\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\emph{Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Dans un lycée donné, on sait que 45\,\% des élèves sont des filles. On sait également que 35\,\% des filles et 40\,\% des garçons déjeunent à la cantine.
 
On choisit, au hasard, un élève du lycée.
 
Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ? 

\end{footnotesize}
Notons $F$ l'événement \og l'élève est une fille \fg et $C$ l'événement \og l'élève mange à la cantine \fg.
\\
On utilise la formule des probabilités totales :
$$p(C)=p(C\cap F)+p(C\cap \overline{F})=p(F)\times p_F(C)+p(\overline{F})\times p_{\overline{F}}(C)=0,45\times 0,35+0,55\times 0,40 $$
\item \begin{footnotesize}
Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et $\dfrac{1}{5}$.
 
Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à $10 ^{- 3}$. 
\end{footnotesize}
$$ p(Y\geq 2)=1-p(Y=0)-p(Y=1)=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{20}-\binom{20}{1}\times \dfrac{1}{5}\times \left(\dfrac{4}{5}\right)^{19}\simeq $$
\item {\footnotesize Dans un club omnisports comportant $150$ licenciés, on sait que $30$ pratiquent le football et $20$ l'équitation, enfin $5$ font du football et de l'équitation. Par le hasard de la vie, on croise un membre de la section football, quelle est la probabilité qu'il fasse de l'équitation.}
\\
Etant donné que l'on croise l'un des $30$ footballeurs et que $5$ d'entre eux pratiquent l'équitation, la probabilité que ce membre fasse de l'équitation vaut :
$$ \dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}$$
\item \begin{footnotesize}
Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
 
On appelle A l'évènement \og l'appareil présente un défaut d'apparence \fg{} et F l'évènement \og l'appareil présente un défaut de fonctionnement \fg.
 
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
 
On sait que la probabilité que l'appareil présente un défaut d'apparence est égale à $0,02$ et que la probabilité que l'appareil présente au moins l'un des deux défauts est égale à $0,069$.
 
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l'appareil présente le défaut F ? 
\\
\textit{On rappelle que $$ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$$}
\end{footnotesize}
\\
Puisque l'on suppose $A$ et $F$ indépendants on a :
$$ p(A\cap F)=p(A)\times p(F)$$
On cherche $p(F)$, on connait $p(A\cup F)=0,069$ et $p(A)=0,02$ par conséquent et d'après le sympathique rappel on a :
$$ p(A\cup F)=p(A)+p(F)-p(A\cap F)=p(A)+p(F)-p(A)\times p(F)$$
Ainsi :
$$0,069=0,02+p(F)(1-p(A))\Longleftrightarrow 0,049=0,98p(F)\Longleftrightarrow p(F)=\dfrac{0,049}{0,98}=\dfrac{49}{980}$$
\item \begin{footnotesize}
On considère l'algorithme :

\begin{center} 
\fbox{
\begin{minipage}{0.75\textwidth}A et C sont des entiers naturels,\\ 
C prend la valeur 0 


Répéter 9 fois\\ 
\phantom{aaaaaaa}A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.\\
\phantom{aaaaaaaaaaaaaa}		Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1\\  
\phantom{aaaaaaaaaaaaaa}		Fin Si\\ 
Fin répéter\\ 
Afficher C.
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip
 
Dans l'expérience aléatoire simulée par l'algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée. 

Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres. 
\end{footnotesize}
\\
Cette algorithme répète de manière identique et indépendante la même épreuve de Bernoulli neuf fois dans lequel un succès est d'obtenir un nombre strictement supérieur à $5$ lorsqu'on sélectionne au hasard un nombre entre $1$ et $7$. La probabilité de succès d'une telle épreuve est $\dfrac{2}{7}$. La variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli suit donc une loi binomiale de paramètre $n=9$ et $p=\dfrac{2}{7}$.
\end{enumerate}

\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\emph{Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Dans un lycée donné, on sait que 55\,\% des élèves sont des filles. On sait également que 35\,\% des filles et 30\,\% des garçons déjeunent à la cantine.
 
On choisit, au hasard, un élève du lycée.
 
Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ? 
\end{footnotesize}


Notons $F$ l'événement \og l'élève est une fille \fg et $C$ l'événement \og l'élève mange à la cantine \fg.
\\
On utilise la formule des probabilités totales :
$$p(C)=p(C\cap F)+p(C\cap \overline{F})=p(F)\times p_F(C)+p(\overline{F})\times p_{\overline{F}}(C)=0,55\times 0,35+0,45\times 0,30 $$
\item \begin{footnotesize}
Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 10 et $\dfrac{1}{4}$.
 
Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à $10 ^{- 3}$. 
\end{footnotesize}

$$ p(Y\geq 2)=1-p(Y=0)-p(Y=1)=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{20}-\binom{10}{1}\times \dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{9}\simeq $$

\item {\footnotesize Dans un club omnisports comportant $120$ licenciés, on sait que $30$ pratiquent le football et $20$ l'équitation, enfin $5$ font du football et de l'équitation. On croise un membre de la section football au hasard, quelle est la probabilité qu'il fasse de l'équitation.}


Etant donné que l'on croise l'un des $30$ footballeurs et que $5$ d'entre eux pratiquent l'équitation, la probabilité que ce membre fasse de l'équitation vaut :
$$ \dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}$$

\item \begin{footnotesize}
Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
 
On appelle A l'évènement \og l'appareil présente un défaut d'apparence \fg{} et F l'évènement \og l'appareil présente un défaut de fonctionnement \fg.
 
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
 
On sait que la probabilité que l'appareil présente un défaut d'apparence est égale à $0,02$ et que la probabilité que l'appareil présente au moins l'un des deux défauts est égale à $0,069$.
 
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l'appareil présente le défaut F ? 
\\
\textit{On rappelle que $$ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$$}
\end{footnotesize}

Puisque l'on suppose $A$ et $F$ indépendants on a :
$$ p(A\cap F)=p(A)\times p(F)$$
On cherche $p(F)$, on connait $p(A\cup F)=0,069$ et $p(A)=0,02$ par conséquent et d'après le sympathique rappel on a :
$$ p(A\cup F)=p(A)+p(F)-p(A\cap F)=p(A)+p(F)-p(A)\times p(F)$$
Ainsi :
$$0,069=0,02+p(F)(1-p(A))\Longleftrightarrow 0,049=0,98p(F)\Longleftrightarrow p(F)=\dfrac{0,049}{0,98}=\dfrac{49}{980}$$
\item \begin{footnotesize}
On considère l'algorithme :

\begin{center} 
\fbox{
\begin{minipage}{0.75\textwidth}A et C sont des entiers naturels,\\ 
C prend la valeur 0 


Répéter 9 fois\\ 
\phantom{aaaaaaa}A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 6.\\
\phantom{aaaaaaaaaaaaaa}		Si A > 4 alors C prend la valeur de C + 1\\  
\phantom{aaaaaaaaaaaaaa}		Fin Si\\ 
Fin répéter\\ 
Afficher C.
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip
 
Dans l'expérience aléatoire simulée par l'algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée. 

Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.
\end{footnotesize} 

Cette algorithme répète de manière identique et indépendante la même épreuve de Bernoulli neuf fois dans lequel un succès est d'obtenir un nombre strictement supérieur à $4$ lorsqu'on sélectionne au hasard un nombre entre $1$ et $6$. La probabilité de succès d'une telle épreuve est $\dfrac{2}{6}$. La variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli suit donc une loi binomiale de paramètre $n=9$ et $p=\dfrac{1}{3}$.

\end{enumerate}

\end{document}
