\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (7 points)\\
\begin{footnotesize}
Une urne contient $6$ boules, $2$ noires et $4$ blanches. On pioche au hasard successivement et \textbf{avec remise} deux boules de l'urne. On observe la couleur des boules piochées.
\end{footnotesize}\\
\begin{footnotesize}
On note $N$ l'événement : \og la boule piochée et noire\fg.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Réaliser un arbre pondéré modélisant cette expérience.}
 %:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$N$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$N$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{N}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{N}$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$N$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{N}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$1/3$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$1/3$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$2/3$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$2/3$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$1/3$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$2/3$};
\end{tikzpicture}
 \end{center}
 \item \begin{footnotesize}
 Déterminer la probabilité des événements suivantes :
 \begin{itemize}
 \item A : \og les boules piochées sont noires\fg.
 \item B : \og la première boule piochée est noire \fg.
 \item C : \og les deux boules piochées sont de la même couleur \fg.
 \item D : \og au moins une boule piochée est noire\fg.
 \end{itemize}
 \end{footnotesize}
 $$ p(A)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$$
 $$ p(B)=\dfrac{1}{3}$$
 $$ p(C)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{9}$$
 $$ p(D)=1-p(\text{\og les deux boules piochées sont blanches\fg})=1-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$$
 \end{enumerate} 
 }
 
 \Exoi{\hfill (3 points)\\
\begin{footnotesize}
  Dans une expérience aléatoire on connait les probabilités des événements $A$ et $\overline{B}$ :
 $$ p(A)=0,3\qquad \text{;} \qquad p(\overline{B})=0,4\qquad \text{et} \qquad p(A\cap B)=0,2$$
 \end{footnotesize} \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Déterminer $p(\overline{A})$ et $p(B)$.}
 $$ p(\overline{A})=1-p(A)=1-0,3=0,7$$
 $$ p(B)=1-p(\overline{B})=1-0,4=0,6$$
 \item {\footnotesize Déterminer $p(A\cup B)$.}
 $$ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=0,3+0,6-0,2=0,7$$
 \end{enumerate}}


\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (7 points)\\
\begin{footnotesize}
Une urne contient $6$ boules, $2$ noires et $4$ blanches. On pioche au hasard successivement et \textbf{sans remise} deux boules de l'urne. On observe la couleur des boules piochées.
\\
On note $N$ l'événement : \og la boule piochée et noire\fg.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Réaliser un arbre pondéré modélisant cette expérience.}
 %:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$N$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$N$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{N}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{N}$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$N$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{N}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$2/6$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$1/5$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$4/5$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$4/6$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$2/5$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$3/5$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fi
 \item \begin{footnotesize}
 Déterminer la probabilité des événements suivantes :
 \begin{itemize}
 \item A : \og les boules piochées sont noires\fg.
 \item B : \og la première boule piochée est noire \fg.
 \item C : \og les deux boules piochées sont de la même couleur \fg.
 \item D : \og au moins une boule piochée est noire\fg.
 \end{itemize}
 \end{footnotesize}
 $$ p(A)=\dfrac{2}{6}\times \dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$$
 $$ p(B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$$
 $$ p(C)=p(A)+\dfrac{4}{6}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{15}+\dfrac{6}{15}=\dfrac{7}{15}$$
 $$ p(D)=1-p(\text{\og les deux boules piochées sont blanches\fg})=1-\dfrac{4}{6}\times \dfrac{3}{5}=1-\dfrac{12}{30}=\dfrac{18}{30}=\dfrac{9}{15}$$
 \end{enumerate} 
 }
 
 \Exoi{\hfill (3 points)\\
\begin{footnotesize}
  Dans une expérience aléatoire on connait les probabilités des événements $A$ et $\overline{B}$ :
 $$ p(A)=0,5\qquad \text{;} \qquad p(\overline{B})=0,4\qquad \text{et} \qquad p(A\cap B)=0,3$$
 \end{footnotesize} \begin{enumerate}
 \item {\footnotesize Déterminer $p(\overline{A})$ et $p(B)$.}
 $$ p(\overline{A})=1-p(A)=1-0,5=0,5$$
 $$ p(B)=1-p(\overline{B})=1-0,4=0,6$$
 \item {\footnotesize Déterminer $p(A\cup B)$.}
 $$ p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=0,5+0,6-0,3=0,8$$
 \end{enumerate}}


\end{document}
