\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}12$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\medskip

%\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
%\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

 
\Exoi{\hfill (5 points)\\}
\begin{footnotesize}
On considère les deux nombres complexes suivants :
$$ z_1=1+i\qquad \text{et} \qquad z_2=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}i$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Préciser les parties réelles et imaginaires de $z_1$ et $z_2$.}
$$ \re{z_1}=1=\im{z_1}\qquad \text{et}\qquad \re{z_2}=\dfrac{1}{3}\qquad \text{enfin} \qquad \im{z_2}=-\dfrac{1}{2}$$
\item {\footnotesize Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants. Donner leurs parties réelles et  imaginaires.}
\begin{enumerate}
\item $z_1+z_2=1+i+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}i=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{2}i$. Par conséquent :
$$ \re{z_1+z_2}=\dfrac{4}{3}\qquad \text{et}\qquad \im{z_1+z_2}=\dfrac{1}{2}$$
\item $z_1-z_2=1+i-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}i=\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}i$. Par conséquent :
$$ \re{z_1-z_2}=\dfrac{2}{3}\qquad \text{et} \qquad \im{z_1-z_2}=\dfrac{3}{2}$$
\item $z_1z_2=(1+i)\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}i\right)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}i+\dfrac{1}{3}i+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{6}i$. Par conséquent :
$$ \re{z_1z_2}=\dfrac{5}{6}\qquad \text{et}\qquad \im{z_1z_2}=-\dfrac{1}{6}$$
\item $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{1+i}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}i}=\dfrac{6+6i}{2-3i}\times \dfrac{2+3i}{2+3i}=\dfrac{12+18i+12i-18}{4-9i^2}=\dfrac{-6+20i}{13}=-\dfrac{6}{13}+\dfrac{20}{13}i$. Par conséquent :
$$ \re{\dfrac{z_1}{z_2}}=-\dfrac{6}{13}\qquad \text{et}\qquad \im{\dfrac{z_1}{z_2}}=\dfrac{20}{13}$$
\item $\overline{z_1}=1-i$, et donc $\re{\overline{z_1}}=1$ et $\im{\overline{z_1}}=-1$
\item $\overline{z_2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}i$, et donc $\re{\overline{z_1}}=\dfrac{1}{3}$ et $\im{\overline{z_2}}=\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}

\Exoi{\hfill (3 points)\\
\begin{footnotesize}
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item $z^2=-1\Longleftrightarrow z=\pm i$ 
\item $z^2=-5\Longleftrightarrow z=\pm i\sqrt{5}$
\item $(z-2)^2=9\Longleftrightarrow z-2=\pm 3$ et donc $z=5$ ou $z=-1$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
$x$ désigne un nombre réel et $z$ est le nombre complexe suivant :
$$ z=3x-2i+i(2i-5x+x^2)$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z$.}
$$ z=3x-2i-2-5ix+ix^2=3x-2+i(x^2-5x-2)$$
On en déduit que $\re{ (z_1) }=3x-2$ et $\im{ (z_1) }=x^2-5x-2$.
\item {\footnotesize En déduire la ou les valeurs de $x$ pour lesquelles $z$ est un imaginaire pur.}
\\
$z$ est un imaginaire pur si et seulement si $\re{ (z_1)}=0\Longleftrightarrow 3x-2=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}}
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}12$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


 
\Exoi{\hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
$x$ désigne un nombre réel et $z$ est le nombre complexe suivant :
$$ z=3x-4i+i(2i-3x+x^2)$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z$.}
$$ z=3x-4i-2-3ix+ix^2=3x-2+i(x^2-3x-4)$$
Par conséquent :
$$ \re{ (z) }=3x-2\qquad \text{et}\qquad \im{ (z)}=x^2-3x-4$$
\item {\footnotesize En déduire la ou les valeurs de $x$ pour lesquelles $z$ est un imaginaire pur.}
\\
$z$ est un imaginaire pur si et seulement si $\re{ (z_1)}=0\Longleftrightarrow 3x-2=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (5 points)\\}
{\footnotesize On considère les deux nombres complexes suivants : $ z_1=0,6-0,3i\qquad \text{et} \qquad z_2=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}i$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Préciser les parties réelles et imaginaires de $z_1$ et $z_2$.}
$$ \re { (z_1) }=0,6\qquad \text{et}\qquad  \im{ (z_1) }=-0,3$$
$$ \re { (z_2) }=-\dfrac{1}{5}\qquad \text{et} \qquad \im{ (z_2) }=\dfrac{1}{2}$$
\item {\footnotesize Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants. Donner leurs parties réelles et  imaginaires.}
\begin{enumerate}
\item $z_1+z_2=0,6-0,3i-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}i=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}i$. Par conséquent :
$$ \re{z_1+z_2}=\dfrac{2}{5}\qquad \text{et}\qquad \im{z_1+z_2}=\dfrac{1}{5}$$
\item $z_1-z_2=0,6-0,3i+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2}i=\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{5} i$. Par conséquent :
$$ \re{z_1-z_2}=\dfrac{4}{5}\qquad \text{et} \qquad \im{z_1-z_2}=-\dfrac{4}{5}$$
\item $z_1z_2=(0,6-0,3i)\left(-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}i\right)=-\dfrac{3}{25}+\dfrac{3}{10}i+\dfrac{3}{50}i+\dfrac{3}{20}=\dfrac{3}{100}+\dfrac{36}{100}i$. Par conséquent :
$$ \re{z_1z_2}=0,03\qquad \text{et}\qquad \im{z_1z_2}=0,36$$
\item $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{0,6-0,,3i}{-0,2+0,5i}=\dfrac{6-3i}{-2+5i}\times \dfrac{-2-5i}{-2-5i}=\dfrac{ -12-30i+6i-15}{(-2)^2-(5i)^2}=\dfrac{-27-24i}{4+25}=-\dfrac{27}{25}-\dfrac{24}{25}i$. Par conséquent :
$$ \re{\dfrac{z_1}{z_2}}=-\dfrac{27}{25}\qquad \text{et}\qquad \im{\dfrac{z_1}{z_2}}=-\dfrac{24}{25}$$
\item $\overline{z_1}=0,6+0,3i$, et donc $\re{\overline{z_1}}=0,6$ et $\im{\overline{z_1}}=0,3$
\item $\overline{z_2}=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2}i$, et donc $\re{\overline{z_1}}=-\dfrac{1}{5}$ et $\im{\overline{z_2}}=-\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}

\Exoi{\hfill (3 points)\\
\begin{footnotesize}
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item $z^2=-9\Longleftrightarrow z=\pm 3i$ ;
\item $2z^2=-32 \Longleftrightarrow z^2=-16\Longleftrightarrow z=\pm 4i$
\item $(z-2)^2=9\Longleftrightarrow z-2=\pm 3$ et donc $z=5$ ou $z=-1$.
\end{enumerate}
}

\end{document}
