\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\medskip
 
\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonomé $(O;\vec i, \vec j)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer son ensemble de définition.}
\\
Pour tout réel $x$ on a :
$$e^{2x}>0\Longrightarrow e^{2x}+1>1\Longrightarrow e^{2x}+1\neq 0$$
Par conséquent $f$ est définie sur $\R$.
\item {\footnotesize Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$.}
On a $\lim\limits_{x\to -\infty} 2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} e^X=0$ ce qui implique que $\lim\limits_{x\to -\infty} e^{2x}=0$ par quotient on obtient au final :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-1$$
On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $-\infty$ d'équation $y=-1$.
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$$
\end{footnotesize}
Pour tout réel $x$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\dfrac{e^{2x}\left(1-\frac{1}{e^{2x}}\right)}{e^{2x}\left(1+\frac{1}{e^{2x}}\right)}=\dfrac{1-\frac{1}{e^{2x}}}{1+e^{2x}}=\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$$
\item {\footnotesize En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphique. }
\\
On a $\lim\limits_{x\to +\infty} -2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} e^X=0$ ce qui implique que $\lim\limits_{x\to +\infty} e^{-2x}=0$ par quotient on obtient au final :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=1$$
On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $+\infty$ d'équation $y=1$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer $f'(x)$, puis étudier son signe. En déduire le tableau de variations de $f$.}
\\
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on a :
$$ f'(x)=\dfrac{2e^{2x}(e^{2x}+1)-(e^{2x}-1)2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}=\dfrac{2e^{4x}+2e^{2x}-2e^{4x}+2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}=\dfrac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}$$
On a $4e^{2x}>0$ pour tout réel $x$ et $(e^{2x}+1)^2>0$ pour tout réel $x$ par conséquent :
$$f'(x)>0,\qquad \forall x\in \R$$
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-1}&\fm&\txh{1}\cr
}$$
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la tangente de $f$ en $0$.}
\\
L'équation de la tangente en $0$ est de la forme :
$$ y=f'(0)(x-0)+f(0)$$
$f(0)=\dfrac{e^0-1}{e^0+1}=\dfrac{1-1}{2}=0$ et $f'(0)=\dfrac{4e^0}{(e^0+1)^2}=\dfrac{4}{4}=1$, par conséquent l'équation de la tangente en $0$ est :
$$ y=x$$
\item {\footnotesize Démontrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha $ dans $\R$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$.}
\\
La fonction $f$ est continue sur $\R$ et est strictement croissante sur $\R$ à valeurs dans l'intervalle $]-1;1[$ (qui contient $0$) donc d'après le corollaire du TVI l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dont la calculatrice donne une valeur approchée.
\end{enumerate}}
\pagebreak%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction del'Interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\emph{Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip
 
\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x}{e^{x}-x}$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonomé $(O;\vec i, \vec j)$.\\
\partieBac{}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=e^x-x-1$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Etudier les variations de la fonction $g$.}
\\
$g$ est dérivable sur $\R$ et :
$$g'(x)=e^x-1$$
$e^x-1>0\Longleftrightarrow e^x>1\Longleftrightarrow e^x>e^0\Longleftrightarrow x>0$, on déduit le tableau de variation de $g$ du signe de $g'$ :
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g'(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{g(x)}&&\fd&\txb{1}&\fm&\cr
}$$
\item \begin{footnotesize}
En déduire que pour tout réel $x$ on a :
$$ e^x-x>0$$
\end{footnotesize}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
D'après le tableau de variation $g$ admet pour minimum $1$ par conséquent pour tout réel $x$ on a :
$$ g(x)\geq 1\Longrightarrow g(x)>0\Longrightarrow e^x-x>0$$
\end{enumerate}
\partieBac{}
\begin{footnotesize}
On rappelle que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout réel $x\neq 0$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{1}{\frac{e^x}{x}-1}$$
\end{footnotesize}
Pour tout $x\neq 0$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{x}{e^x-x}=\dfrac{x}{x\left(\frac{e^x}{x}-1\right)}=\dfrac{1}{\frac{e^x}{x}-1}$$
\item {\footnotesize En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ puis celle en $-\infty$.}
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x}-1=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$$
De plus $\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}x=-\infty$ par conséquent :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{e^x}{x}=0$$
On en déduit par quotient :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\dfrac{1}{0-1}=-1$$
\item {\footnotesize Interpréter graphiquement.}
\\
$\mathscr C_f$ admet deux asymptotes horizontales, une en $-\infty$ d'équation $y=0$ et l'autre en $+\infty$ d'équation $y=-1$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{(1-x)e^x}{(e^x-x)^2}$$
\end{footnotesize}
Pour tout réel $x$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{e^x-x-x(e^x-1)}{(e^x-x)^2}=\dfrac{e^x-x-xe^x+x}{(e^x-x)^2}=\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$$
\item {\footnotesize Etudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.}
\\
$f'(x)$ est du signe de $1-x$ puisque le dénominateur est un carré.
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{1-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&&\fm&\txh{1/(e-1)}&\fd&\cr
}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\end{document}
