors que pour tout réel $x$ on a :
 $$\sqrt{x^2+1}-x>0\qquad \text{et} \qquad \sqrt{x^2+1}+x>0 $$
 \item \begin{footnotesize}
 Montrer que pour tout réel $x$ on a :
 $$ \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)=1$$
 \end{footnotesize}
 \\
 Pour tout réel $x$ on a (identité remarquable) :
 $$ \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\sqrt{x^2+1}^2-x^2=x^2+1-x^2=1$$
 \item \begin{footnotesize}
 Montrer que pour tout réel $x$ on a :
 $$ \ln\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)+\ln \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=0$$
 \end{footnotesize}
 \\
 Pour tout réel $x$ on a :
 $$ \ln\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)+\ln \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\ln \left[\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\right]=\ln 1=0$$
 \end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=x-\ln(1+x)$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in [0;+\infty[$.}
\\
$f$ est dérivable sur $\R$ comme somme de deux fonctions dérivables sur $\R$ et pour tout $x\geq 0$ on a :
$$ f'(x)=1-\dfrac{(1+x)'}{1+x}=1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1+x-1}{1+x}=\dfrac{x}{1+x}$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.}
Sur $[0;+\infty[$, on a $1+x>0$ et $x\geq 0$, donc $f'(x)\geq 0$ d'où :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{2.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
On a $f(0)=0-\ln(1+0)=0-\ln 1=0-0=0$
\item \begin{footnotesize}
En déduire que pour tout réel $x\geq 0$ on a :
$$ \ln(1+x)\leq x$$
\end{footnotesize}
\\
$f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ et $f(0)=0$, par conséquent :
$$ \forall x\geq 0,\qquad f(x)\geq 0$$
on en déduit que :
$$\forall x\geq 0,\qquad x-\ln(1+x)\geq 0 $$
ce qui conduit au résultat voulu :
$$\forall x\geq 0,\qquad x\geq \ln(1+x) $$
\item \begin{footnotesize}
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.\\
\textit{On posera $X=1+x$ afin d'utiliser les résultats connus du cours.} 
\end{footnotesize}
Si $X=1+x$ alors $x=X-1$ ce qui donne :
$$ f(X)=X-1-\ln X=X\left(1-\dfrac{1}{X}-\dfrac{\ln X}{X}\right)$$
Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ il en va de même pour $X$, de plus on sait que :
$$ \lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{\ln X}{X}=0\qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{1}{X}=0$$
Par conséquent :
$$\lim\limits_{X\to +\infty} 1-\dfrac{1}{X}-\dfrac{\ln X}{X}=1$$
Puis comme $\lim\limits_{X\to +\infty} X=+\infty$ on conclut par produit que :
$$ \lim\limits_{X\to +\infty}  f(X)=+\infty$$
\end{enumerate}
}

%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{xunit=8cm , yunit=8cm}
%\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
%\def\xmin{0} \def\xmax{1} \def\ymin{0} \def\ymax{1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,0.30685)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,0.30685)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0.30685)(0,0.30685)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(1,0.30685)(0,0.30685)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.30685)(0.30685,0.30685)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,0.30685)(0.30685,0.30685)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.30685,0.30685)(0.30685,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.30685,0.30685)(0.30685,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.30685,0)(0.30685,0.21686)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.30685,0)(0.30685,0.21686)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.30685,0.21686)(0,0.21686)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.30685,0.21686)(0,0.21686)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.21686)(0.21686,0.21686)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,0.21686)(0.21686,0.21686)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.21686,0.21686)(0.21686,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.21686,0.21686)(0.21686,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.21686,0)(0.21686,0.1709)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.21686,0)(0.21686,0.1709)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.21686,0.1709)(0,0.1709)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.21686,0.1709)(0,0.1709)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.1709)(0.1709,0.1709)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,0.1709)(0.1709,0.1709)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1709,0.1709)(0.1709,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.1709,0.1709)(0.1709,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1709,0)(0.1709,0.14211)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.1709,0)(0.1709,0.14211)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1709,0.14211)(0,0.14211)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.1709,0.14211)(0,0.14211)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.14211)(0.14211,0.14211)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,0.14211)(0.14211,0.14211)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.14211,0.14211)(0.14211,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.14211,0.14211)(0.14211,0)
%\def\F{x x 2 exp 1 add ln sub}
%\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{1}{x}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\F}
%
%\endpsclip
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){ O}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
%\uput[-90](1,0){ $u_0$}
%\uput[180](0,0.30685){ $u_1$}
%\uput[-90](0.30685,0){ $u_1$}
%\uput[180](0,0.21686){ $u_2$}
%\uput[-90](0.21686,0){ $u_2$}
%\uput[180](0,0.1709){ $u_3$}
%\uput[-90](0.1709,0){ $u_3$}
%\uput[180](0,0.14211){ $u_4$}
%\uput[-90](0.14211,0){ $u_4$}
%\end{pspicture*}




\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
 \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $x^2-2x-3$.}
 \\
 On résout $x^2-2x-3=0$. 
 \\
 Pour cela on calcule le discriminant $\Delta=4+12=16$ ce qui donne deux racines :
 $$ x_1=\dfrac{2-4}{2}=-1\qquad \text{et} \qquad x_2=\dfrac{2+4}{2}=3$$
 d'où :
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-1}&&\tx{3}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x^2-2x-3}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
 \item {\footnotesize En déduire une factorisation de $x^2-2x-3$.}
 \\
 Puisque $-1$ et $3$ sont les deux racines du polynôme que nous cherchons à factoriser on a :
 $$ x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$$
 \item \begin{footnotesize}
 Montrer que pour $x>3$, on a :
 $$ \ln(x^2-2x-3)-2\ln(x+1)=\ln\left(\dfrac{x-3}{x+1}\right)$$
 \end{footnotesize}
 \\
 Pour $x>3$, $x^2-2x-3>0$ et $x+1>0$, on peut donc effectuer les calculs proposés :
 $$\ln(x^2-2x-3)-2\ln(x+1)=\ln ((x+1)(x-3))-2\ln(x+1)=\ln(x+1)+\ln(x-3)-2\ln(x+1)=\ln(x-3)-\ln(x+1)=\ln\left(\dfrac{x-3}{x+1}\right) $$
 \end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\}
\begin{footnotesize}
Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$ par :
$$g(x)=x-x\ln x $$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les limites de la fonction $g$ en $0$ et $+\infty$.}
\\
On sait d'après le cours que $$ \lim\limits_{x\to 0} x\ln x=0$$
Puisque $\lim\limits_{x\to 0} x=0$ il vient par différence que :
$$ \lim\limits_{x\to 0} x-x\ln x=0$$
De plus $$ g(x)=x(1-\ln x)$$
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty \qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty} 1-\ln x=-\infty$$
Par produit on obtient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty} x(1-\ln x)=-\infty $$
\item {\footnotesize Montrer que $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et calculer $g'(x)$.}
\\
$g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonction dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x>0$ on a :
$$ g'(x)=1-\left((x)'\ln x+ x(\ln x)'\right)=1-\left(\ln x+x\times \dfrac{1}{x}\right)=1-\ln x-1=-\ln x$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.}
\\
Tout d'abord observons que $-\ln x>0\Longleftrightarrow \ln x<0\Longleftrightarrow e^{\ln x}<e^0 \Longleftrightarrow x<1$, par conséquent :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$g'(x)$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$g(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$1$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\b{0*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $g(x)=0$ puis donner le tableau de signe de $g$.}
On a $$ g(x)=0\Longleftrightarrow x(1-\ln x)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad 1-\ln x=0$$
Comme la fonction n'est pas définie pour $x=0$ on a :
$$ g(x)=0\Longleftrightarrow 1-\ln x=0\Longleftrightarrow \ln x=1 \Longleftrightarrow e^{\ln x}=e\Longleftrightarrow x=e$$
Puisque $g$ est strictement croissante sur $]0;1]$ avec $\lim\limits_{x\to 0} g(x)=0$ on en déduit que $g(x)>0$ pour tout $x\in ]0;1]$. De plus puisque $g$ est strictement décroissante sur $[1;+\infty[$ avec $g(1)=1$ et $g(e)=0$ on en déduit que :
\begin{itemize}
\item $g(x)>0$ sur $]0;e[$
\item $g(x)=0\Longleftrightarrow x=e$
\item $g(x)<0$ sur $]e;+\infty[$
\end{itemize}
d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{e}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\end{enumerate}
%}


\end{document}
