\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}14$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\medskip
 
 
 \Exoi{\hfill (5 points)\\}
 \begin{enumerate}
 \item \begin{footnotesize}
 Déterminer et représenter l'ensemble $\mathscr E$ des  points $M$ d'affixes $z$ du plan vérifiant :
 $$ |z+1|=|z-1+2i|$$
 \end{footnotesize}
 \\
 On note $z_A=-1$ et $z_B=1-2i$ on a alors :
 $$|z_M-z_A|=|z_M-z_B|\Longleftrightarrow AM=MB $$
 $M$ est donc un point de la médiatrice du segment $[AB]$, donc $\mathscr E$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
 \item \begin{footnotesize}
 Déterminer et représenter l'ensemble $\mathscr F$ des  points $M$ d'affixes $z$ du plan $z$ vérifiant :
 $$ |z-i|=3$$
 \end{footnotesize}
 \\
 On note $z_C=i$, dans ce cas on a :
 $$ |z_M-z_C|=3\Longleftrightarrow CM=3$$
 $M$ est donc un point du  cercle de centre $C$ et de rayon $3$.
 \item \begin{footnotesize}
 Déterminer et représenter l'ensemble $\mathscr G$ des  points $M$ d'affixes $z$ du plan vérifiant :
 $$ arg(z-2i)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$$
 \end{footnotesize}
 \\
 On note $z_D=2i$, dans ce cas on a :
 $$ arg(z_M-z_D)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\Longleftrightarrow \left(\vec{u}; \overrightarrow{DM}\right)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$$
 $M$ est donc un point de l'axe des ordonnées ayant une ordonnée supérieure strictement à $2$.
 \item {\footnotesize On considère les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ d'affixes $z_1=\sqrt{7}e^{-i\frac{\pi}{6}} \qquad \text{et}\qquad z_2=iz_1$}
 \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Ecrire $z_1$ sous forme algébrique.}
 $$ z_1=\sqrt{7}\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)=\sqrt{7}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)=\dfrac{\sqrt{21}}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2}i$$
 \item {\footnotesize Ecrire $z_2$ sous forme exponentielle.}
 \\
 Puisque $i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ on a :
 $$ z_2=e^{i\frac{\pi}{2}}\times \sqrt{7}e^{-i\frac{\pi}{6}}=\sqrt{7}e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)}=\sqrt{7}e^{i\frac{\pi}{3}}$$
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 %}
 
 
 \begin{center}
 \newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-3.12)(7.3,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-3.12)(7.3,6.3)
\psline(-1,0)(1,-2)
\psplot[linecolor=red]{-4.3}{7.3}{(-2--2*x)/2}
\rput[tl](3.28,2.2){$\red{\mathscr E}$}
\pscircle[linecolor=qqzzqq](0,1){3}
\rput[tl](0.88,4.44){$\qqzzqq{\mathscr F}$}
\psline[linecolor=blue](0,2)(0,6.3)
\rput[tl](0.26,5.12){$\blue{\mathscr G}$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1,0)
\rput[bl](-0.92,0.04){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,-2)
\rput[bl](1.08,-1.96){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,1)
\rput[bl](0.08,1.04){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,2)
\rput[bl](0.08,2.04){$D$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\Exoi{\hfill (5 points)\\}
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O; \vec{u},\vec{v}\right)$. 
On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z'=z^2$.
On note $\Omega$ le point d'affixe $z_\Omega=1$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer l'image de $z_{\Omega}$ par $f$.}
\\
$z'_{\Omega}=1^2=1$.
\item {\footnotesize Déterminer l'ensemble des nombres complexes qui ont la même image par $f$.}
\\
On cherche les nombres complexes $z$ tels que $$z'=z\Longleftrightarrow z^2=z\Longleftrightarrow z^2-z=0\Longleftrightarrow z(z-1)=0\Longleftrightarrow z=0\qquad \text{ou} \qquad z=1$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $A$ le point d'affixe $a=\sqrt{2}-i\sqrt{2}$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la forme exponentielle de $a$.}
$$ a=\sqrt{2}-i\sqrt{2}=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=2e^{-i\dfrac{\pi}{4}}$$
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z$ vérifiant $z^2=a$.}
\\
On cherche $|z|$ tel que $$|z^2|=|a|\Longleftrightarrow |z|^2=2\Longleftrightarrow |z|=\sqrt{2}$$
On cherche $arg(z)$ tel que :
$$ arg(z^2)=arg(a)[2\pi]$$
ce qui donne (puisque $arg(z^n)=narg(z)$ :
$$ 2arg(z)=-\dfrac{\pi}{4}[2\pi]\Longleftrightarrow arg(z)=-\dfrac{\pi}{8}[\pi]\Longleftrightarrow arg(z)=-\dfrac{\pi}{8}[2\pi] \qquad \text{ou} \qquad arg(z)=-\dfrac{\pi}{8}+\pi [2\pi]=\dfrac{7\pi}{8}[2\pi]$$
\item {\footnotesize En déduire l'écriture exponentielle des deux antécédents de $a$ par $f$.}\\
D'après la question précédente il existe deux nombres complexes tels que $z^2=a$, par ailleurs de même module qui sont :
$$ z_1=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{8}}\qquad \text{et} \qquad z_2=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{8	}}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}




\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}14$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


 
 \Exoi{\hfill (5 points)\\
 \begin{enumerate}
 \item \begin{footnotesize}
 Déterminer et représenter l'ensemble $\mathscr F$ des  points $M$ d'affixes $z$ du plan $z$ vérifiant :
 $$ |z+1|=3$$
  \end{footnotesize}
 On note $z_A=-1$, dans ce cas on a :
 $$ |z_M-z_A|=3\Longleftrightarrow AM=3$$
 $M$ est donc un point du  cercle de centre $A$ et de rayon $3$.
  \item \begin{footnotesize}
  Déterminer et représenter l'ensemble $\mathscr E$ des  points $M$ d'affixes $z$ du plan vérifiant :
 $$ |z-i|=|z+1-2i|$$
  \end{footnotesize}
  On note $z_B=i$ et $z_C=-1+2i$ on a alors :
 $$|z_M-z_B|=|z_M-z_C|\Longleftrightarrow BM=CM $$
 $M$ est donc un point de la médiatrice du segment $[BC]$, donc $\mathscr E$ est la médiatrice du segment $[BC]$.
 \item \begin{footnotesize}
 Déterminer et représenter l'ensemble $\mathscr G$ des  points $M$ d'affixes $z$ du plan vérifiant :
 $$ arg(z-2)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$$
 \end{footnotesize}
  On note $z_D=2$, dans ce cas on a :
 $$ arg(z_M-z_D)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\Longleftrightarrow \left(\vec{u}; \overrightarrow{DM}\right)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$$
 $M$ est donc un point de la demi-droite d'équation $x=2$ avec $y>0$.
 \item {\footnotesize On considère les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ d'affixes $z_1=\sqrt{7}e^{i\frac{\pi}{3}} \qquad \text{et}\qquad z_2=-2 z_1$}
 \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Ecrire $z_1$ sous forme algébrique.}
  $$ z_1=\sqrt{7}\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=\sqrt{7}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\dfrac{\sqrt{7}}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2}i$$
 \item {\footnotesize Ecrire $z_2$ sous forme exponentielle.}
  \\
 Puisque $-1=e^{i\pi}$ on a :
 $$ z_2=2e^{i\pi}\times \sqrt{7}e^{i\frac{\pi}{3}}=2\sqrt{7}e^{i\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)}=2\sqrt{7}e^{i\frac{4\pi}{3}}$$
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}}
 
 \begin{center}
 \newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.9,-4.14)(5.7,5.28)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.9,-4.14)(5.7,5.28)
\psline(0,1)(-1,2)
\psplot[linecolor=red]{-5.9}{5.7}{(-2-1*x)/-1}
\rput[tl](-1.14,0.92){$\red{\mathscr E}$}
\pscircle[linecolor=qqzzqq](-1,0){3}
\rput[tl](-2.5,3.4){$\qqzzqq{\mathscr F}$}
\psline[linecolor=blue](2,0)(2,5.28)
\rput[tl](1.56,5.18){$\blue{\mathscr G}$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1,0)
\rput[bl](-0.92,0.04){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1,2)
\rput[bl](-0.92,2.04){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,1)
\rput[bl](0.08,1.04){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,0)
\rput[bl](2.08,0.04){$D$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 
\Exoi{\hfill (5 points)\\}
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O; \vec{u},\vec{v}\right)$. 
On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z'=z^3$.
On note $\Omega$ le point d'affixe $z_\Omega=1$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer l'image de $z_{\Omega}$ par $f$.}\\
$z'_{\Omega}=1^3=1$.
\item {\footnotesize Déterminer l'ensemble des nombres complexes qui ont la même image par $f$.}
\\
On cherche les nombres complexes $z$ tels que $$z'=z\Longleftrightarrow z^3=z\Longleftrightarrow z^3-z=0\Longleftrightarrow z^(z^2-1)=0\Longleftrightarrow z=0\qquad \text{ou} \qquad z^2=1\Longleftrightarrow z=0\quad \text{ou}\quad z=\pm 1$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $A$ le point d'affixe $a=4\sqrt{2}+4i\sqrt{2}$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer une forme exponentielle de $a$.}
$$ a=8\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=8\left(\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4}\right)=8e^{i\frac{\pi}{4}}$$
\item {\footnotesize Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z$ vérifiant $z^3=a$.}
\\
On cherche $|z|$ tel que $$|z^3|=|a|\Longleftrightarrow |z|^3=8\Longleftrightarrow |z|=2$$
On cherche $arg(z)$ tel que :
$$ arg(z^3)=arg(a)[2\pi]$$
ce qui donne (puisque $arg(z^n)=narg(z)$ :
$$ 3arg(z)=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]\Longleftrightarrow arg(z)=\dfrac{\pi}{12}[2\pi/3]\Longleftrightarrow arg(z)=\dfrac{\pi}{12}[2\pi] \qquad \text{ou} \qquad arg(z)=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2\pi}{3} [2\pi]=\dfrac{9\pi}{12}[2\pi]\quad \text{ou} \quad arg(z)=-\dfrac{7\pi}{12}[2\pi]$$
\item {\footnotesize En déduire le nombre d'antécédents de $a$ par $f$. On donnera l'écriture exponentielle de chacun des antécédents.}\\
D'après la question précédente il existe trois nombres complexes tels que $z^3=a$, par ailleurs de même module qui sont :
$$ z_1=2e^{i\frac{\pi}{12}}\qquad \text{et} \qquad z_2=2e^{i\frac{9\pi}{12	}}\qquad \text{et} \qquad z_3=2e^{-i\frac{7\pi}{12	}}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}}

\end{document}
