\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir Surveillé 5}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Fonctions et variations.}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{nde}$ 8}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{ D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}




\begin{exoi}
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-15;15]$ dont voici le tableau de variation :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{10.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-15$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-5$};
\node at (4*\Lrg,0) {$0$};
\node at (6*\Lrg,0) {$5$};
\node at (8*\Lrg,0) {$10$};
\node at (10*\Lrg,0) {$15$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$8$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$2$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$4$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-1$};
\node (f5) at (8*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$10$};
\node (f6) at (10*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
\draw[fleche] (f5) -- (f6);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Pour chacune des propositions dire si elle est vraie ou fausse, argumentez.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize \textit{Proposition 1} : $f(1)<f(2)$.}
\\
Puisque $1<2$ et comme la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;5]$ elle inverse l'ordre donc :
$$ f(1)>f(2)$$
\item{\footnotesize  \textit{Proposition 2} : Le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-15;0]$ est $-1$.}
\\
La fonction $f$ étant strictement décroissante sur $[-15,5]$ puis strictement croissante sur $[-5;0]$ elle admet alors un minimum qui est $2$ sur l'intervalle $[-15;0]$.
\item {\footnotesize \textit{Proposition 3} : $f(x)>0$ sur l'intervalle $[-15;0]$.}
\\
Etant donné que le minimum de $f$ est $2$, il est clair que $f(x)>0$ sur l'intervalle $[-15;0]$.
\item \textit{Proposition 4} : Le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[5;15]$ est $10$.
\item {\footnotesize \textit{Proposition 5} : On ne peut pas comparer $f(11)$ et $f(-11)$.}
\\
$f(11)$ est compris entre $0$ et $10$, tandis que $f(-11)$ est compris entre $2$ et $8$, ces deux informations ne permettent pas de comparer $f(11)$ et $f(-11)$.
\item {\footnotesize \textit{Proposition 6} : La fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[0;10]$.}
\\
$f(0)=4$ donc $f$ n'est pas (toujours) négative sur l'intervalle $[0;10]$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Réaliser une courbe pouvant admettre un tel tableau de variation.} 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{courbeDS5.eps}
\end{center}
{\footnotesize Votre courbe est-elle la seule que l'on puisse tracer ?}
On peut tracer d'autres courbes (par exemple en reliant chaque point bleu par un segment de droite).
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
On considère les fonctions $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$ et $f_5$ définies sur $\R$ par :
$$ f_1(x)=\dfrac{1}{3}x-1\qquad ;\qquad f_2(x)=-2x+1\qquad ;\qquad f_3(x)=\sqrt{x^2+1}\qquad \text{;} \qquad f_4(x)=0\qquad \text{et} \qquad f_5(x)=(x-1)^2+2$$
 \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Parmi les fonctions $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$ et $f_5$ lesquelles sont affines ? \textit{Argumenter}.}
\\
$f_1$ est affine puisque $f_1(x)$ est écrite sous la forme $ax+b$ avec $a=\dfrac{1}{3}$ et $b=-1$.\\
$f_2$ est affine puisque $f_2(x)$ est écrite sous la forme $ax+b$ avec $a=-2$ et $b=1$. De même pour $f_3$ avec $a=0$ et $b=0$.\\
Enfin les fonctions $f_3$ et $f_5$ ne sont pas des fonctions affines car on ne peut les écrire sous la forme $ax+b$.
\item {\footnotesize Dresser les tableaux de variations de $f_1$ et $f_2$. \textit{Justifier}.}
\\
Puisque $\dfrac{1}{3}>0$ la fonction $f_1$ est strictement croissante sur $\R$.\\
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f_1(x)}&&&\fm&&\cr
}$$
De même puisque $-2<0$ la fonction $f_2$ est strictement décroissante sur $\R$ :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f_2(x)}&&&\fd&&\cr
}$$
\item {\footnotesize Déterminer le minimum de la fonction $f_5$. Préciser en quelle valeur il est atteint.}
\\
Pour tout réel $x$ on a :
$$ (x-1)^2\geq 0 \Longleftrightarrow (x-1)^2+2\geq 2 \Longleftrightarrow f_5(x)\geq 2$$
De plus pour $x=1$ pour $f_5(1)=(1-1)^2+2=0^2+2=2$, donc $f_5$ admet un minimum de $2$ atteint pour $x=1$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Lors des soldes, un magasin affiche la promotion suivante :\\
\og Pour tout achat dont le montant est strictement inférieur à $100\euro$ profitez de $20\%$ de réduction. Si le montant est supérieur à $100\euro$, bénéficiez de $35\%$ de réduction.\fg{}
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer le prix après réduction d'un article valant initialement $70\euro$.}
\\
Le prix après réduction d'un article valant initialement $70\euro$ :
$$ 70\times \left(1-0,2\right)=70\times 0,8=56\euro$$
\item {\footnotesize Calculer le prix après réduction d'un article valant initialement $200\euro$.}
\\
Le prix après réduction d'un article valant initialement $200\euro$ :
$$ 200\times \left(1-0,35\right)=70\times 0,65=130\euro$$
\item {\footnotesize Soit $x$ le prix d'un article avant réduction.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que si $x<100$ le prix en fonction de $x$ que nous noterons $f(x)$ vaut $ f(x)=0,8x$}
Si $x<100$ le prix après réduction d'un article valant initialement $x\euro$  vaut :
$$ f(x)=x\times \left(1-0,2\right)=0,8x$$
\item {\footnotesize Déterminer $f(x)$ lorsque $x\geq 100$.}\\
Si $x\geq 100$ alors $f(x)=x\times \left(1-0,35\right)=0,65x$.
\item {\footnotesize Peut-on dire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R^+$ ? Argumentez.}
\\
Sur l'intervalle $[0;100[$ $f(x)=0,8x$ donc $f$ est affine avec $a=0,8>0$ donc $f$ est strictement croissante sur $[0;100[$. De même sur l'intervalle $[100;+\infty[$.
\\
En revanche $f(90)=90\times 0,8=72$ et $f(100)=0,65\times 100=65$ donc $f$ n'est pas croissante sur $\R^+$
\end{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item \begin{footnotesize}
Compléter l'algorithme suivant qui pour un prix $X$\\
 affiche le prix après réduction.
\end{footnotesize} 
\begin{center}
\Algo{7cm}{
\Entree{ 
 $X$  est un nombre réel positif.\\
}
{
Saisir $X$.\\
  \IfThenElse{$X<100 $}
{Afficher $ 0,8X$  }
{Afficher $0,65X$}
}
}
\end{center}
\item {\footnotesize Compléter le tableau de valeurs suivant :}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Prix avant remise & 0 & 20 & 40 & 80 & 100 & 120 & 160\\\hline
Prix après remise & 0 &16 &32 &64 &65 & 78& 104 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item \begin{footnotesize}
On note $\mathscr C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$.\\
Représenter graphiquement $\mathscr C_f$ en choisissant pour unité $1$ cm = 20 $\euro$ en abscisse et en ordonnée. 
\end{footnotesize}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{courbeDS52.eps}
\end{center}
%\vfill
%\textbf{Question Cactus (Bonus)} : \hfill \textbf{La corde autour de la terre.}
%
%Considérons une corde dont le périmètre est très exactement celui de la planète terre. On ajoute à cette corde, disons $4$ mètres. On suppose que la terre est une sphère et que son rayon vaut $6400$ km.
%
%De combien s'élève la corde de la surface de la terre ?





\end{document}