\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
 Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ et $M$ est un point quelconque qui n’appartient ni à $(AB)$
ni à $(CD)$. Par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, $M$ a pour image $N$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Faire une figure.}
\begin{center}
\newrgbcolor{ttqqqq}{0.2 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.06,-2.07)(5.85,4.41)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.68,1.22)(1.22,1.86)(1.1,-0.6)(-1.8,-1.24)
\psline(-1.68,1.22)(1.22,1.86)
\psline(1.22,1.86)(1.1,-0.6)
\psline(-1.8,-1.24)(1.22,1.86)
\psline(-1.68,1.22)(1.1,-0.6)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.68,1.22)(1.22,1.86)
\psline[linecolor=zzttqq](1.22,1.86)(1.1,-0.6)
\psline[linecolor=zzttqq](1.1,-0.6)(-1.8,-1.24)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.8,-1.24)(-1.68,1.22)
\psline{->}(-1.68,1.22)(1.22,1.86)
\psline{->}(2.54,0.58)(5.44,1.22)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](-1.68,1.22)
\rput[bl](-1.6,1.26){\ttqqqq{$A$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](1.22,1.86)
\rput[bl](1.29,1.9){\ttqqqq{$B$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](1.1,-0.6)
\rput[bl](1.18,-0.56){\ttqqqq{$C$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](-1.8,-1.24)
\rput[bl](-1.72,-1.2){\ttqqqq{$D$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](-0.29,0.31)
\rput[bl](-0.21,0.35){\ttqqqq{$O$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](2.54,0.58)
\rput[bl](2.61,0.61){\ttqqqq{$M$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](5.44,1.22)
\rput[bl](5.51,1.26){\ttqqqq{$N$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \begin{footnotesize}
Simplifier :
$$ \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+(-\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{CD}$$
puis :
$$ \overrightarrow{AO}+(-\overrightarrow{OC})+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}$$
\end{footnotesize}
$$ \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+(-\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CD}$$
Réorganisons cette somme et nous obtenons :
$$ \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+(-\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$$
Puisque $ABCD$ est un parallélogramme on a $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ par conséquent :
$$ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$$
De plus l'autre somme se simplifie de la manière suivante :
$$ \overrightarrow{AO}+(-\overrightarrow{OC})+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$$
Et comme $ABCD$ est un parallélogramme on a $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$ ce qui permet de conclure que :
$$\overrightarrow{AO}+(-\overrightarrow{OC})+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0} $$
\item {\footnotesize Prouver que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}$.}
\\
Par construction $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$, de plus $ABCD$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, on en déduit que :
$$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}$$
\item{\footnotesize  En déduire la nature du quadrilatère $MNCD$.}
\\
Comme $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}$ le quadrilatère $MNCD$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}}
\pagebreak

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
%\begin{center}
%\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
%\end{center}



\Exoi{\hfill (5 points)\\
 {\footnotesize Soit $ABCD$ un rectangle de centre $I$.}
 \begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item \begin{footnotesize}
 Construire le point $G$ tel que :
 $$ \overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{BC}$$
 \end{footnotesize}\begin{center}
\newrgbcolor{ttqqqq}{0.2 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.06,-2.07)(5.85,4.41)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.68,1.22)(1.22,1.22)(1.22,-0.6)(-1.68,-0.6)
\psline(-1.68,1.22)(1.22,1.22)
\psline(1.22,1.22)(1.22,-0.6)
\psline(-1.68,-0.6)(1.22,1.22)
\psline(-1.68,1.22)(1.22,-0.6)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.68,1.22)(1.22,1.22)
\psline[linecolor=zzttqq](1.22,1.22)(1.22,-0.6)
\psline[linecolor=zzttqq](1.22,-0.6)(-1.68,-0.6)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.68,-0.6)(-1.68,1.22)
\psline{->}(-1.68,1.22)(1.22,1.22)
\psline{->}(1.22,-0.6)(-0.23,0.31)
\psline{->}(1.22,1.22)(1.22,-0.6)
\psline{->}(1.22,-0.6)(4.12,-0.6)
\psline{->}(4.12,-0.6)(2.67,0.31)
\psline{->}(2.67,0.31)(2.67,-1.51)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](-1.68,1.22)
\rput[bl](-1.6,1.26){\ttqqqq{$A$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](1.22,1.22)
\rput[bl](1.29,1.26){\ttqqqq{$B$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](1.22,-0.6)
\rput[bl](1.29,-0.56){\ttqqqq{$C$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](-1.68,-0.6)
\rput[bl](-1.6,-0.56){\ttqqqq{$D$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](-0.23,0.31)
\rput[bl](-0.15,0.35){\ttqqqq{$I$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](4.12,-0.6)
\rput[bl](4.2,-0.56){\ttqqqq{$C'$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](2.67,0.31)
\rput[bl](2.75,0.35){\ttqqqq{$F$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=ttqqqq](2.67,-1.51)
\rput[bl](2.75,-1.47){\ttqqqq{$G$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
 \item {\footnotesize Démontrer que $ \overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AI}$}
Réorganisons la somme :
 $$
  \overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CI}$$
D'après la relation de Chasles on obtient : 
$$ \overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AI}$$
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Soit $F$ le point tel que $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{IC}$. Placer $F$. Que peut-on en déduire ?}
 \\
 Comme $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{IC}$ on peut déduire que $BFCI$ est un quadrilatère.
 \item {\footnotesize Démontrer que le quadrilatère  $ BFGC$ est un parallélogramme. }
 On sait que $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AI}$ et $I$ est le milieu du segment $[AC]$ donc $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{IC}$. Or $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{IC}$, par conséquent on en déduit que  :
 $$ \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CG}$$
 ce qui prouve que le quadrilatère $BFGC$ est un parallélogramme.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}}
\end{document}
